2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷

2019 年辽宁省沈阳市中考数学试卷

副标题

题号

得分

一

二

三

总分

一、选择题（本大题共 10 小题，共 20.0 分）

1. -5 的相反数是（

）

1

5

1

5

A. 5

B. -5

C.

D. −

【答案】A

【解析】解：-5 的相反数是 5，

故选：A．

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2. 2019 年 1 月 1 日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办

法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有 6500 万人减税 70%以上，将数据 6500

用科学记数法表示为（

A. 6.5×102 B. 6.5×103

【答案】B

）

C. 65×103

D. 0.65×104

【解析】解：6500=6.5×103，

故选：B．

科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要

看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原

数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|

＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

3. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯

视图是（

）

A.

B.

D.

C.

【答案】A

【解析】解：从上面看易得上面一层有 3 个正方形，下面左边有一个正方形．

故选：A．

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4. 下列说法正确的是（

）

第 1 页，共 17 页

A. 若甲、乙两组数据的平均数相同，S 甲 2=0.1，S 乙 2=0.04，则乙组数据较稳定

B. 如果明天降水的概率是 50%，那么明天有半天都在降雨

C. 了解全国中学生的节水意识应选用普查方式

D. 早上的太阳从西方升起是必然事件

【答案】A

【解析】解：A、∵S 2=0.1，S 2=0.04，∴S 2＞S 2，∴乙组数据较稳定，故本选项正

甲

乙

甲

乙

确；

B、明天降雨的概率是 50%表示降雨的可能性，故此选项错误；

C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；

D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；

故选：A．

根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可

得出答案．

本题考查了方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件，熟练掌握定义是解题的关

键．

5. 下列运算正确的是（

A. 2m3+3m2=5m5

C. m•（m2）3=m6

【答案】B

）

B. m3÷m2=m

D. （m-n）（n-m）=n2-m2

【解析】解：A.2m3+3m2=5m5，不是同类项，不能合并，故错误；

B．m3÷m2=m，正确；

C．m•（m2）3=m7，故错误；

D．（m-n）（n-m）=-（m-n）2=-n2-m2+2mn，故错误．

故选：B．

根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．

本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、幂的乘除法、幂的乘方、完全平方公式

是解题的关键．

6. 某青少年篮球队有 12 名队员，队员的年龄情况统计如下：

年龄（岁） 12

人数

13

1

14

2

15

5

16

1

3

则这 12 名队员年龄的众数和中位数分别是（

A. 15 岁和 14 岁 B. 15 岁和 15 岁 C. 15 岁和 14.5 岁 D. 14 岁和 15 岁

【答案】C

）

【解析】解：在这 12 名队员的年龄数据里，15 岁出现了 5 次，次数最多，因而众数是

145

14+15

12 名队员的年龄数据里，第 6 和第 7 个数据的平均数

=14.5，因而中位数是 14.5．

2

故选：C．

众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．

本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中

位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇

数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

7. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若 AD=10，A'D'=6，则△ABC

与△A'B'C'的周长比是（

）

第 2 页，共 17 页

A. 3：5

B. 9：25

C. 5：3

D. 25：9

【答案】C

【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，AD=10，A'D'=6，

∴△ABC 与△A'B'C'的周长比=AD：A′D′=10：6=5：3．

故选：C．

相似三角形的周长比等于对应的中线的比．

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识

解决问题．

8. 已知一次函数 y=（k+1）x+b 的图象如图所示，则 k 的取值范

围是（

）

A. k＜0

B. k＜-1

C. k＜1

D. k＞-1

【答案】B

【解析】解：∵观察图象知：y 随 x 的增大而减小，

∴k+1＜0，

解得：k＜-1，

故选：B．

根据一次函数的增减性确定有关 k 的不等式，求解即可．

考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度

不大．

9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 和点 D 是⊙O 上位于直径 AB

两侧的点，连接 AC，AD，BD，CD，若⊙O 的半径是 13，

BD=24，则 sin∠ACD 的值是（

）

12

A.

13

12

B.

5

5

C.

12

5

D.

