2020年内蒙古中考数学模拟试卷（含答案）

2020年内蒙古中考数学模拟试卷含答案

一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）

1．（3分）有理数﹣的相反数为（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3

2．（3分）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　）

A．0.9×10﹣7米 B．9×10﹣7米 C．9×10﹣6米 D．9×107米

4．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°

5．（3分）下列计算

①＝±3②3a2﹣2a＝a③（2a2）3＝6a6④a8÷a4＝a2⑤＝﹣3，

其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．

若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5

7．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（　　）

A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′

8．（3分）下列说法正确的是（　　）

①函数y＝中自变量x的取值范围是x≥．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0有两个不相等的实数根．

A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤

9．（3分）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（　　）

A． B． C． D．2

10．（3分）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米）与行驶时间x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为（　　）

A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4

二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）

11．（3分）计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2＝　 　．

12．（3分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是　 　．

13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是　 　．

14．（3分）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝　 　．

15．（3分）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y＝kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为　 　．

16．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为　 　．

三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）

17．（8分）（1）先化简：+÷，再从﹣1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．

（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．

18．（9分）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：

（1）本次共调查了　 　名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是　 　度，并补全条形统计图．

（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？

（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．

19．（8分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：

（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？

20．（7分）某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分

别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．

（1）求E，A两地之间的距离；

（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？

（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2，求OM的长．

22．（9分）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．

（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？

（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．

（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．

23．（11分）（1）【探究发现】

如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是　 　．

（2）【类比应用】

如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．

（3）【拓展延伸】

如图3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）

1．（3分）有理数﹣的相反数为（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：有理数﹣的相反数为：．

故选：C．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．

【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；

三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，

三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．

故选：B．

【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．

3．（3分）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　）

A．0.9×10﹣7米 B．9×10﹣7米 C．9×10﹣6米 D．9×107米

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00000045×2＝9×10﹣7．

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°

【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD＝AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED，然后根据∠BED＝∠AEB﹣∠AED列式计算即可得解．

【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，

在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，

所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，

所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．

5．（3分）下列计算

①＝±3②3a2﹣2a＝a③（2a2）3＝6a6④a8÷a4＝a2⑤＝﹣3，

其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，

故选：A．

【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．

6．（3分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．

若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5

【分析】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得a和b的值，从而求得a﹣b的值即可．

【解答】解：∵平均数为23，

∴＝23，

∴25x+20y＝155，

即：5x+4y＝31，

∵x+y＝7，

∴x＝3，y＝4，

∴中位数a＝22.5，b＝20，

∴a﹣b＝2.5，

故选：C．

【点评】本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键，难度不大．

7．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（　　）

A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′

【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC＝47°42′，再利用基本作图得到EF垂直平分BD，BE平分∠ABD，所以EF⊥BD，∠ABE＝∠DBE＝23°51′，然后利用互余计算出∠BEF，从而得到α的度数．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC＝47°42′，

由作法得EF垂直平分BD，BE平分∠ABD，

∴EF⊥BD，∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝23°51′，

∵∠BEF+∠EBD＝90°，

∴∠BEF＝90°﹣23°51°＝66°9′，

∴α的度数是66°9′．

故选：D．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．

8．（3分）下列说法正确的是（　　）

①函数y＝中自变量x的取值范围是x≥．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0有两个不相等的实数根．

A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤

【分析】利用等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：①函数y＝中自变量x的取值范围是x＞﹣，故错误．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．

④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．

⑤关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0有两个不相等的实数根，正确，

故选：D．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式，难度不大．

9．（3分）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（　　）

A． B． C． D．2

【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．

【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：

则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，

∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，

∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，

∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，

由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，

∴PG＝＝，

∵OG∥CM，

∴∠MOG+∠OMC＝180°，

∴∠MCG+∠OMC＝180°，

∴OM∥CG，

∴四边形OGCM为平行四边形，

∵OM＝CM，

∴四边形OGCM为菱形，

∴CM＝OG＝，

根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，

∴DN+CM＝2PG＝，

∴DN＝﹣；

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．

10．（3分）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米）与行驶时间x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为（　　）

A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4

【分析】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶30﹣18＝12秒，两车的距离为24米，可求速度和为24÷12＝2米/秒，AB距离为18×2＝36米，在快车到B地停留3秒，两车的距离增加（b﹣24）米，慢车的速度为：米/秒，而根据题意b米的距离相当于慢车行驶18+12+3＝33秒的路程，故速度为米/秒，因此，，解得：b＝26.4米，从而可求慢车速度为：＝0.8米/秒，快车速度为：2﹣0.8＝1.2米/秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：（26.4﹣24）÷（1.2﹣0.8）＝6秒，因此a＝33+6＝39秒．

【解答】解：速度和为：24÷（30﹣18）＝2米/秒，

由题意得：，解得：b＝26.4，

因此慢车速度为：＝0.8米/秒，快车速度为：2﹣0.8＝1.2米/秒，

快车返回追至两车距离为24米的时间：（26.4﹣24）÷（1.2﹣0.8）＝6秒，因此a＝33+6＝39秒．

故选：B．

【点评】考查函数图象的识图能力，即从图象中获取有用的信息，熟练掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的前提，追及问题和相遇问题的数量关系再本题中得到充分应用．

二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）

11．（3分）计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2＝　﹣1﹣　．

【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2

＝1+2﹣﹣4

＝﹣1﹣

故答案为：﹣1﹣．

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

12．（3分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是　2　．

【分析】利用方差的定义求解．方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，

方差s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．

故填2．

【点评】本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn，平均数＝（x1+x2+x3…+xn），方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是　3π﹣　．

