甲型H1N1流感数学模型

第

甲型 H1 N1流感传播模型

刘　蕾

(兰州商学院统计学院 ,甘肃兰州　730020)

摘　要 :　运用经典的 SIR数学模型 ,研究了甲型 H1N1流感传播模型及其传播规律 ,并对疫情的

传播时间和程度做出预测 ,预测疫情将于 2009年 9月达到高峰期 ,2010年 9月将会基本消除.但加

强控制措施和早日研发出防疫药品的举措将会对疫情起到控制作用 ,可提早消除疫情.

关键词 :　数学建模 ;传染病模型 ;微分方程

The Spread Model of H1 N1 Influenza

L IU Lei

( S chool of S tatistics , L anz hou Commercial College , L anz hou 730020 , China)

Abstract :　By using t he classical SIR mat hematical model ,t he sp read model and regular pattern of H1N1

Influenza were set up ,and t hen t he sp read time and degree were p redicted. The calculated result s showed

t hat t he mo st serio us time of H1N1 Influenza wo uld be September ,2009 ,and t hat in September ,2010 ,t he

vented and co nt rolled more effectively.

Key words :　mat hematical model ; infectio us disease model ; differential equatio ns

　　传染病是当今世界最严重的疾病之一 [ 1 ] ,2009 运用认为病人无免疫力的 SIS模型.经典的 SIR模

年4月26日世界卫生组织已确认 ,美国和墨西哥发 型考虑到将病愈者退出传染系统 ,能够有效地分析

生了甲型H1N1流感,另有多个国家报告发现了疑此类 传染病的传播问题 [ 3 ] .运用 SIR模型围绕甲型

似或确诊病例.随后 ,流感疫情迅速蔓延 ,截止至 8 H1N1流感的传播问题得出其传播规律 ,分析疫情

月中旬 ,全球感染甲型 H1N1流感人数约 5万人， 的感染情况和相关防控措施 ,对预测和控制类似传

[2 ]

因此 ,运用传染病的数学模型来描述传染病甲型

H1N1流感的传播过程 ,分析受感染人数的变化规

律 ,探索制止甲型 H1N1蔓延的手段是值得关注的 考查中国内地疫情变化 ,在疾病传播期间不考

问题。 虑人口的出生率和死亡率 ,人口总数不变 ,即为常

不同类型的传染病传播过程有各自不同的特 量.由于中国内地疫情最初是由从国外归来者携带

点 ,大多数传染病如天花、感、炎、疹等治愈后 而来,内地自从 5月 11日发现第一例病例以来就在

均有很强的治愈力 ,所以病愈的人既非健康者(易感 全社会范围内加强医疗卫生手段和控制预防措

染者) ,也非病人 (已被感染者) ,他们已经退出传染 施 [ 4 ] ,且研究发现易感染人群大多为 20岁～ 50岁

系统 ,甲型 H1N1流感是一种典型的传染病.因此 的青壮年 [ 5 ] ,故保守估计在此传染病系统的人数

不能运用没有考虑病人可以治愈的SI模型 ,也不能 N = 5万.

收稿日期 :2009209209

第 22卷　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　刘　蕾 :甲型 H1N1流感传播模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　

甲型 H1N1流感的传播途径是与病源的直接

表 1　疫情原始数据

接触 ,患者与健康者接触时 ,都使健康者感染病变.

故将人群分为 3类 :健康者 (易感染者人群)、患者

日期

6月 14日

6月 15日

新增病例确诊病例累计治愈累计新增治愈数

20 185 73 -

41 226 86 13

(已被感染人群)、治愈者 (研究期间 6月 14日～ 8

月 14日间中国内地感染病毒死亡人数为 0 ,故此处

不考虑死亡者) .三者在总人数中的比例分别为

s( t) , i ( t) , r( t) ,且 s( t) + i ( t) + r( t) = 1 ,

i0 , s0分别为患者人数 ,健康人数的比例初始值.

设每个患者每日感染健康者的平均人数为日感

6月 16日

6月 17日

6月 18日

6月 19日

6月 20日

6月 21日

6月 22日

6月 23日

6月 24日

11

27

33

31

28

58

27

49

38

237

264

297

328

356

414

441

490

528

97

114

135

160

185

199

227

251

275

11

17

21

25

25

14

28

24

24

染率 ,记为λj ,则

j日新增病例数

( j - 1)日 (累计确诊人数 -累计出院人数)

;

6月 25日

6月 26日

6月 27日

6月 28日

42

48

60

51

570

618

678

729

321

338

373

401

46

17

35

28

每日被治愈的患者人数占其总数的比例为日治愈

率 ,记为μj ,则

j日被治愈的人数

,

定义整个传染期内每个患者有效接触的平均人数为

接触数σ.