13

【答案】D

【解析】解：∵AB 是直径，

∴∠ADB=90°，

∵⊙O 的半径是 13，

∴AB=2×13=26，

由勾股定理得：AD=10，

퐴퐷 10

5

∴sin∠B=퐴퐵= = ，

26 13

∵∠ACD=∠B，

5

∴sin∠ACD=sin∠B= ，

13

第 3 页，共 17 页

故选：D．

首先利用直径所对的圆周角为 90°得到△ABD 是直角三角形，然后利用勾股定理求得 AD

边的长，然后求得∠B 的正弦即可求得答案．

本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利

用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．

10. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A. abc＜0

【答案】D

B. b2-4ac＜0

C. a-b+c＜0

D. 2a+b=0

【解析】解：由图可知 a＞0，与 y 轴的交点 c＜0，对称轴 x=1，

∴b=-2a＜0；

∴abc＞0，A 错误；

由图象可知，函数与 x 轴有两个不同的交点，∴△＞0，B 错误；

当 x=-1 时，y＞0，

∴a-b+c＞0，C 错误；

∵b=-2a，D 正确；

故选：D．

由图可知 a＞0，与 y 轴的交点 c＜0，对称轴 x=1，函数与 x 轴有两个不同的交点，当

x=-1 时，y＞0；

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象

上获取信息确定 a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）

11. 因式分解：-x2-4y2+4xy=______

．

【答案】-（x-2y）2

【解析】解：-x2-4y2+4xy，

=-（x2+4y2-4xy），

=-（x-2y）2．

先提取公因式-1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．

本题考查利用完全平方公式分解因式，先提取-1 是利用公式的关键．

3푥 − 2푦 = 3

푥 + 2푦 = 5

{

的解是______．

12. 二元一次方程组

푥 = 2

푦 = 1.5

{

【答案】

【解析】解：

，

①+②得：4x=8，

第 4 页，共 17 页

解得 x=2，

把 x=2 代入②中得：2+2y=5，

解得 y=1.5，

푥 = 2

푦 = 1.5

{

所以原方程组的解为

．

푥 = 2

푦 = 1.5

{

故答案为

．

通过观察可以看出 y 的系数互为相反数，故①+②可以消去 y，解得 x 的值，再把 x 的值

代入①或②，都可以求出 y 的值．

此题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加

减法消元，②代入法消元．

13. 一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均

匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共

摸了 100 次球，发现有 70 次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．

【答案】3

【解析】解：由题意可得，红球的概率为 70%．则白球的概率为 30%，

这个口袋中白球的个数：10×30%=3（个），

故答案为 3．

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包

含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体

的分布情况．

本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．

14. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是

AB，CD，AC，BD 的中点，若 AD=BC=2√5，则四

边形 EGFH 的周长是______．

【答案】4√5

【解析】证明：∵E、G 是 AB 和 AC 的中点，

1

1

∴EG= BC= ×2√5=√5，

2

2

1

同理 HF= BC=√5，

2

1

1

EH=GF= AD= × 2√5=√5．

2

2

∴四边形 EGFH 的周长是：4×√5=4√5．

故答案为：4√5．

根三角形的中位线定理即可求得四边形 EFGH 的各边长，从而求得周长．

本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

푘

2

15. 如图，正比例函数 y =k x 的图象与反比例函数 y = （x＞

1

1

2

푥

0）的图象相交于点 A（√3，2√3），点 B 是反比例函数

第 5 页，共 17 页

图象上一点，它的横坐标是 3，连接 OB，AB，则△AOB 的面积是______．

【答案】2√3

【解析】解：（1）∵正比例函数 y =k x 的图象与反比例函数 y = （x＞0）的图象相交

푘

2

1

1

2

푥

于点 A（√3，2√3），

∴2√3=√3k1，2√3=푘1

，

√3

∴k =2，k =6，

1

2

6

∴正比例函数为 y=2x，反比例函数为：y= ，

푥

∵点 B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3，

6

∴y= =2，

3

∴B（3，2），

∴D（1，2），

∴BD=3-1=2．

1

1

∴S△AOB=S△ABD+S△OBD= ×2×（2√3-2）+ ×2×2=2√3，

2

2

故答案为 2√3．

푘

2

把点 A（√3，2√3）代入 y =k x和 y = （x＞0）可求出 k 、k 的值，即可正比例函数和

1

1

2

1

2

푥

求出反比例函数的解析式，过点 B 作 BD∥x 轴交 OA 于点 D，结合点 B 的坐标即可得出

点 D 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB 的面积．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特

