高中数学人教版必修二章末第一章好题精讲精析： 第一章 空间几何体

必修2好题源第一章空间几何体

一、空间几何体的结构特征与三视图

【教材原题】必修2课本15页练习4题

如图，是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

[分析]　由正视图和俯视图知该几何体为柱体，由侧视图知，该几何体是一横放的三棱柱．

[解析]　该几何体是一个三棱柱，直观图如下图所示．

【高考题或模拟题】

(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)

[来源:学优]

【答案】　D

【解析】　由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.

(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

【解析】　球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.

[来源:学优]

不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.

(2013·高考新课标Ⅱ文数9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.

对比分析：

1.考查知识点：书本题、2012湖南高考、2012福建高考、2013高考新课标Ⅱ文数9共同考查知识点是空间几何体的结构特征与三视图；书本题考查由几何体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图；2012湖南高考考查三视图；2012福建高考考查由几何体的三视图想象出空间几何体的形状；2013高考新课标Ⅱ文数9与空间直角坐标系结合考查三视图。

2．考查的方式：书本题是解答题，2012湖南高考、2012福建高考、2013高考新课标Ⅱ文数9是以选择题形式出现。

3．命题的思路：书本题、2012湖南高考、2012福建高考、2013高考新课标Ⅱ文数9通过考查立体几何中三视图的有关知识，考查学生空间想象能力。

4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，三视图是考查学生由三视图到实物图，再到直观图的空间想象能力的有效载体，是课标区每年必考内容.题型多为选择和填空题。其命题涉及几何体的结构特征、表面积和体积等问题.

二、空间几何体的表面积和体积

【教材原题】必修2课本29页习题1.3B组1题

如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm²，1cm³，可用计算器）。

解：由三视图画出奖杯的草图如图可知，

可知球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4π=4π•22=16π（），V球=43πR3=43π•23=323π（）．

而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：

S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544，

V四棱柱=8×4×20=640。

四棱台的表面积和体积

知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形．我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和．所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以主要求出其中一个侧面面积，问题就解决了．下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AE⊥CD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：

∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：

S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20

=（1285+544），[来源:GKSTK.Com]

V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2

=23544+434．

我们知道表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小．所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积．应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：

∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面

=16π+544+1285+544-2×（4×8）

=16π+1024+1285

≈1360，

奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544
≈1052．

【高考题或模拟题】

(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)

A．28＋6　　　　　　　 B．30＋6

C．56＋12 D．60＋ 12

【分析】将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，然后根据所给出的尺寸进行计算即可．

【解析】B　由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，

作SO⊥AC于O，则SO⊥面ABC，作OG⊥AB于G，连SG，则SG⊥AB，

由三视图知，∠ACB＝90°，SO＝4，AO＝2，CO＝3，BC＝4.

在Rt△AOG及Rt△ACB中，由Rt△AOG∽Rt△ACB，

∴＝⇒OG＝＝.

在Rt△SOG中，SG＝＝＝＝.

∴S表＝S△SAC＋S△SBC＋S△ABC＋S△SAB＝×4×5＋×4×＋×4×5＋××＝30＋6.

(2012·高考辽宁理13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

[答案]　38

[解析]　由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.

(2013·潍坊模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)

A．8 B．6 C．10 D．8

【分析】根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．[来源:学优gkstk]

【答案】　C

【解析】将三视图还原成几何体的直观图，如图所示．

由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,8,10,6，所以面积最大的是10.

(2012·广东卷)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　)

A．12π B．45π

C．57π D．81π

【解析】C　由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．

圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，

∴V＝V圆锥＋V圆柱＝Sh1＋Sh2＝×π×32×4＋π×32×5＝57π.

对比分析：

1.考查知识点：书本题、2012高考北京卷、2012高考辽宁理13、2013潍坊模拟、2012广东卷共同考查知识点是空间几何体的三视图、空间几何体的表面积和体积；书本题考查组合体的三视图、直观图、空间几何体的表面积和体积；2012高考北京卷、2012高考辽宁理13、2013潍坊模拟考查空间几何体的三视图、直观图、空间几何体的表面积；2012广东卷考查旋转体的三视图和体积。

2．考查的方式：书本题是解答题，2012高考北京卷、2013潍坊模拟、2012广东卷是以选择题形式出现；2012高考辽宁理13是填空题。

3．命题的思路：书本题、2012高考北京卷、2012高考辽宁理13、2013潍坊模拟、2012广东卷通过考查立体几何中三视图的有关知识、几何体的表面积和体积，考查学生空间想象能力，分析解决问题能力。

4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，空间几何体的表面积与体积的计算通常与对三视图的考查结合在一起，题型多为选择和填空题，有时也在解答题中与证明问题联系在一起，难度为中等及中等以下.

三、多面体与球

【教材原题】必修2课本37页复习参考题B组2题

一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000.线放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？

解：水槽的容积V=80×60×55=264000(cm3)，

木球的体积，

，

∴水不会从水槽中流出．

【高考题或模拟题】

(2013高考全国课标Ⅰ理数6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )[来源:学优GKSTK]

A. cm3 B. cm3

C. cm3 D. cm3

【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为= cm3，故选A.

(2012高考课标全国文8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A.π　　　　　　　　B. 4π

C. 4π D. 6π

【解析】 如图，设截面圆的圆心为O′，

M为截面圆上任一点，则OO′＝，

O′M＝1，所以∴OM＝＝

，即球的半径为.

故V＝π()3＝4π.

【答案】　B

对比分析：

1.考查知识点：书本题、2013高考全国课标Ⅰ理数6、2012高考课标全国文8共同考查知识点是球的截面圆性质、球的体积公式；书本题同时考查长方体的体积运算。

2．考查的方式：书本题是解答题；013高考全国课标Ⅰ理数6、2012高考课标全国文8是以选择题形式出现。

3．命题的思路：书本题、2013高考全国课标Ⅰ理数6、2012高考课标全国文8通过考查球的截面圆性质、球的体积公式来考查学生空间想象能力，分析解决问题能力以及对体积公式的掌握情况。

4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，题型多为选择和填空题，有时也在解答题中与证明问题联系在一起，难度为中等.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/94d5333d0029bd64783e2ca3.html