数 列
一、数列定义:
按照一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列的每一个数都对应一个序号;反过来,每一个序号也都对应数列中的一个数,所以
数列的一般形式可以写成
简记为{an}
注意:
数列的特性:(1)有序性;(2)可重复性
二、数列的分类:
项数有限的数列为“有穷数列”, 项数无限的数列为“无穷数列”
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;(
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;(
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;
各项相等的数列叫做常数列
三、数列是特殊的函数
数列是定义在正整数集
四、数列的通项公式
数列的第n项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.如:
②可以由通项公式求出数列中的任意一项)
相关练习:P153
递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式,如
五、数列的前n项和
(1)
(2)
练:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,
(1)求数列的通项公式;
(2)求Sn的最大或最小值.
二、等差数列、等比数列:
等差数列 | 等比数列 | |
定义 | 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列 | 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列 |
式子表示 | ||
通项公式 | () | |
求和公式 | () | |
等差(比)中项 | 若a,b,c三个数成等差数列,那么b叫a,c的等差中项, a, b, c满足b-a=c-b a,b,c成等差数列的充分必要条件是b=(a+c)/2. | 若a,成等比数列,那么G叫做a,b的等比中项 ( ,即, |
等差(比)数列的性质 | 等差数列 | 等比数列 |
若 则; | 若 则; | |
在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列 | 在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列 | |
(1)若数列 (2)设等差数列 仍是等差数列 | (1)若数列 (2)设等比数列 仍是等比数列 | |
(1)等差数列的判定方法:
①定义法:
②中项公式法:
③通项公式法:
④前
(2)等比数列的判定方法:
①定义法:
②中项公式法:
③通项公式法:
④前
练习:
1.设
2、
3.设
A.
5、 在数列
6、已知数列
且
(1)求数列
(2)设
详解:
(1)据题设
由
(2)
记
若
7、在数列中,
(1)求的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(3)求数列。
四. (1)解:
(2)证明:
是首项为,公比为2的等比数列。 ,即的通项公式为
(3)解:的通项公式为
真题演练:
(2013)4、设
四、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列
(1)求数列
(2)设数列
(2014) 5、已知方程
四、已知等差数列
(1) 求数列
(2) 若数列
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