征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：

根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB 的面

积．

16. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 上有一点 E，且 CE=4AE，点 F 在 DC 的延长线

上，连接 EF，过点 E 作 EG⊥EF，交 CB 的延长线于点 G，连接 GF 并延长，交 AC

的延长线于点 P，若 AB=5，CF=2，则线段 EP 的长是______．

13√2

2

【答案】

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【解析】解：如图，作 FH⊥PE 于 H．

∵四边形 ABCD 是正方形，AB=5，

∴AC=5√2，∠ACD=∠FCH=45°，

∵∠FHC=90°，CF=2，

∴CH=HF=√2，

∵CE=4AE，

∴EC=4√2，AE=√2，

∴EH=5√2，

在 Rt△EFH 中，EF2=EH2+FH2=（5√2）2+（√2）2=52，

∵∠GEF=∠GCF=90°，

∴E，G，F，C 四点共圆，

∴∠EFG=∠ECG=45°，

∴∠ECF=∠EFP=135°，

∵∠CEF=∠FEP，

∴△CEF∽△FEP，

퐸퐹 퐸퐶

∴

= ，

퐸푃 퐸퐹

∴EF2=EC•EP，

52 13√2

∴EP=

=

．

4√2

2

13√2

2

故答案为

．

如图，作 FH⊥PE 于 H．利用勾股定理求出 EF，再证明△CEF∽△FEP，可得 EF2=EC•EP，

由此即可解决问题．

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 82.0 分）

1

17. 计算：（- ）-2+2cos30°-|1-√3|+（π-2019）0．

2

√3

【答案】解：原式=4+2× -√3+1+1

2

=6．

【解析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的

性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了

多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分

别用字母 A，B，C，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全

相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

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（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是______．

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的

卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出

小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率．

1

【答案】

4

1

【解析】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率= ；

4

（2）列表如下：

A

B

C

D

A

（B，A） （C，A） （D，A）

（C，B） （D，B）

B （A，B）

C （A，C） （B，C）

（D，C）

D （A，D） （B，D）（C，D）

由表可知共有 12 种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的结果数

为 6 种，

6

1

所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率为 = ．

12

2

（1）直接根据概率公式求解；

（2）利用列表法展示所有 12 种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是

科技社团 D 的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，

再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率

19. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 是对角线 AC 上的两点，AE=CF，DF=BE，

且 DF∥BE，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G．

（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；

2

（2）若 tan∠CAB= ，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD 的面积是______．

5

【答案】24

【解析】（1）证明：∵AE=CF，

∴AE-EF=CF-EF，

即 AF=CE，

∵DF∥BE，

∴∠DFA=∠BEC，

∵DF=BE，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，

∴AD∥CB，

∴四边形 ABCD 是平行四边形；

（2）解：∵CG⊥AB，

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∴∠G=90°，

∵∠CBG=45°，

∴△BCG 是等腰直角三角形，

∵BC=4√2，

∴BG=CG=4，

2

∵tan∠CAB= ，

5

∴AG=10，

∴AB=6，

∴▱ABCD 的面积=6×4=24，

故答案为：24．

（1）根据已知条件得到 AF=CE，根据平行线的性质得到∠DFA=∠BEC，根据全等三角

形的性质得到 AD=CB，∠DAF=∠BCE，于是得到结论；

（2）根据已知条件得到△BCG 是等腰直角三角形，求得 BG=CG=4，解直角三角形得到

AG=10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．

本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确

的识别图形是解题的关键．

20. “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及

的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，

设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五

个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并

将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了______名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

（3）扇形统计图中 m 的值是______，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数是______

