充分条件与必要条件的解题技巧

充分条件与必要条件

1. 定义：
　　对于“若p则q”形式的命题：

①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

　②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若且 ，则是成立的必要不充分条件；
　　④若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.

⑤若 且 ，则是成立的既不充分也不必要条件．

从集合的观点上

关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．

建立与、相应的集合，即成立，成立．

若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件；

若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；

若，则是成立的充要条件；

若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件．

例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的

[ ]

A．充分但不必要条件 　　B．必要但不充分条件

C．充要条件 　　　 D．既不充分也不必要条件

解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根 ∴x1，x2的值分别为1，－6，

∴x1＋x2＝1－6＝－5．

因此选A．

变式1 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

[ ]

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

例2 p是q的充要条件的是

[ ]

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5

B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解

解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；

对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；

对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解

例3（年北京）“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件

C．充要条件 　D．既不充分也不必要条件

分解：当时，，w即．反之，当时，有，

或，即 ．

综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A．

变式3 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

[ ]

A．0＜a≤1 　B．a＜1

C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0

例4（2008福建)设集合,,那么“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件 　 　D．既不充分也不必要条件

分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．

解：∵，

∴.

故选A．

例5．已知p：word/media/image41.gif，q：word/media/image42.gif，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围

解：由p：word/media/image41.gif得word/media/image43.gif；由q：word/media/image42.gif得word/media/image44.gif或word/media/image45.gif

∵p是q的一个充分不必要条件，∴只有pword/media/image46.gifq成立，∴word/media/image47.gif，∴word/media/image48.gif

变式5 已知命题：，命题：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．

例6 已知命题：有两个不等的负根，命题：10无实数根．若命题与命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．

分析：对命题和命题的条件进行化简可得的范围，再对、的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出的取值范围．

解：∵方程有两个不等的负根，

∴，解得.

∵方程无实数根，

∴，解得.

若命题为真，命题为假，则，得.

若命题为假，命题为真，则，得.

综上所述，实数的取值范围为或．

变式6 命题p：关于x的不等式word/media/image71.gif对一切word/media/image72.gif恒成立；

命题q：函数word/media/image73.gif在word/media/image74.gif上递增

若word/media/image75.gif为真，而word/media/image76.gif为假，求实数word/media/image77.gif的取值范围。

【解释】

变式1 解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．

∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5

∴甲是乙的充分不必要条件，选A．

变式3 解：用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝

当a≠0时

综上所述a≤1．

即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．

变式5 解：记，

∵￢是￢的充分不必要条件，

∴是的充分不必要条件，即.

∴，解得.

所以实数的取值范围是

变式6． 解：命题p：关于x的不等式word/media/image71.gif对一切word/media/image72.gif恒成立；

pTword/media/image46.gifword/media/image86.gif，即word/media/image87.gif

命题q：函数word/media/image73.gif在word/media/image74.gif上递增；qTword/media/image46.gifword/media/image88.gif

∵word/media/image75.gif为真，而word/media/image76.gif为假，∴pq一真一假

p真q假时，pTword/media/image46.gifword/media/image87.gif；qFword/media/image46.gifword/media/image89.gif;∴word/media/image90.gif

p假q真时，pFword/media/image46.gifword/media/image91.gif；qFword/media/image46.gifword/media/image88.gif;∴word/media/image92.gif

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/91a02710580102020740be1e650e52ea5518cec4.html