2018年江苏高考数学考试说明（含最新试题）

2018年江苏省高考说明－数学科

一、命题指导思想

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.

1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查　　

对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.　　

2．重视数学基本能力和综合能力的考查　　

数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.　　

（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.　　

（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.　　

（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.　　

（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.　　

（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.　　

数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.　　

3．注重数学的应用意识和创新意识的考查　　

数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.　　

创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.　　

二、考试内容及要求

数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.

了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.

具体考查要求如下：

1．必做题部分　　

2．附加题部分　　

三、考试形式及试卷结构

（一）考试形式　　

闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.　　

（二）考试题型　　

1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.　　

2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.　　

填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.　　

（三）试题难易比例　　

必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.　　

附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.

四、典型题示例

A.必做题部分

1. 设复数满足（i是虚数单位），则的虚部为_____

【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.

【答案】

2. 设集合，则实数的值为_

【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.

【答案】1.

3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．

【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，

本题属容易题.

【答案】5

4. 函数的定义域为　

【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.

【答案】

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中

随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤

维的长度是棉花质量的重要指标），所得数

据均在区间中，其频率分布直方图

如图所示，则在抽测的根中，有_ _根

棉花纤维的长度小于.

【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.

【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为

,故频数为.

6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.

【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.

【答案】

7. 已知函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是________.

【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.

【答案】.

8.在各项均为正数的等比数列中，若的值是______.

【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题.

【答案】4.

9.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于，其焦点是，，则四边形的面积是______.

【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.

【答案】

10.如图，在长方体中，，

，则四棱锥的体积为 cm3．

【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力

和运算能力.本题属容易题.

【答案】6.

11.设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .

【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.

【答案】.

12.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中.若，则的值是 .

【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题.

【答案】

13.如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是 .

【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题.

【答案】.

14. 已知正数满足：则的取值范围是 ．

【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.

【答案】

二、解答题

15．在中，角.已知

（1）求值；

（2）求的值.

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力.

本题属容易题.

【参考答案】

（1）在中，因为，

故由正弦定理得，于是.

所以.

(2)由(1)得.所以.

又因为，所以.

从而.

在，

所以.

因此由正弦定理得.

16．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的

位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．

本题属容易题

【参考答案】

证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.

又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面平面BCD=BD，

平面BCD，，

所以平面.

因为平面，所以.

又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题.

【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，

解得，于是，

因此椭圆E的标准方程是.

（2）由（1）知，，.

设，因为点为第一象限的点，故.

当时，与相交于，与题设不符.

当时，直线的斜率为，直线的斜率为.

因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，

从而直线的方程：， ①

直线的方程：. ②

由①②，解得，所以.

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.

又在椭圆E上，故.

由，解得；，无解.

因此点P的坐标为.

18. 如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.

（1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..

【参考答案】

解法一：

(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b)，则k BC= k AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由条件知，直线BC的方程为，即

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半

径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由(1)知，sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

19. 设函数，其中为实数.

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题．

【参考答案】解：(1)令f′(x)＝＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.

综上，有a∈(e，＋∞)．

(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.

因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.

结合上述两种情况，有a≤e－1.

①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．

另外，当x＞0时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．

③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.

当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.

当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．

实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．

另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．

下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.

为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.

当x＞1时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，

h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，

从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，

h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.

当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在

[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．

综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，

当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.

20. 设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．

（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；

（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．

【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证能力．本题属难题．

【参考答案】

（1）当时，

当时，

∴时，，当时，

∴是“H数列”

（2）

对，使，即

取得，

∵，∴，又，∴，∴

（3）设的公差为d

令，对，

，对，

则，且为等差数列

的前n项和，令，则

当时；

当时；

当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，

因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．

的前ｎ项和，令，则

∵对，是非负偶数，∴

即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”

因此命题得证.

B．附加题部分

1．选修 几何证明选讲

如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点,若,求证:

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．

【参考答案】连结,因为是圆的直径，所以因为是圆的切线，所以,又因为所以于是≌从而即得故

2．选修矩阵与变换

已知矩阵，，求．

【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．

【参考答案】

设的逆矩阵为，则，即，故，，，，从而的逆矩阵为，所以，．

3．选修坐标系与参数方程

在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。本题属容易题．

【参考答案】

∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得。

∴圆的圆心坐标为（1，0）。

∵圆经过点，∴圆的半径为。

∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。

4．选修不等式选讲

已知是非负实数，求证：

【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题．

【参考答案】

由是非负实数，作差得

当时，从而得

当时，,从而得

所以

5. 如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.

（1）当时，求的长；

（2）当时，求的长。

【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间

向量解决问题的能力．本题属中等题．

【参考答案】

建立如图所示的空间直角坐标系。

设，则各点的坐标为

所以，.设平面的法向量为

，则,

即，令,则

所以是平面的一个法向量.

设平面的法向量为,则

即,令,则

所以是平面的一个法向量,从而

(1)因为,所以解得,从而

所以

(2)因为

所以

因为或,所以,解得或.

根据图形和(1)的结论可知,从而的长为.

6. 已知函数，记为的导数，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立．

【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.

【参考答案】

(1)解：由已知，得

于是

所以故

(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，

即，类似可得

，

，

.

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.

令，可得().

所以().

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9264fa32f9c75fbfc77da26925c52cc58ad69004.html