由 s( t) + i ( t) + r( t) = 1可知 ,对于病愈免疫的

d r

dt

型[ 6～7 ] ,该模型的方程为

6月 29日

6月 30日

7月 1日

7月 2日

7月 3日

7月 4日

7月 5日

7月 6日

7月 7日

7月 8日

7月 9日

7月 10日

7月 11日

7月 12日

37

44

56

49

45

40

40

57

54

36

36

40

39

26

766

810

866

915

960

1 000

1 040

1 097

1 151

1 187

1 223

1 263

1 302

1 328

445

496

554

612

660

704

749

793

870

927

985

1 035

1 085

1 110

44

51

58

58

48

44

45

44

77

57

58

50

50

25

di

dt

=λsi -μi ,

7月 13日

7月 14日

7月 15日

26

45

45

1 354

1 399

1 444

1 134

1 166

1 197

24

32

31

ds

dt

i ( 0) = i0 , s( 0) = s0 .

( 1)

7月 16日

7月 17日

7月 18日

7月 19日

41

52

44

44

1 485

1 537

1 581

1 625

1 230

1 263

1 293

1 323

33

33

30

30

2　模型的求解

2. 1　数值运算

由于在方程 ( 1)中无法求出 s( t)和 i ( t)的解析

解 ,故先做数值运算.

据来自中国卫生部网站公布的 2009年 6月 14

日～8月 14日的疫情数据 (见表 1) [ 8 ] ,包括日累计

确诊病例、日累计治愈病例等.其中缺失的部分数

据 ,将以通过给定的数据拟合得到.以 6月 15日为基

日 ,当日累计确诊病例 226例 ,累计出院者 86例 ,故

7月 20日

7月 21日

7月 22日

7月 23日

7月 24日

7月 25日

7月 26日

7月 27日

7月 28日

7月 29日

7月 30日

7月 31日

8月 1日

8月 2日

8月 3日

43

52

52

38

42

26

26

26

37

36

43

44

20

21

21

1 668

1 720

1 772

1 810

1 852

1 878

1 904

1 930

1 967

2 003

2 046

2 090

2 110

2 131

2 152

1 355

1 404

1 454

1 529

1 604

1 663

1 722

1 781

1 817

1 853

1 883

1 912

1 937

1 962

1 988

32

49

50

75

75

59

59

59

36

36

30

29

25

25

26

s0 =

50 000 - 226 + 86

50 000

226 - 86

i0 =

50 000

8月 4日

8月 5日

8月 6日

8月 7日

8月 8日

29

29

27

27

28

2 181

2 210

2 237

2 264

2 292

2 031

2 074

2 098

2 122

2 137

43

43

24

24

15

在研究期间 ,平均日感染率λ和平均日治愈率μ由

每天相应数据平均求得.由已知数据可得

8月 9日

8月 10日

8月 11日

28

28

38

2 320

2 348

2 386

2 152

2 167

2 203

15

15

36

λ = 0. 176 502 ,μ = 0. 165 217 ,

λ

= 1. 068 309.

8月 12日 39 2 425

8月 13日 57 2 482

8月 14日 55 2 537

　　注 :2009年疫情数据见文献[ 8 ]

2 240

2 261

2 283

37

21

22

1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　甘

肃科学学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年　第 1期

　　运用上述计算得到的λ,μ, s0 , i0 ,用 Matlab软

在方程 ( 1)中消去 dt并注意到接触数σ的定义 ,可得

件编程 ,计算结果见表 2 , i ( t)、s( t)、i～ s图形分别

见图 1～图 3.

di

ds

=

1

σs

- 1 ,

( 2)

表 2　i ( t)、s( t)数值计算

i|

s = s0

= i0 ,

时间 t/ d

0

40

76

103

170

250

300

400

456

457

i( t) /患者比例

0. 002 8

0. 004 0

0. 004 7

0. 004 7

0. 003 1

0. 001 2

0. 000 6

0. 000 1

0. 000 1

0

s( t) /健康者比例

0. 997 2

0. 973 5

0. 946 9

0. 925 9

0. 882 9

0. 857 3

0. 850 8

0. 846 4

0. 845 7

0. 845 7

容易求出方程 ( 2)的解为

1 s

ln

s 0

在定义域 D内 ,式 ( 3)表示的曲线即为相轨线 ,如图

3所示.

图 3　i～s (相轨线)比例

　　由以上分析可知 :

(1)不论初始条件 s0 , i0如何 ,患者人数终将消

失 ,即 i∞ = 0.从相轨线图形上看 ,无论从哪一点出

发 , i ( t)终将与 s轴相交 ( t充分大) .

