用三显摆测量刚体的转动惯量

实验题目：用三显摆测量刚体的转动惯量 84

实验目的：1. 掌握用三线摆测定物体的转动惯量的方法；

2. 验证转动惯量的平行轴定理；

3. 根据误差公式及实际装置、仪器情况，合理选择仪器和安排测量。

实验原理：1. 三线摆的结构和原理：

三线摆的结构示意图如图4.2.3-1所示：

当下盘的扭转角很小时，（如图4.2.3-2），下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动。其势能和动能分别为：

若忽略摩擦力的影响，由机械能守恒，并且因为下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，忽略平动能部分，近似有：

又通过计算可得，代入上式并对t求导，可得一简谐振动方程：

由此事求出方程的解，并由周期得：

通过此式，我们只要求出三线摆的有关参数，就可以精确地求出下圆盘的转动惯量。

如果要测定一个质量为m的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转动惯量，然后将待测物体放在下圆盘上测量系统的转动惯量，注意使物体的质心恰好在仪器的转动轴线上。如此，待测物体的转动惯量为：

2. 圆环绕中心轴的转动惯量理论值：。

3. 平行轴定理：物体对于任意轴的转动惯量，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量加上物体质量m与两轴间距离d平方的乘积，即：

实验仪器：三线摆、电子秒表、游标卡尺、米尺、水准仪、物理天平、待测金属圆环和两个质量、形状相同的金属圆柱。

实验内容：1. 调整仪器，确保三线摆上、下圆盘的水平；测定仪器常数H、R、r和m0。

2. 用三线摆测圆环的转动惯量：

1) 测量下圆盘的转动惯量I0，并计算其不确定度；

2) 测量待测圆环的基本参数：m、D内和D外。

2) 将待测圆环放在下圆盘上，使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量I1，由此计算出圆环的转动惯量I，并与理论值进行比较，求出相对误差。

3. 验证平行轴定理：

将两个相同的金属圆柱放在下圆盘上关于轴线对称的位置上，测出转动惯量，由此验证平行轴定理。

实验数据：1. 仪器常数：

2. 测量下圆盘的转动惯量：

3. 测量圆环的转动惯量：

4. 验证平行轴定理：

数据处理：1. 下圆盘的转动惯量：

由数据1得到公式中各量的平均值和标准差(用OriginPro 8软件)：

以下求出上面三项的展伸不确定度，填入上表中(绿色)：

其中计算Ut时0.2为人的反应速度，而仪器的误差，比Ut低一个数量级，忽略不计。由t0的平均值和不确定度等数据得到T0的相应数据，填入上表(紫色)。

利用公式，得到：

2. 圆环的转动惯量：

首先算出圆环和下圆盘总体的转动惯量。由数据3得出T1的平均值：

故总转动惯量为：

3. 验证平行轴定理：同以上方法，求出圆柱质心距转动轴各距离时的转动惯量，填入下表：

由这组数据作出Id~d2图如下：

容易观察出散点具有极好的线性性，故作线性拟合，得到拟合直线的数据如下：

对比公式，可见截距和斜率分别为Ic和10-6m，故由该图得到的Ic和m分别为：；与直接测量得到的值相差较小，相对误差分别为3.1％和5.5％。

实验小结：1. 由圆环内外直径的测量值计算出其平均值，如下表：

根据公式直接计算出圆环关于过质心垂直于环面的轴的转动惯量：

实验测得的值与之相比，误差很小，相对误差为2.4％。可见本次实验是比较成功地测量出了圆环的转动惯量。

2. 不知道什么是回归法，因此在验证平行轴定理时直接线性拟合，得出直线的截距和斜率，与公式对比，以此验证平行轴定理。

3. 实验误差：

1) 实验中直接测量H的值，但由于三线摆的上下两盘非固定，所以这种测量方法不太好，可能会产生很大的误差。考虑到给出了a的值，所以应该可以改为测量线长l，以此计算得出H的值，以减小误差。