度；

（4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒

假在家做家务的总时间不低于 20 小时．

【答案】50 32 57.6

【解析】解：（1）本次共调查了 10÷20%=50（人），

故答案为 50；

（2）B 类人数：50×24%=12（人），

D 类人数：50-10-12-16-4=8（人），

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16

50

（3）

× 100%=32%

，即

m=32，

8

类别 D 所对应的扇形圆心角的度数 360°× =57.6°，

50

故答案为 32，57.6；

（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数．

800×（1-20%-24%）=448（名），

答：估计该校有 448 名学生寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时．

（1）本次共调查了 10÷20%=50（人）；

（2）B 类人数：50×24%=12（人），D 类人数：50-10-12-16-4=8（人），根据此信息补

全条形统计图即可；

16

50

8

（3）

× 100%=32%

，即

m=32

，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数

360°× =57.6°

；

50

（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数．800×（1-20%-24%）

=448（名）．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21. 2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两

种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，乙种

树苗每棵比甲种树苗每棵少 6 元．

（1）求甲种树苗每棵多少元？

（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少

棵？

【答案】解：（1）设甲种树苗每棵 x 元，根据题意得：

800

푥

600

푥−6

=

，

解得：x=40，

经检验：x=40 是原方程的解，

答：甲种树苗每棵 40 元；

（2）设购买乙中树苗 y 棵，根据题意得：

40（100-y）+36y≤3800，

1

解得：y≥33 ，

3

第 10 页，共 17 页

∵y 是正整数，

∴y 最小取 34，

答：至少要购买乙种树苗 34 棵．

【解析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；

（2）根据题意列出不等式求解即可．

本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量

关系，难度不大．

22. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线 MN 与⊙O

相切于点 C，过点 B 作 BD⊥MN 于点 D．

（1）求证：∠ABC=∠CBD；

（2）若 BC=4√5，CD=4，则⊙O 的半径是______．

【答案】5

【解析】（1）证明：连接 OC，

∵MN 为⊙O 的切线，

∴OC⊥MN，

∵BD⊥MN，

∴OC∥BD，

∴∠CBD=∠BCO．

又∵OC=OB，

∴∠BCO=∠ABC，

∴∠CBD=∠ABC．；

（2）解：连接 AC，

在 Rt△BCD 中，BC=4√5，CD=4，

∴BD=√퐵퐶2 − 퐶퐷2=8，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

퐴퐵 퐶퐵

퐴퐵 4√5

∴

=

，即

=

，

퐵퐶 퐵퐷

4√5

8

∴AB=10，

∴⊙O 的半径是 5，

故答案为 5．

（1）连接 OC，由切线的性质可得 OC⊥MN，即可证得 OC∥BD，由平行线的性质和等

腰三角形的性质可得∠CBD=∠BCO=∠ABC，即可证得结论；

（2）连接 AC，由勾股定理求得 BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径 AB，从而

求得半径．

本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作

出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．

第 11 页，共 17 页

23. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx+4（k≠0）交 x 轴于点 A（8，0），交 y 轴于点 B．

