#等边三角形中的动点问题

1. 设计简述：（简要说明设计的指导思想、理论依据和特色，不超过800字）

动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

2. 教材分析：

（1）根据《课程标准》，分析本课教学的基本要求

（2）分析本课内容的知识体系（地位和作用）

（3）分析本课内容与相关知识的区别和联系

（4）说明教学内容的调整、整合、结构和补充

随着教材改革的不断深化，《新课程标准》理念的进一步强化，要求学生的动手实践、自主探索、合作交流的能力得到更高层次的发展，在几何直线型试题中，也频频出现一类新题型——动态问题.这类问题一般分为动点型、动线型和动面型.主要是运用运动变化的观点，创设一个由静止的状态到按某一规律运动的动态情景，通过观察、实验、猜测、验证、交流、推理、动中窥定、变中求静、以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形中的内在联系。随着新教材几何图形变换地位的突显，在几何直线型试题中这种动态思想渗透越来越多。在动态探究过程中，要求学生的知识面宽，分析能力强，思维多向发散，解题方法灵活。在教学过程中要注意对学生的数学素养和创新意识的培养，这类题型虽说对大部分学生有一定的难度，但并不是无规律可寻，只要把握变量与不变量的关系，沿着以“动”思“静”，以“静”探“动”的主线进行探析，并不断加强练习，功到自然成。

3.学情分析：

（1）分析学生的学习起点，可能遇到的困难和问题及其依据

（2）确定促进学生有效学习，解决困难的思路和策略。

学生对动态几何题感到比较困难，原因是动点运动一起图形的变化，探索图形中的变量与不变量及他们之间的关系；解决这类问题时，需要学生搞清图形的变化过程，正确分析变量与不变量之间的内在联系.同时，还要求学生要具备较扎实的数学功底，掌握基本数学方法，较强的洞察力，丰富的想象力及综合分析问题的能力，对学生的要求比较高，

根据学生已有的知识水平，教学上采用以引导发现、讨论法为主，演示、验证法相结合的教学方法，让学生从自己的实践中获取知识，加深对知识的理解，培养总结、归纳的能力。本节课采用几何画板等多媒体辅助教学，一方面能够直观地演示点的运动引起图形的变化，一些量的变化与不变，同时也能够用实验的方法验证学生得出的结论，激发学生的求知欲；另一方面也有利于分散难点、突出重点，也增加课堂的容量。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。在求有关图形的变量之间关系时,通常建立函数模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时,通常建立方程模型求解.

亮点与反思：几何画板是探求、解决问题的工具。通过几何画板辅助教学，能让学生自觉、主动地参与到了教学活动之中。通过操作，聚焦几何关系、数量关系的变化过程，展示、暴露了点动---图形的变化----变量与不变量，以及如何添加辅助线等思维过程，再次领略到了“数学是思维的体操”的感觉。

4. 教学目标设计：

用具体、明确、可操作的行为语言，描述本课的知识、技能、能力、方法、情感、态度、价值观等方面的教学目标。

根据《数学课程标准》的要求，结合内容特点及学生的已有的知识水平，把本课的教学目标确定为知识与技能目标、能力与方法目标、情感态度、价值观目标：

1、知识与技能目标：探索动点运动变化过程中，图形的有关性质和图形之间的角的数量关系、图形中边的数量关系、位置关系的变化规律．

2、能力与方法目标：学会解决等边三角形中的简单的动点问题，学会分析动点变化过程中的变量与不变量之间的关系，促进对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高。

3、情感态度、价值观目标：让学生体验成功的喜悦，感受数学学习的兴趣，增加学习数学的兴趣和自信心。

5. 重点难点设计：本课的教学重点和教学难点及依据

教学重点：在动点的运动变化引起图形的变化过程中，正确分析不变量与变量之间的内在联系，建立它们之间的关系．

教学难点： 例题2（面积相等的理由，辅助线的添加）

6. 教学策略与手段：本课教学中所运用的教学模式、教学策略和教学手段，包括课前准备：（1）学生的学习准备；2．教师的教学准备；3．教学环境的设计与布置；4．教学用具的设计和准备。

