贵阳市普通高中2017-2018学年度第一学期期末质量监测试卷
高一数学
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合
，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，选A.
2. （ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，选A.
3. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间
的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点
【答案】D
【解析】由路程和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发，甲的速度大于乙的速度，甲先于乙到达.选D.
4. 若，则
的值为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，故选D.
5. 若幂函数的图象经过点
，则
的值是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设，则
，故
，
，从而
，故选C.
6. 函数的零点个数为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】当时，令
，故
，符合；当
时，令
，故
，符合，所以
的零点有2个，选B.
7. 在下列给出的函数中，以为周期且在区间
内是减函数的是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
8. 设，
，
，则（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为，故
，又
，故
，而
，故
，故
的大小关系为
，选C.
点睛：注意利用函数的单调性来比较大小.
9. 在中，
为
边上一点，且
，若
，则（ ）
A. ，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】D
【解析】由题设有，整理有
，从而有
，故
，选D.
点睛：在向量的线性运算中，注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化.
10. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），然后向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度，得到的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图像对应的解析式为
，然后向左平移
个单位长度后得到的图像对应的解析式为
，再向下平移
个单位长度后，得到的图像对应的解析式
，其最小正周期为
，故排除C、 D，又该函数的图像过
，故选A.
点睛：一般地，图像变换有周期变换和平移变换，要注意如下事实：
（1）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
倍（
），那么所得图像对应的解析式为
；
（2）把函数的图像向左平移
个单位长度，则所得图像对应的解析式为
.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11. 如图，若集合，
，则图中阴影部分表示的集合为___．
【答案】
【解析】图像阴影部分对应的集合为，
，故
，故填
.
12. 已知函数是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
的值为__________．
【答案】-1
【解析】因为为奇函数，故
，故填
.
13. 设向量，
，则
__________．
【答案】
............
14. 设、
、
为
的三个内角，则下列关系式中恒成立的是__________（填写序号）．
①；②
；③
【答案】②、③
【解析】因为是
的内角，故
，
，从而
，
，
，故选②、③.
点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用 这个结论.
15. 如图所示，矩形的三个顶点
，
，
分别在函数
，
，
的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标，若点
的纵坐标为
，则点
的坐标为__________．
【答案】
【解析】因为的纵坐标为
，所以令
，解得
的横坐标为
，故
．令
，解得
，故
，令
，故
，所以
，填
．
点睛：由于是矩形且它的边平行于坐标轴，所以
，因
已知，故可求
，也就求得了
，最后求出
即得
的坐标．
三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. 已知，且
为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）因为为第二象限角且正弦已知，故可以利用平方关系计算其余弦，再利用二倍角公式计算
．（2）由（1）可以得到
，故利用两角和的正切可得
．
解析：（1）因为，且
为第二象限角，所以
，故
．
（2）由（1）知，故
．
17. 设，
为两个不共线的向量，若
,
.
（1）若与
共线，求实数
的值；
（2）若，
为互相垂直的单位向量，且
，求实数
的值.
【答案】（1）（2）
.
【解析】试题分析：（1）因为与
共线，故存在实数
，使得
，再利用平面向量基本定理可以求出
．（2）因为
，故
，再利用
化简前者，可以得到
，从而得到
．
解析：（1）设为两个不共线的向量，若
，
，由
与
共线可知，存在实数
，使得
，即
,故
．
（2）由得
，即
，又
，故化简得
，则
．（或由
为互相垂直的单位向量，则可设
.由
可得
，即
，故
）
点睛：在向量数量积的计算中，注意合理利用向量垂直简化运算.
18. 已知函数，其中
.
（1）求的定义域；
（2）当时，求
的最小值.
【答案】（1）（2）
.
【解析】试题分析：（1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为.（2）在定义域上把
化为
，利用二次函数求出
，从而求出函数的最小值为
.
解析：（1）欲使函数有意义，则有，解得
，则函数的定义域为
.
（2）因为，所以
，配方得到
．因为
，故
，所以
（当
时取等号），即
的最小值为
.
点睛：求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件.
19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中小时以内（含
小时）每张球台
元，超过
小时的部分每张球台每小时
元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于
小时，也不超过
小时，设在甲家租一张球台开展活动
小时的收费为
元，在乙家租一张球台开展活动
小时的收费为
元.
（1）试分别写出与
的解析式；
（2）选择哪家比较合算？请说明理由.
【答案】（1）（
），
（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由题设，，
，后者是分段函数.（2）令
，解得
，则
时，分别有
，从而可以确定哪家比较合算.
解析：（1）由题设有，
.
（2）令时，解得
；令
，解得
，所以：
当时，
，选甲家比较合算；
当时，
，两家一样合算；
当时，
，选乙家比较合算.
20. 阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学4（必修）》在第一章的小结中写到：
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为
是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角
的终边落在
轴上时，其正切线缩为一个点，值为
；角
的终边落在
轴上时，其正切线不存在；所以正切函数
的定义域是
.
（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随
增大正切线的值得变化情况，再观察
时，正切线的值随
增大时的变化情况，发现正切函数
在区间
上单调递增.（2）当
是锐角时，有
，由此得到
.
解析：（1）当时，
增大时正切线的值越来越大；当
时，正切线与区间
上的情况完全一样；随着角
的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数
在区间
上单调递增；由题意知正切函数
的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角
和
，它们的终边关于
轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即
，得出正切函数
为奇函数.
（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线
，正切线
，又因为
，所以
，又
，而
，故
即
.
点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/96270dc3178884868762caaedd3383c4bb4cb4a8.html
文档为doc格式