（1）k 的值是______；

（2）点 C 是直线 AB 上的一个动点，点 D 和点 E 分别在 x 轴和 y 轴上．

①如图，点 E 为线段 OB 的中点，且四边形 OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的

周长；

33

②当 CE 平行于 x 轴，CD 平行于 y 轴时，连接 DE，若△CDE 的面积为 ，请直接

4

写出点 C 的坐标．

1

【答案】-

2

【解析】解：（1）将 A（8，0）代入 y=kx+4，得：0=8k+4，

1

解得：k=- ．

2

1

故答案为：- ．

2

1

（2）①由（1）可知直线 AB 的解析式为 y=- x+4．

2

1

当 x=0 时，y=- x+4=4，

2

∴点 B 的坐标为（0，4），

∴OB=4．

∵点 E 为 OB 的中点，

1

∴BE=OE= OB=2．

2

∵点 A 的坐标为（8，0），

∴OA=8．

∵四边形 OCED 是平行四边形，

∴CE∥DA，

퐵퐶 퐵퐸

∴

=

=1，

퐴퐶 푂퐸

∴BC=AC，

∴CE 是△ABO 的中位线，

1

∴CE= OA=4．

2

∵四边形 OCED 是平行四边形，

∴OD=CE=4，OC=DE．

在 Rt△DOE 中，∠DOE=90°，OD=4，OE=2，

∴DE=√푂퐷2 + 푂퐸2=2√5，

∴C 平行四边形 OCED=2（OD+DE）=2（4+2√5）

=8+4√5．

第 12 页，

1

1

②设点 C 的坐标为（x，- x+4），则 CE=|x|，CD=|- x+4|，

2

2

1

1

33

∴S△CDE= CD•CE=|- x2+2x|= ，

2

4

4

∴x2+8x+33=0 或 x2+8x-33=0．

方程 x2+8x+33=0 无解；

解方程 x2+8x-33=0，得：x =-3，x =11，

1

2

11

3

∴点 C 的坐标为（-3， ）或（11，- ）．

2

2

（1）根据点 A 的坐标，利用待定系数法可求出 k 值；

（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 B 的坐标，由平行四边形的性质结

合点 E 为 OB 的中点可得出 CE 是△ABO 的中位线，结合点 A 的坐标可得出 CE 的长，

在 Rt△DOE 中，利用勾股定理可求出 DE 的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出

▱OCED 的周长；

1

1

②设点 C 的坐标为（x，- x+4），则 CE=|x|，CD=|- x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE

2

2

33

的面积为 可得出关于 x 的方程，解之即可得出结论．

4

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形

的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的

中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出 k 值；（2）①利用

勾股定理及三角形中位线的性质，求出 CE，DE 的长；②利用三角形的面积公式结合

33

△CDE 的面积为 ，找出关于 x 的方程．

4

24. 思维启迪：

（1）如图 1，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A，B 间的

距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 B

点的点 C，连接 BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C

作CD∥AB 交AP 的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B 间的距离是______

米．

思维探索：

（2）在△ABC 和△ADE 中，AC=BC，AE=DE，且 AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将

△ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此

时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋转角为 α，连 接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，

连接 PC，PE．

①如图 2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是

______；

②如图 3，当 α=90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关

系，并证明你的结论；

③当 α=150°时，若 BC=3，DE=l，请直接写出 PC2 的值．

第 13 页，共 17 页

【答案】200 PC=PE，PC⊥PE．

【解析】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C=∠B，

在△ABP 和△DCP 中，

퐵푃 = 퐶푃

{∠퐴푃퐵 = ∠퐷푃퐶

∠퐵 = ∠퐶

，

∴△ABP≌△DCP（SAS），

∴DC=AB．

∵AB=200 米．

∴CD=200 米，

故答案为：200．

（2）①PC 与 PE 的数量关系和位置关

系分别是 PC=PE，PC⊥PE．

理由如下：如解图 1，延长 EP 交 BC 于

F，

同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），

∴PF=PE，BF=DE，

又∵AC=BC，AE=DE，

∴FC=EC，

又∵∠ACB=90°，

∴△EFC 是等腰直角三角形，

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE．

②PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是

PC=PE，PC⊥PE．

理由如下：如解图 2，作 BF∥DE，交 EP 延

长线于点 F，连接 CE、CF，

同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），

1

∴BF=DE，PE=PF= 퐸퐹，

2

∵DE=AE，

∴BF=AE，

∵当 α=90°时，∠EAC=90°，

∴ED∥AC，EA∥BC

∵FB∥AC，∠FBC=90，

第 14 页，共 17 页

∴∠CBF=∠CAE，

在△FBC 和△EAC 中，

퐵퐹 = 퐴퐸

{∠퐶퐵퐸 = ∠퐶퐴퐸

퐵퐶 = 퐴퐶

，

∴△FBC≌△EAC（SAS），

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCE=90°，

∴△FCE 是等腰直角三角形，

∵EP=FP，

1

∴CP⊥EP，CP=EP= 퐸퐹．

2

③如解图 2，作 BF∥DE，交 EP 延长

线于点 F，连接 CE、CF，过 E 点作

EH⊥AC 交 CA 延长线于 H 点，

当 α=150°时，由旋转旋转可知，

∠CAE=150°，DE 与 BC 所成夹角的

锐角为 30°，

∴∠FBC=∠EAC=α=150°

同②可得△FBP≌△EDP（SAS），

同②△FCE 是等腰直角三角形，

√2

CP⊥EP，CP=EP= 퐶퐸，

2

在 Rt△AHE 中，∠EAH=30°，

AE=DE=1，

1

√3

2

∴HE= ，AH= ，

2

又∵AC=AB=3，

√3

∴AH=3+ ，

2

∴EC2=AH2+HE2=10 + 3 3

√

1

10+3√3

∴PC2= 퐸퐶 =

2

．

2

2

（1）由由 CD∥AB，可得∠C=∠B，根据∠APB=∠DPC 即可证明△ABP≌△DCP，即可得

AB=CD，即可解题．

（2）①延长 EP 交 BC于 F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC 是等腰直角三角形，

