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求不定积分的方法及技巧小汇总~

发布时间：2020-07-05 22:37:28 来源：文档文库

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求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：

【解】

例2：

【解】

3.第二类换元法：

设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

4.分部积分法.

公式：

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

举两个例子吧~！

例3：

【解】观察被积函数，选取变换,则

例4：

【解】

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

但是，当时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）

例5：

【解】

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8fdd820ef12d2af90242e621.html

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