数列通项的求法（有详解）

数列通项的求法

题型1.观察法求通项

例1. 已知数列，，，，，，…．写出数列的一个通项公式．．

题型2.定义法求通项

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例2．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

题型3.应用与的关系求通项

例3. 已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.

题型4.利用递推公式求通项

类型1 递推公式为解法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法. 累加相消法是求形如

例4. 已知数列满足，，求。

类型2 递推公式为 解法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘相消法.

例5. 已知数列满足，，求。

类型3.递推式： 解法：

例6．设数列：，求.

类型4 递推公式为 （或,其中p，q, r均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。

例7. 已知数列中，,，求。

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列中，, ,，求。

题型5.待定系数法求通项

例9.已知数列满足，求数列的通项公式。

通项公式的求法同步练习

1. 已知数列满足，（２≤≤８），则它的通项公式＝　　　．

2. 已知数列满足，（≥2），则＝　　　．

3. 已知是首项为１的正项数列，并且，则它的通项公式＝　　　　．

4. 若中, ,且(是正整数),则数列的通项公式＝　　 ．

三、解答题

5. 已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.

6. 数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。

7. 数列满足=0，求数列{a}的通项公式。

8. 已知数列满足，求数列的通项公式。

9. 已知数列满足：对于都有

（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

10. 数列{}满足且。求、、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。

数列通项的求法答案

题型1.观察法求通项

例1. 已知数列，，，，，，…．写出数列的一个通项公式．．

题型2.定义法求通项

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例2．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解析：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵， ∴………………………………①

∵ ∴…………②

由①②得：，∴

题型3.应用与的关系求通项

有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。

例3. 已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.

解析：由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

题型4.利用递推公式求通项

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例4. 已知数列满足，，求。

解析：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以 ，

类型2 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例5. 已知数列满足，，求。

解析：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

点评：由和确定的递推数列的通项可如下求得：

由已知递推式有，，，依次向前代入，得

，

简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

类型3.递推式：

解法：只需构造数列，消去带来的差异．

例6．设数列：，求.

解析：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得

点评：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.

类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。

例7. 已知数列中，,，求。

解析：在两边乘以得：

令，则,应用例7解法得：

所以

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列中，, ,，求。

解析：由可转化为

即或

这里不妨选用（也可选用），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以.

点评：已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形式，然后选择合理的变形.

题型5.待定系数法求通项

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

例9.已知数列满足，求数列的通项公式。

分析: 本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

解析：设 ④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

通项公式的求法同步练习

1. 已知数列满足，（２≤≤８），则它的通项公式＝　　　．

2 已知数列满足，（≥2），则的通项

3. 已知是首项为１的正项数列，并且，则它的通项公式＝　　　　．

4. 若中, ,且(是正整数),则数列的通项公式＝　　 ．

5. 已知数列前n项和.

（1）求与的关系；（2）求通项公式.

6. 数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。

7. 数列满足=0，求数列{a}的通项公式。

8. 已知数列满足，求数列的通项公式。

9. 已知数列满足：对于都有

（1）若求（2）若求（3）若求

（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

10. 数列{}满足且。求、、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。

答案与解析

1. 解：∵　，　∴，则有

，，…，．

把以上各式两边相加，得，∵，∴，

∵，∴　．答案：

2. 解；本题考查的数列递推公式的求解

当≥2时，＝（≥３）

（≥３）（≥３）＝＝　，其中当＝２时，

答案：．

3. 解：对所给的式子的左边分解因式得　，

∵　，∴　．

又∵，故　，得公式＝．

答案：＝

4. 解:：∵，∴　，两边取对数，得．

∴　是以为首项，以２为公比的等比数列．

∴　，∴　．

答案：　

5. 解：（1）由得：

于是

所以.

上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

6. 解：由得

设a，比较系数得解得

∴{}是以为公比，以为首项的等比数列

∴

7. 解：由得

即，且

∴是以2为公比，3为首项的等比数列

∴

利用逐差法可得

===

= ∴

8. 解法一：由，得

，且。

则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是

。把代入，得

，

，

，

。

把以上各式相加，得

。

。

解法二：数列：，的特征方程是：。

,

。

又由，于是

故

9. 解：作特征方程变形得

特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵对于都有

(2)∵

∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，

当≤4，时，.

(3)∵∴

∴

令则∴对于

∴

(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.

∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.

于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.

10. 解：由==81 得=33；又∵==33得=13；

又∵==13，∴=5

假设存在一个实数，使此数列为等差数列

即= = = 该数为常数

∴= 即为首项，d=1的等差数列

∴=2+=n+1 ∴=

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/90bc2d76710abb68a98271fe910ef12d2bf9a918.html