顺义区2013届高三第二次统练
数学试卷（文史类）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
4．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.设的内角
的对边分别为
，且
，则
的面积
.
10.已知函数，若
，则
的最大值为________.
11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数，则甲组工人
天每人加工零件的平均数为____________；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了
的概率为________
甲组 乙组
12.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为
，则
.
13.已知双曲线的离心率为
，顶点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；
渐近线方程为_________.
14. 设函数，则满足
的
的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递减区间.
16.（本小题满分13分）
已知为等差数列
的前
项和，且
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前
项和公式.
17.（本小题满分14分）
如图，四棱柱
中，
是
上的点且
为
中
边上的高.
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）线段上是否存在点
，使
平面
？
说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数，其中
为正实数，
是
的一个极值点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数
在
上的最小值.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为
，
，
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆
上，且
的周长为
。
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设直线与椭圆
相交于
、
两点，若
（
为坐标原点），求证：直线
与圆
相切.
20．（本小题满分13分）
已知函数，
，其中
为常数，
……，函数
的图象与坐标轴交点处的切线为
，函数
的图象与直线
交点处的切线为
，且
。
（Ⅰ）若对任意的，不等式
成立，求实数
的取值范围.
（Ⅱ）对于函数和
公共定义域内的任意实数
。我们把
的值称为两函数在
处的偏差。求证：函数
和
在其公共定义域的所有偏差都大于2.
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数学试卷（文史类）
一、 ABCA BCDC
二、 9． 10．
11．
12．
13．
14．
15．解（Ⅰ）
…4分
（Ⅱ）由
故的定义域为
因为
所以的最小正周期为
因为函数的单调递减区间为
，
由
得
所以的单调递减区间为
……13分
16．解（Ⅰ）设等差数列的公差为
， 因为
所以 解得
所以……………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令
则
，
又
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列
的前
项和为
则……13分
（Ⅰ）证明：，且
平面PCD，
平面PCD，所以
平面PDC…2分
（Ⅱ）证明：因为AB平面PAD，且PH
平面PAD ， 所以
又PH为中AD边上的高 所以
又所以
平面
而平面
所以
……7分
（Ⅲ）解：线段
上存在点
，使
平面
理由如下：
如图，分别取的中点G、Ｅ
则
由
所以
所以为平行四边形，故
因为AB平面PAD，所以
因此， 因为
为
的中点，且
所以 因此
又 所以
平面
…………14分
18．解：
（Ⅰ）因为是函数
的一个极值点， 所以
因此， 解得
经检验，当时，
是
的一个极值点，故所求
的值为
.…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
令
，得
与
的变化情况如下：
所以，的单调递增区间是
单调递减区间是
当时，
在
上单调递减， 在
上单调递增
所以在
上的最小值为
当时，
在
上单调递增，
所以在
上的最小值为
……13分
19．解（Ⅰ）由已知得，且
解得
又所以椭圆
的方程为
...................4分
（Ⅱ）证明：有题意可知，直线不过坐标原点，设
的坐标分别为
（ⅰ）当直线轴时，直线
的方程为
且
则
解得
故直线的方程为
因此，点到直线
的距离为
又圆的圆心为
，半径
所以直线与圆
相切................................................9分
（ⅱ）当直线不垂直于
轴时，设直线
的方程为
由得
故 即
………①
又圆的圆心为
，半径
圆心到直线
的距离为
……………②
将①式带入②式得
所以
因此，直线与圆
相切.......................................................................14分
20．解（Ⅰ）函数的图象与坐标轴的交点为
，
又
函数的图象与直线
的交点为
，
又
由题意可知，
又，所以
...............................................3分
不等式可化为
即
令，则
，
又
时，
，
故
在
上是减函数 即
在
上是减函数
因此，在对任意的，不等式
成立，
只需
所以实数的取值范围是
.....................................................8分
（Ⅱ）证明：和
的公共定义域为
，由（Ⅰ）可知
，
令，则
，
在
上是增函数
故，即
………………①
令，则
，
当时，
；当
时，
，
有最大值
，因此
……………②
由①②得，即
又由①得
由②得
故函数和
在其公共定义域的所有偏差都大于2............13分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9869b564011ca300a6c3906d.html
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