2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）-学生版+解析版

2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A．， B．，3， C．， D．

2．（5分）设复数满足，则复平面内表示的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知正项等比数列中，，若，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

5．（5分）若平面单位向量，，不共线且两两所成角相等，则　　

A． B．3 C．0 D．1

6．（5分）棱长为4的正方体的所有棱与球相切，则球的半径为　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数在的图象大致是　　

A． B．

C． D．

8．（5分）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入　　

A． B． C． D．

9．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　

A． B． C． D．

10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹方程为　　

A． B． C． D．

11．（5分）没函数的最大值为，最小值为，则的值是　　

A．1 B．2 C． D．

12．（5分）棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体内过，，的截面面积为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）曲线在点处的切线方程为　 　．

14．（5分）在公差为3的等差数列中，，，成等比数列，则数列的前项和　 　．

15．（5分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　　．

16．（5分）已知双曲线的右焦点为，双曲线与过原点的直线相交于、两点，连接，．若，，，则该双曲线的离心率为　 　．

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答. 必考题：共60分.

17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，若．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）如图，在中，，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，是的中点．

（1）若为的中点证明：平面．

（2）若平面平面，且平面，求二面角的正弦值．

19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；

（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

20．（12分）已知点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于，两点，若的面积为为坐标原点）．求直线的方程．

21．（12分）已知函数，．

（1）若函数为单调函数，求的取值范围；

（2）若，，求：当时，函数仅有一个零点．

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线距离的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，，，为正数，且满足，证明：

（1）；

（2）．

2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A．， B．，3， C．， D．

【解答】解：，3，，，

，．

故选：．

2．（5分）设复数满足，则复平面内表示的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

，

则复平面内表示的点位于第四象限．

故选：．

3．（5分）已知正项等比数列中，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由得，即，解得．

又，即，解得，

．

故选：．

4．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

．

故选：．

5．（5分）若平面单位向量，，不共线且两两所成角相等，则　　

A． B．3 C．0 D．1

【解答】解：平面单位向量，，不共线且两两所成角相等；

，，两两夹角为，且；

故选：．

6．（5分）棱长为4的正方体的所有棱与球相切，则球的半径为　　

A． B． C． D．

【解答】解：球和正方体的所有棱相切，则该球的直径为正方体的面对角线的长，

即，所以，

故选：．

7．（5分）函数在的图象大致是　　

A． B．

C． D．

【解答】解：函数在，满足，所以函数是偶函数，排除选项，；

当时，，令，可得，方程的解，即函数的极大值点，排除，

故选：．

8．（5分）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入　　

A． B． C． D．

【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，

该程序运行后输出的是

；

累加步长是2，则在空白处应填入．

故选：．

9．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知中的茎叶图可得

甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，

则甲的平均成绩

设污损数字为，

则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，

则乙的平均成绩

当或9时，

即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为

则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率

故选：．

10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，由，

得，可得：，

即

故动点的轨迹方程为．

故选：．

11．（5分）没函数的最大值为，最小值为，则的值是　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：，

设，则为奇函数，

故，

则，所以．

故选：．

12．（5分）棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体内过，，的截面面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：取棱，，的中点，，，则该截面是一个边长为的正六边形，

其面积为．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．

【解答】解：的导数为，

则在点处的切线斜率为，

即有在点处的切线方程为，

即为．

故答案为：．

14．（5分）在公差为3的等差数列中，，，成等比数列，则数列的前项和　　

【解答】解：由题意得，即，解得，

所以，所以．

故答案为：．

15．（5分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　　

【解答】解：甲队以获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率．

故答案为：．

16．（5分）已知双曲线的右焦点为，双曲线与过原点的直线相交于、两点，连接，．若，，，则该双曲线的离心率为　5　．

【解答】解：在中，由余弦定理可得

，

即有

化为，

解得．

由勾股定理的逆定理，可得，

设为双曲线的右焦点，连接，．

根据对称性可得四边形是矩形．

结合矩形性质可知，，利用双曲线定义，，

所以离心率．

故答案为：5．

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，若．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

【解答】解：（1），

由正弦定理，有，

即，所以．

（2）因为，所以．

又，所以．根据余弦定理，

得，，

所以的面积为．

18．（12分）如图，在中，，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，是的中点．

（1）若为的中点证明：平面．

（2）若平面平面，且平面，求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，．

因为为的中点且，所以是的中位线．所以，且．

又因为是的中点，且的中点为，所以是△的中位线，

所以，且，所以，

所以四边形是平行四边形，所以．

因为平面，平面，所以平面．

（2）解：因为平面，所以．又因为是的中点，

所以，即是的中点．由可得，是的中点．

在中，，，沿翻折至，且平面平面，

利用面面垂直的性质可得平面，以点为原点建立坐标系如图所示，

则，0，，，1，，，2，，，．

设平面的法向量为，，，

有，

容易得到平面的法向量，0，，

设二面角的大小为，有，所以．

19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；

（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3．（1分）

；；； （3分）

考生甲正确完成题数的分布列为

．（4分）

设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3．（5分）

；，，．（7分）

考生乙正确完成题数的分布列为：

．（8分）

（Ⅱ）因为，（10分）

．（12分）

所以．

综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．（13分）

20．（12分）已知点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于，两点，若的面积为为坐标原点）．求直线的方程．

【解答】解：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，

且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，

所以动点的轨迹的方程为．

（2）当直线与轴垂直时，，，此时，

则，不满足条件．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

由得，

所以，．

而，

由已知得，

所以，则，所以，

所以直线的方程为或．

21．（12分）已知函数，．

（1）若函数为单调函数，求的取值范围；

（2）若，，求：当时，函数仅有一个零点．

【解答】解：（1）由，得，．

，当时，，为上的单调增函数；

当时，，为上的单调减函数．

综上，若函数为单调函数，则的取值范围为，，；

（2）当时，由（1）可知为上的单调增函数．

又，，

函数在有且仅有一个零点，满足题意．

当时，令，则．

由于，，

从而必有，，，使，且．

不妨设，且有，，

当时，0' altImg='fbca9f0c68d47beed3e830aa25097cff.png' w='158' h='21' class='_6'>，为增函数；

当，时，，为减函数；

当，时，0' altImg='fbca9f0c68d47beed3e830aa25097cff.png' w='158' h='21' class='_6'>，为增函数．

从而函数的极大值为，极小值为．

，，极大值．

又，要使函数仅有一个零点，

则极小值，

，

即，又，，

当时，函数仅有一个零点．

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线距离的最大值．

【解答】解：（1）直线的极坐标方程为．转换为直线的直角坐标方程为．

（2）设曲线上点的坐标为，则曲线上的点到直线的距离，当时，取得最大值，所以．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，，，为正数，且满足，证明：

（1）；

（2）．

【解答】证明：（1）因为，，，为正数，所以，，，（当且仅当时等号同时成立），

所以．

又，所以．

（2）因为，

所以．

又，

当且仅当时取等号，

所以，

即．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/999b57eab42acfc789eb172ded630b1c58ee9b16.html