第十二章 光的衍射
1． 波长为的平行光垂直照射在宽度为
的单缝上，以焦距为
的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有
∴中央亮纹的角半宽度为
∴亮纹半宽度
（2）第一亮纹，有
同理
（3）衍射光强，其中
当时为暗纹，
为亮纹
∴对应 级数
0 0 1
1 4.493 0.04718
2 7.725 0.01694
. . .
. . .
. . .
2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 式中，
是中央亮纹中心强度；
是缝宽；
是衍射角，
是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为
证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦变为
即可
(2)令
∴对于中央亮斑
3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为，所用透镜的焦距为
，光波波长为
。问细丝直径是多少？
解：设直径为，则有
4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为和
的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当
时，（1）圆环衍射与半径为
的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
解：已知半径为的圆孔的衍射场振幅为
同样，圆屏使P点振幅减小
因此圆环在P点产生的振幅为
∴P点强度为
对于衍射场中心，有
当时，
（1）
∴
（2）第一暗纹有
查表可有
4． （1）一束直径为的氦氖激光（
）自地面射向月球，已知地面和月球相距
，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为
的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？
解：（1）圆孔衍射角半宽度为
∴传到月球上时光斑直径为
（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径
5． 若望远镜能分辨角距离为的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？
解：
人眼分辨率为
∴放大率
6． 若要使照相机感光胶片能分辨的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径
D/f至少有多大？（光波波长为
）
解： （1）胶片分辨率为线/毫米
（2）
7． 一台显微镜的数值孔径为，问（1）它用于波长
时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为
）。
解：（1）
（2）提高
（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为
∴放大率至少为
8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长，透镜焦距
，观察到两相邻亮条纹之间的距离
，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。
解：（1）双缝衍射亮纹条件为
取微分有
令，且
，则
又
（2）衍射极小位置为
取
（3）对于第一级亮纹有
即
又
∴第一级亮纹的相对强度
同理
9． 在双缝的一个缝前贴一块厚，折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为
，缝宽为
，用波长
的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。
解：衍射图样不变，干涉位置变为
10． 一块光栅的宽度为，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为
。问（1）它产生的波长
的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为
和波长之相差
的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？
解：（1）
对于一级主极大有
同理
（2）
∴线色散
∴1，2级衍射线色散为
而
∴谱线间距
11． 设计一块光栅，要求（1）使波长的第2级谱线的衍射角
，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长
的2级谱线处能分辨
的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长
的几条谱线？
解：为使的二级谱线的衍射角
，则光栅常数
应满足
∵色散 ∴
越小色散越大
∴
若第三级缺级，应有
由条件（4）
∴光栅总长度
可看到最高级条纹为
∴可看到级，
级缺级，共5条条纹。
12． 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为
），光栅需要有多宽？
解：对应的频率为
∴光栅总条纹数为
∴长度为
13． 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为式中
，
为衍射角；
为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。（2）若光栅常数
，光栅形成主级大的条件可以写为
证明：（1）与垂直入射相比，有
同理
（2）光栅形成主极大有
∴有
14． 有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为，缝宽为
，缝间不透明部分的宽度依次为
和
。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。
解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差
或
单缝产生的复振幅为， 其中
∴多光束产生干涉有
设复数
则
∴透射光强
令
15． 一块闪耀光栅宽，每毫米有
个刻槽，闪耀角为
。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长
的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空气间隔为
，精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。
解：（1）光栅刻痕数为
闪耀级数为
∴分辨本领为
（2）自由光谱范围为
（3）F-P标准具的分辨为
自由光谱范围为 比光栅小得多
16． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板，玻璃折射率
，阶梯高度
。以波长
的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。
解：（1）由于阶梯高度与
相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为
对应处，
（2）
设与
相比变化很小，即
分辨本领
17． 设光栅的振幅透射系数为，这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？
18． 在宽度为的狭缝上放一折射率为
、折射角为
的小光楔，由平面单色波垂直照射（见图12-55），求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。
19． 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为，闪耀角为
，由平面波垂直入射（1）求夫琅和费衍射图样的光强分布。（2）求光栅对
级光谱闪耀时
应满足的条件。（3）试分析对
级闪耀时，光谱强度分布的特点。
20． 如图12-58所示，单色点光源（波长）安放在离光阑
远的地方，光阑上有一个内外半径分别为
和
的通光圆环。考察点P离光阑
（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？
解：半径为的圆孔包含波带数为
半径为的圆屏挡住的
∴圆环通过波带数为3，由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的，所以放置光阑前后光强变化4倍。
21． 波长的平行光正入射直径
的圆孔，与孔相距
处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？
解：在P点包含的波带数为
∴中心为亮点
令
22. 试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为a，缝距为b，且b=4a)。
(2)．用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅分布。
(3)．求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。
(4)．指明光强度分布的特征(单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距)。
[解] （1）双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：
或
（2）复振幅分布为：
（3）光强度分布为：
23.简要分析如图2所示夫琅和费衍射装置如有以下变动时，衍射图样会发生怎样的变化？
1）增大透镜L2的焦距；
2）减小透镜L2的口径；
3）衍射屏作垂直于光轴的移动（不超出入射光束照明范围）。
答：1）增大透镜L2的焦距，将使接收屏上衍射图样的间隔增大。因有公式word/media/image212_1.png，此时衍射角
word/media/image213_1.png不变，条纹间隔
word/media/image214_1.png增大；
2）增大透镜L2的口径，不会改变衍射图样的分布，但进入系统的光束宽度增加，可使光强增加；
3）衍射屏垂直于系统光轴方向移动时，衍射图样不会改变，因为衍射屏移动前后光的入射角不变，缝宽不变，由衍射公式知其接收屏上的光强分布不变；
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