2) 实验中，各个量都只测了三次，可以说满足了最基本的要求。但实际上，测量三次往往是不够的，在时间比较宽裕的实验中，应当尽量多测几次。

3) 在验证平行轴定理的时候，由于在d较小时振动的周期较小，故测量时测的是80个周期的时间，以减少相对误差。

4) 在数据处理1误差分析时发现，时间测量的误差仍然是总体误差的主要部分；而在此次实验的数据中，时间误差(展伸不确定度)的主要部分却并不是人的反应速度带来的误差，而是数据不确定度带来的，请看下式：

这样算出来的展伸不确定度是0.63s，而若将根号中第二部分去掉，算出来的值仍然有0.62s，由此可见，t因子较大是时间误差较大的根本原因。因此，仍然是那句话，在实际实验中，如果时间充裕，应当尽量多测几组数据，以减小误差。

5) 测量周期时，虽然每次只测了三个数据，但根据这三个数据，对比实验的过程，我仍然发现了一点规律(实际上是记录数据的过程中发现的)：当三线摆振幅较大时，周期稍微要长一些。振幅达到2cm以上这种差别就可以观察出来。(在实验中，当测了两个数据后，三线摆的振幅逐渐减小，到了观察困难的程度，此时我会重新启动摆，因此很多组时间数据都表现为大-小-大的特点；测量中也出现过其他情形，例如第二次测量数据时计错时，于是重新启动摆再测量，这些情形的数据大小都符合上面的描述。)而在单摆实验中，振幅稍微大一点也不会有这样大的影响。这应该是由于下圆盘上下平动动能转化而产生的，因此实验中应严格控制三线摆的振幅。

6) 还有一点，在最初调试仪器时发现，即使水平仪指示仪器水平，重新用水平仪测量时又会发现不水平了。最终我发现这是水平仪不水平的缘故：水平仪在某次放置时指示平面已水平，但将水平仪转一个方向，它又指示不水平了。对于一些仪器的精度，我们的确不能抱着完全信任的态度。

思考题：加上待测物体后，三线摆的周期是否一定比空盘的周期大？为什么？

答：我对于这个问题感到莫名其妙，不过还是先按照出题者的思路回答了，再作分析。由验证平行轴定理时的数据看出，答案是否定的。根本原因是：虽然加了物体后，体系的转动惯量会增大，但由公式看出，在其他值确定时，即三线摆不变时，周期T并不是仅由转动惯量决定的，而是由转动惯量与质量的比值确定的，当分式上下同时增大时，分式的值是有可能减小或不变的，此时就出现了周期减小或不变的情况。

这个解答应该能让出题者满意，但出题者的思路却仍然让我费解。For a long time，人们相信重的物体下落得比轻的物体快，终于，在400年前，伽利略的落球实验否定了这一点，让人们终于信服。但事实上，该命题的证伪并不需要做实验这么麻烦。在此之前，伽利略曾经设计出一个理论实验：假设重的物体比轻的物体下落得快，那么在一个物体上绑一个较轻的物体，那么它们组成一个更重的物体，应当下落得更快，但另一方面，较轻的物体下落速度比原物体慢，在下落过程中会拖住原物体，使它下落速度比原来慢，矛盾。由此命题证伪。

而这道思考题让我发现它与历史上这个著名的典故有着异曲同工之妙。事实上，只要想到，如果将两个相同的圆盘固定到一起，因为它们有着相同的振动周期，所以它们的合体振动周期不会增大；或者说将两个相同的三线摆重叠在一起，从而相互间不会影响，而合体的周期也就不会增大。这就否定了“加上物体后周期会增大的想法”。

事实上，做过一个实验后，我们往往已经对实验的原理有了比较深的理解，从而回答像这样浅显的问题已经没有任何实际意义了。另外抱怨一句，开放实验中也有一个测量刚体转动惯量的，搞得我预习错了，希望以后老师注明，以防我们再次出现这种失误，谢谢！

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/986bd345be1e650e52ea996a.html