即可证明 PC=PE，PC⊥PE．

②作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合

已知得 BF=DE=AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC 是等腰直角三角形，即

可证明 PC=PE，PC⊥PE．

③作 BF∥DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，过 E 点作 EH⊥AC交 CA 延长线于 H

点，由旋转旋转可知，∠CAE=150°，DE 与 BC 所成夹角的锐角为 30°，得∠FBC=∠EAC，

同②可证可得 PC=PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2=AH2+HE2=10+ 3√3，即可

1

求出 PC2= 퐸퐶

2

10+3√3

2 =

．

2

本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三

第 15 页，共 17 页

角形性质、勾股定理和 30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形

解决问题，属于压轴题．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2

（a≠0）与 轴交于 ， 两点（点

x

A B

A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（-2，-3）和点 E（3，2），

点 P 是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 DE 和抛物线的表达式；

（2）在 y 轴上取点 F（0，1），连接 PF，PB，当四边形 OBPF 的面积是 7 时，求

点 P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，

N（点 M 在点 N 的上方），且 MN=2√2，动点 Q 从点 P 出发，沿 P→M→N→A 的

路线运动到终点 A，当点 Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点 N 的坐标．

1

푎 = −

−3 = 4푎 − 2푏 + 2

9푎 + 3푏 + 2 = 2

{

{

，解得：

2，

【答案】解：（1）将点D、E 的坐标代入函数表达式得：

3

푏 =

2

1

3

故抛物线的表达式为：y=- x2+ x+2，

2

2

同理可得直线 DE 的表达式为：y=x-1„①；

（2）如图 1，连接 BF，过点 P 作 PH∥y 轴交 BF 于点 H，

将点 FB 代入一次函数表达式，

1

同理可得直线 BF 的表达式为：y=- x+1，

4

1

3

1

设点 P（x，- x2+ x+2），则点 H（x，- x+1），

2

2

4

1

1

1

3

1

S

四边形 OBPF=S△OBF+S△PFB= ×4×1+ ×PH×BO=2+2（- x2+ x+2+ x-1）=7，

2

2

2

2

4

第 16 页，共 17 页

3

解得：x=2 或 ，

2

3

25

故点 P（2，3）或（ ， ）；

2

8

（3）当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，点 P（2，3），

过点 M 作 A′M∥AN，过作点 A′直线 DE 的对称点 A″，连接 PA″交直线 DE 于点 M，

此时，点 Q 运动的路径最短，

∵MN=2√2，相当于向上、向右分别平移 2 个单位，故点 A′（1，2），

A′A″⊥DE，则直线 A′A″过点 A′，则其表达式为：y=-x+3„②，

联立①②得 x=2，则 A′A″中点坐标为（2，1），

由中点坐标公式得：点 A″（3，0），

同理可得：直线 A″P 的表达式为：y=-3x+9„③，

5

5

3

联立①③并解得：x= ，即点 M（ ， ），

2

2

2

1

1

点 M 沿 ED 向下平移 2√2个单位得：N（ ，- ）．

2

2

【解析】（1）将点 D、E 的坐标代入函数表达式，即可求解；

1

1

（2）S 四边形 OBPF=S△OBF+S△PFB= ×4×1+ ×PH×BO，即可求解；

2

2

（3）过点 M 作 A′M∥AN，过作点 A′直线 DE 的对称点 A″，连接 PA″交直线 DE 于

点 M，此时，点 Q 运动的路径最短，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中

（3），通过平移和点的对称性，确定点 Q 运动的最短路径，是本题解题的关键．

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/91ec2b9953d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f40.html