新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。本节课采用主动参与——探究——发现教学策略，鼓励学生去发现、猜想、分析并解决问题，借助多媒体课件，从直观的感性认识中发现动点的运动规律和解决动点问题的策略，使学生成为探求知识的主体，同时还请学生准备好三角板等工具和教师准备好三角板与几何画板的课件；并设计了变式训练和开放题，来帮助学生逐步树立转化、分类讨论的思想和发展性的思维。

7. 教学过程：这是教学设计的主体部分。分几个环节具体说明教学活动的安排，包括学生学习活动、教师指导活动、师生交互活动。应采用文字叙述加点评的格式，不要采用表格或流程图的形式。

（一）创设情境，引入新课

众观前几年的中考试卷，动点型问题是个热点问题，这节课我们一起来探讨《等边三角形中的动点问题》

【设计意图】采用这种直接方法引入的目的是开门见山紧扣课题，明确学习目标．

（二）探索新知，提炼方法

1、单动点问题

引例：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.

动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.

设点P的运动时间为（s），那么t=____时，△PBC是直角

三角形？

【教师活动】请同学们想象一下，△PBC的形状会变化吗？又如何变化呢？

【学生学习活动】让学生独立思考问题，自由发言。

【教师活动】△PBC有几个元素？是否有会随P点的运动而改变呢？

【学生活动】学生观察图形，点P从A点到B点的运动，探索图形中变化的量与不变量，学生阐述自己的想法与结论。

【数学实验】利用几何画板把点P动起来，显示动态图形，使问题更直观、形象。同时让学生验证自己的结论正确与否。

【设计意图】设计一个学生熟悉的几何图形，动点P在等边三角形的边上运动，让学生猜想、探索结论，并利用几何画板实验的方法验证结论，激发学生学习数学的兴趣，同时发现动点问题中蕴藏着一些相互联系的变量与不变的量，使学生

解决动点问题有个感性的认识。

【说明】从等边三角形中的单动点引入，简单到复杂，特殊到一般的，从单动点问题迁移到双动点问题作好铺垫。

2、双动点问题

例1：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P

从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，

沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度

同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，

△PBQ是直角三角形?

【教师活动】单动点问题迁移到双动点问题，学生根据引例中的分析，探索解决问题的方法，教师结合下列问题进行启发：

本题中P、Q运动，引起有哪些线段长度、角度的变化、，哪些线段长度、角度不变，哪些变化的量相等？

若△PBQ是直角三角形，直角会是哪些角？（让学生自由发挥，畅所欲言）

P、Q运动会不会运动到AB、BC外呢？t的取值范围是多少呢？

【学生活动】例题1在老师的引导下，让学生思考、讨论的形式完成，并由老师和学生边问边板演的形式交替进行.方法一：在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

【教师活动】还有其他方法？

【学生活动】学生之间互相讨论，充分发挥学生的潜能，让学生上台板演，充分发挥学生的学习积极性。方法二：用三角函数的方法

【设计意图】对所学的知识加深理解与应用，培养学生发散思维，一题多解，进一步发展了学生有条理的思考和表达能力和分类讨论的思想方法.

【归纳小结】解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。动点运动过程中，抓住图形在变化过程中不变量与变量及不变量与变量之间的关系。在求有关图形的变量之间关系时,通常建立函数模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时,通常建立方程模型求解.

（三）巩固练习，拓展思维

已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，

沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.

连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时

出发.设运动时间为t（s），那么 当t为何值时，△DCQ

是等腰三角形?

【设计意图】通过练习，能够及时将学生的掌握情况给老师以反馈，进一步提高学生的应用能力，实现对知识的应用和拓展。

（四）深入探究，提升能力

【教师活动】出示等边三角形中的多媒体动态图形与题目。

例2、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.

设运动时间为t（s），连接PC.

