初一数学上册完全辅导第一章有理数精讲

初一数学上册重点知识学习参考

第一章 有理数

一、知识结构

有理数： 按定义分 按符号分 正整数

正整数 正有理数

0 整数 有 正分数（含正有限小数

负整数 理 0 和循环小数）

有限小数 正分数 数 负整数

分数 负有理数

无限循环

小数 负分数 负分数（含负有限小数

和循环小数）

注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.010000001……

二、掌握要点

1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。

（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。

（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。

（3）数0既不是正数，也不是负数。0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。

（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。

（5）正整数、0、负整数统称整数。整数可以看作分母为1的分数。

（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。

（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？

有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？

2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。

（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度

原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。

正方向——通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。

单位长度——选取适当的长度为单位长度。

（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。从左到右的顺序是从小到大的顺序。

（3）原点右边是正数，左边是负数；在原点两侧都有意义相反的数；数轴上右边的数大于左边的数。左边的点到原点距离越大，表示的数越小。

3、相反数：一般地，数a的相反数可以表示为-a。这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，他们的和为0；在数轴上表示时，离开原点的距离相等。 注意：0的相反数仍是0。

思考：任何数都不等于它的相反数，对吗？为什么？

4、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value），记作∣a∣。

（1）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值上0。即：当a是正数时，∣a∣= a；当a是负数时，∣a∣=- a；当a=0时，∣a∣=0。

（2）正数大于0, 0大于负数，正数大于负数。

（3）两个负数，绝对值大的反而小。

5、有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

思考：两个数都是负数，它们的和一定是负数吗？为什么？

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

思考：两个数的和是负数，这两个数一定都是负数吗？为什么？

两个有理数相加，和一定大于每一个加数对吗？为什么？

两个数的和是0，这两个数都是0对吗？为什么？

若a>0 ，b<0 ，且|a|<|b|，则a+b= -（|a| - |b|）对吗？

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

（4）加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。a + b = b+ a

（5）加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。（a + b）+ c = a +（b + c）

6、有理数减法法则：

（1）有理数的减法可以转化为加法来进行。

（2）减去一个数，等于加这个数的相反数，即a – b = a +（–b）

（3）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。

7、有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0。

（3）有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。

思考：如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，对吗？为什么？

（4）几个不是0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积是负数。几个不等于0的有理数相乘，要先确定积的符号，再确定积的绝对值。

（5）乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 ab=ba（a×b也可以写成a·b或ab，当用字母表示乘数时，“×”号可以写成“· ”或省略）。

（6）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）c=a（bc）。

（7）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a（b+c）=ab+ac

8、有理数除法法则：

（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。a÷b=a·

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

9、有理数乘方：

（1）求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫做幂（power），在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

（2）根据有理数乘法法则可以得出，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

思考：互为相反数的两个数的同一偶数次方相等，对吗？为什么？

（3）有理数混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

10、科学记数法、近似数和有效数字：

（1）一般地，10的n次幂等于10……0（在1的后面有n个0）。

（2）把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。

（3）只是接近实际数，但与实际数还有差别的数，是近似数。在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，就可以用近似数表示。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。

如л≈3（精确到个位）

л≈3.1（精确到十分位，或叫精确到0.1）

л≈3.14（精确到百分位，或叫精确到0.01）……

思考：1.8和1.80的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把1.80后面的0去掉吗？为什么？

a是小于1的正数，看看a， a²， a³ ……有哪些规律

b是大于-1的负数，看看b， b²， b³ ……有哪些规律

三 练习题

1、正数和负数是表示两种具有 的量。

2、有理数按定义分类有哪两类 和 ，按照符号分类有： 、 、 。

3、数轴三要素是 、 、 。数轴是 线。

4、数轴上的两点之间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值：表示数a的点A与表示数b的点B之间的距离AB=︱a-b︱或AB=︱b -a︱。与表示数m的点的距离为a（a＞0）的点有两个：它们表示的数是m±a.

5、数轴上居 两侧且到 的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数(几何定义)。0的相反数是 ，a的相反数是 。求一个数的相反数就是在这个数前添“ ”号后再化简。

6、数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值。绝对值具有非负性，即┃a┃ 0.互为相反数的两个数的绝对值 。若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于 。即非负条件式。如：若（x-3）2+┃x+y+7┃=0，求yx的值。

7、互为倒数的两个数的乘积等于 。互为倒数的两个数符号 。互为负倒数的两个数的乘积等于 。互为相反数的两个数的商等于 。

8、有理数的绝对值的取法：

(a＞0) (a≥0) (a＞0)

|a|= （a=0） 或|a|= 或 |a|=

(a＜0) (a＜0) (a≤0)

9、有理数的大小比较：异号两数 大；两个负数 大的反而小；0大于 而小于 ；数轴上原点 边的数大于 边的数。

10、有理数的加法法则有：⑴同号两数相加，取 的符号，并把 相加。 ⑵绝对值不同的异号两数相加，取 的符号，并用

减去 。互为 的两个数相加得0. ⑶一个数与0相加 。

注意：做有理数的加法要经过两个步骤：⑴定 ； ⑵定 。

11、有理数加法运算律：⑴ ，用式子表示为： ；

⑵ ，用式子表示为： 。运算律可使计算简便。

12、有理数减法法则： 。用式子表示为： 。

13、有理数加减法可以互化主要表现为省略加号的写法：-20+（+3）+（-5）-（-7）+（-8）可写成 的形式，它读作： 的和或 。

14、有理数的乘（或除）法法则是：⑴两数相乘（或除）， ；⑵几个非0因数相乘除， ；⑶0乘以（或除以）任何数都得 ，若几个因数相乘，其中一个因数为0则结果等于 。

注意：有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 ，再定 。会灵活应用乘法运算律简便运算：①分配律： ；②结合律： ；③交换律： 。

15、乘方是求几个 因数的积的运算。其结果叫 。如：a·a·a·……·a·a·a=an

n个a 其中a叫 ，n叫 ，an叫 .当n=1时， 省略不写。

16、乘方法则：负数的 幂是负数， 幂是正数；正数的任何次幂都是 数；0的任何正整数次幂都是 ；一切有理数的偶数次幂都是 数。

注：当a＞0时，a2n+1或a2n-1 0;当a≤0时，a2n+1或a2n-1 0. 当a为一切有理数时，a2n 0，即a2n 是 数(其中n是正整数)。

17、有理数的除法法则：⑴除以一个数等于 。用式子表示为 。

18、特殊数字知识点：相反数是本身的数是 ；绝对值是本身的数是 ；绝对值是相反数的数是 ；倒数是本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；平方等于相反数的数是 ；立方等于相反数的数是 ；奇数次幂等于本身的数是 ；偶数次幂等于本身的数是 ；任何次幂都等于本身的数是 。（注意：非负条件式）

19、（x+4）2-5有最 值是 ，此时x= ；-（x-4）2+3有最 值是 ，此时x= .

20、用科学记数法表示一个n位整数的基本形式是a×10（ ）（其中a的范围是 ）

21、精确度表示 的接近程度。判断一个近似数的精确度就是看这个数的最位数字在什么数位上就说精确到哪一位；对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数字最末一位在还原后的数的哪一位上；科学记数法也看a中的最末一位在还原后的数的哪一位上就是精确到哪一位。按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入，对于要求精确到的数位比个位高时应先化为科学记数法再取近似值，如：35780000（精确到百万位）应为35780000=3.578×106≈3.6×106。

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