图 1　患者人数 i ( t)

( 2)最终未感染者的比例是 s∞ ,在式 (3)中令

i = 0 ,得到 s∞是方程

σ

s∞

s0

= 0　　

( 4)

1

0 ,

1

σσ

达到最大值

im = s0 + i0 -

σ

1 + lnσs 0 ) ,　　

( 5)

图 2　健康者人数 s( t)

然后 i ( t)减小且趋于 0 , s( t)则单调减小至 s∞;若

2. 2　相轨线分析

s0≤

1

σ

,则 i ( t)单调减小至 0 , s( t)单调减小至 s∞.

在数值计算和图形观察的基础上 ,利用相轨线

可以看出 ,如果仅当患者比例 i ( t)有一段增长

讨论解 i ( t) , s( t)的性质 :

i～ s平面称为相平面 ,相轨线在相平面的定义

的时期才认为传染病在蔓延 ,那么

1

σ

是一个阈值 ,

域 ( s , i)∈D为 D = { ( s , i) | s≥0 , i≥0 , s + i≤1} ,

当 s0 >

1

σ

时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数

第 22卷　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　刘　蕾 :甲型 H1N1流感传播模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　

σσ

的移出者比例 (即免疫者比例) r0满足上式 ,就可以

制止传染病的蔓延.

即使 s0 >

1

σ

,从式 ( 4)、 ( 5)可以看出σ减小时 , s∞

4　结语

增加 , im降低 ,也控制了蔓延的程度.

1

μ

的健康者的平均数 ,称为交换数 ,其含义是一个患者

通过对甲型 H1N1流感病例数据和模型进行

分析和预测 ,研究甲型 H1N1流感在国内的传播趋

势及相应预防措施对疾病流行的影响 ,对预防与控

1

σ

,即σs 0≤1 ,必有

制甲型 H1N1流感病毒的传播提供依据 ,同时也为

今后各类突发性公共卫生事件的控制和预防提供

σs≤1.既然交换数不超过 1 ,患者比例 i ( t)绝不会

增加 ,传染病不会蔓延.

3　模型预测结果分析

由以上 SIR模型分析甲型 H1N1流感疫情的

结果可知 ,预计疫情在基日后的 76日至 103日达到

峰值 ,即整个 9月份疫情将达到高峰期 ;在 450日后

即约 2010年 9月基本消除.该模型与实际疫情情况

基本相符. 2009年 9月以来 ,中国内地 31个省区市

已全部报告甲型 H1N1流感确诊病例.面对如此严

峻的疫情 ,卫生部调整了疫情防控策略 ,已研制出甲

参考.

通过分析可知 ,如果全社会的努力和投入的程

度继续增加 ,即隔离措施的提早进行、隔离率增大、

防疫药品的早日研发、众的防御意识提高 ,可使得

疫情周期缩短、者人数逐步减少.但遗憾的是 ,对

于甲型 H1N1流感病毒 ,目前仍有很多谜有待解

开 ,故应对甲型 H1N1流感的战役“是一场马拉

松 ,而不是冲刺”.

参考文献 :

[ 1 ]　刘云忠 ,宣慧玉 ,林国玺. SARS传染病数学建模及预防、制

流疫苗并计划将于 2009年 9月底全国范围内接种 ,

相信此举会对疫情的控制起到积极的作用.

21.

[ 3 ]　姜启源 ,谢金星 ,叶俊.数学建模 (第三版) [ M ] .北京 :高等教育

出版社 ,2003.

[ 4 ]　张冉燃 ,沈安 ,刘国远.甲型 H1N1会成为第二次非典吗[J ] .四

σ

健康人的接触 ,提高卫生水平 ,降低日接触率 ;提高 [ 5 ]　徐明.甲型 H1N1流感的已知与未知[J ] .农村工作通讯 ,2009 ,

医疗水平 ,对患者进行有效的治疗 ,尽早研发出治疗 10 :52.

[ 6 ]　赵锡英 ,支建军 ,万芳新 ,等. SARS疫情分析模型 [J ] .兰州工

( 2)降低 s0 ,可以通过预防接种使群体免疫的

[ 7 ]　李伟.关于 SARS病毒传播的数学模型[J ] .毕节师范高等专科

方法控制传染病的传播.忽略患者比例的初始值 i0 ,

[ 8 ]　卫生部新闻办公室.卫生部甲型 H1N1流感防控工作信息通

报[ DB ] .中华人民共和国卫生部网站 www. mo h. gov. cn ,

2009 ,8 ,14.

作者简介 :

数量经济学专业在读硕士研究生 ,研究方向为金融计量经济分析.出师表

两汉：诸葛亮

　　先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

　　宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

　　侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

　　将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

　　亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

　　臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

　　先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

　　愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。

　　今当远离，临表涕零，不知所言。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/995e1e9feef9aef8941ea76e58fafab068dc4452.html