请探究：在点P、Q的运动过程中

△PCD和△QCD的面积是否相等？

【学生活动】观察图形，阅读题目，做到审题，思考方法，建立数学模型。

【教师活动】P、Q两个动点运动过程中，△PCD和△QCD的面积有变化吗？

△PCD和△QCD的面积如何变化呢？

若判断两个△PCD和△QCD的面积相等，又从哪方面入手说明理由呢？

【设计意图】借助几何画板的软件，演示P、Q两个动点运动过程中，显示两个三角形的面积大小，△PCD和△QCD的面积变化的情况？猜测这两个三角形面积之间的内在关系，最有效的最直接的方法——用几何画板里软件度量三角形面积的大小，然后进行猜测他们之间的关系，S△PCD＝S△QCD.面积相等的解题方法是等积变换，等积变换有三种，分别为等底等高、同底等高、等底同高. 本题让学生进行互相探讨，发现最优的解题方法.由于本题△ABC为等边三角形，抓住这一特征，可采用作辅助线的方法来处理，

【提示】随着P、Q两点运动，△PCD面积增加，△QCD的面积也增加；△PCD面积减少，△QCD的面积也减少；经过反复观察、讨论，归纳得到：第一，△PCD和△QCD的面积的大小相等；第二，△PCD和△QCD的面积的大小变化量是一样。这两个三角形有一条公共边，判断出用等积变换来做，辅助线就是这样来了．

【合作交流】：本题当点运动到不同位置时，三角形的形状、面积大小产生了变化，这两个三角形的面积变化量大小不变的关系，但解题的基本数学思想方法却不变，因此我们可以以不变应万变，用不变的解题思路，求解动点问题.

【学生活动】学生先观察两个图形的位置，猜想这两个三角形的面积大小关系，变化量大小之间的关系。学生间讨论（让学生自由发表看法）

CD是这两个三角形的公共边，可以看作底，探索高。

过P点作PE∥BC交AC于点E，由此△PDE与△DCQ的面积相等；而△PDE与△DCP的面积相等，所以△DCP与△DCQ的面积相等。

过P点作PE∥BC交AC于点E，由此△PDE与△DCQ的面积相等；而△PDE与△DCP的面积相等，所以△DCP与DCQ的面积相等。

【设计意图】老师积极引导学生猜想这两个三角形的面积关系，并用实验的方法验证动点运动时这两个三角形的面积保持相等．从不同角度去解决同一个问题，培养学生的多向思维，等积变换的思想方法.

（五）归纳小结，反思提高

【教师活动】这节课学习了用什么知识解决动点问题？

解决动点问题的步骤是什么？应注意什么问题？

【设计意图】让学生归纳这节课的学习内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后解决动点问题打下扎实的基础；惟有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认识水平，促进数学观点的形成与发展，更好地进行知识建构。

亮点与反思：本节课采用以学生自主观察、讨论为主、练习为辅，教师以等边三角形为载体，探究判断三角形的形状，三角形的面积等问题，让学生积极参与教学过程，自主探究与交流合作、感知知识的形成过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步应用所学的知识与方法，数学思想方法。

亮点与反思：本节课的板书设计分为五区域，第一区域书课题；第二区域书写动点问题中关注动点的两要素——速度和方向；第三区域板书例1的两种解法：方法一教师板书、方法二由学生板演，方法一、二放在一起让学生比较方法的优劣便于采纳解题方法；第四区域板书例2的三种面积相等的理由；第五区域让学生板演练习。这样板书直观性强，目标明确，重点突出，安排合理，有利于加深学生对所学内容的理解和记忆教，也有利于学生训练技能，发展智力。

9. 作业设计

练习2：已知等边三角形△ABC，（1）动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，连接CP、AQ交于M，如果动点P、Q都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

(2)若动点P、Q继续运动，分别沿射线AB、BC方向运动，.∠AMP=60°的结论还成立吗？

亮点与反思：为使学生掌握解题规律，避免学生盲目的题海战术，减轻学生的课业负担，变式的训练是必不可少的；而对知识的转化，能力的提升，只有在这些活题中演练才能很好地实现。设计本练习是对课内知识的延伸与拓展，掌握共性与变异的规律，做到举一反三，触类旁通。

10. 问题研讨：提出2-3个与本课设计相关的、值得反思和讨论的问题。