【分析】根据S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．

【解答】解：连接OE，

∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，

∴∠AOE＝120°，

S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝，

S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×32﹣＝3π﹣．

故答案3π﹣．

【点评】本题考查扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．

14．（3分）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝　或　．

【分析】分两种情形分别画出图形求解即可．

【解答】解：①如图1中，

在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC＝a，

∴tan∠ABC＝＝．

②如图2中，

在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝a，

∴tan∠ABC＝＝．，

故答案为：或．

【点评】本题考查解直角三角形，三角形的中线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

15．（3分）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y＝kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为　﹣　．

【分析】由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点An的坐标，再由直线y＝kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，即可得出点An+1（8n，0）在直线y＝kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．

【解答】解：∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…，

∴An（8n﹣8，0）．

∵直线y＝kx+2与此折线恰有2n（n≥1且为整数）个交点，

∴点An+1（8n，0）在直线y＝kx+2上，

∴0＝8nk+2，

解得：k＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合点An的坐标，找出0＝8nk+2是解题的关键．

16．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为　π　．

【分析】如图，以OB为斜边在OB的右边作等腰Rt△POB，以P为圆心PB为半径作⊙P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MP．首先证明点M的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可．

【解答】解：如图，以OB为斜边在OB的右边作等腰Rt△POB，以P为圆心PB为半径作⊙P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MP．

∵PE⊥OB，

∴∠PEO＝90°，

∵点M是内心，

∴∠OMP＝135°，

∵OB＝OP，∠MOB＝∠MOP，OM＝OM，

∴△OMB≌△OMP（SAS），

∴∠OMB＝∠OMP＝135°，

∵∠H＝∠BPO＝45°，

∴∠H+∠OMB＝180°，

∴O，M，B，H四点共圆，

∴点M的运动轨迹是，

∴内心M所经过的路径长＝＝π，

故答案为π．

【点评】本题属于轨迹，圆周角定理，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）

17．（8分）（1）先化简：+÷，再从﹣1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．

（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．

【分析】（1）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x≤3的整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题；

（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

【解答】解：（1）+÷

＝

＝

＝，

当x＝3时，原式＝＝1；

（2），

由不等式①，得

x＜，

由不等式②，得

x≥﹣1，

故原不等式组的解集是﹣1≤x＜，

∴该不等式组的非负整数解是0，1．

【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

18．（9分）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：

（1）本次共调查了　200　名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是　27　度，并补全条形统计图．

（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？

（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．

【分析】（1）根据无所谓人数及其所占百分比可得总人数，360°乘以很赞同人数所占比例可得其圆心角度数，由各部分人数之和等于总人数求出不赞同的人数即可补全图形；

（2）用总人数乘以样本中不赞同人数所占比例即可得；

（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．

【解答】解：（1）本次调查的家长人数为45÷22.5%＝200（人），

扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是360°×＝27°，

不赞同的人数为200﹣（15+50+45）＝90（人），

补全图形如下：

故答案为：200、27；

（2）估计其中“不赞同”的家长有3600×＝1620（人）；

（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种情况，一男一女的情况是12种，

则刚好抽到一男一女的概率是＝．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．（8分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：

（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？

【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；

（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；

【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃）

当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，

，得，

即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，

当x＞7时，设y＝，

100＝，得a＝700，

即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，

当y＝30时，x＝，

∴y与x的函数关系式为：y＝，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次；

（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，

将y＝50代入y＝，得x＝14，

∵14﹣2＝12，﹣12＝

∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min；

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．

20．（7分）某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分

别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．

（1）求E，A两地之间的距离；

（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？

（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

【分析】（1）作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，则AH＝CH＝（x+15）千米，构建方程即可解决问题．

（2）求出BA的长，再求出校车的速度即可判断．

【解答】解：（1）如图，作CH⊥AD于H．

由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，

∵点C是AB的中点，CH∥BD，

∴AH＝HD＝（x+15）千米，

在Rt△ACH中，tan37°＝，

∴＝，

∴x＝45，

∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），

∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．

（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），

∴AB＝2AC＝150（千米），

∵150÷＝90千米/小时，

∵90＜100，

∴校车没有超速．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2，求OM的长．

【分析】（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA＝90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；

（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2，利用勾股定理得到（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．

【解答】（1）证明：连接OE，如图，

∵GE＝GF，

∴∠GEF＝∠GFE，

而∠GFE＝∠AFH，

∴∠GEF＝∠AFH，

∵AB⊥CD，

∴∠OAF+∠AFH＝90°，

∴∠GEA+∠OAF＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OEA＝∠OAF，

∴∠GEA+∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，

∴OE⊥GE，

∴EG是⊙O的切线；

（2）解：连接OC，如图，

设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2，

在Rt△OCH中，（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，

在Rt△ACH中，AC＝＝2，

∵AC∥GE，

∴∠M＝∠CAH，

∴Rt△OEM∽Rt△CHA，

∴＝，即＝，

∴OM＝．

【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理．

22．（9分）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．

（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？

（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．

（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．

【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，

（2）A、C的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产C产品的人数是A产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出y与x的函数关系式，

（3）由于B工艺品每件盈利，随着x的变化而变化，得出B工艺品的每件盈利与x的关系，再根据总利润，等于三种工艺品的利润之和，得出W与x的二次函数关系，但，最大值时，蹦为顶点坐标，因为y不为整数，因此要根据抛物线的增减性，确定x为何整数时，W最大．

【解答】解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，由题意得：

，解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的根，

当x＝15时，x+105＝120，

答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．

（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：

y+x+2y＝65，

∴y＝﹣x+

答：y与x之间的函数关系式为∴y＝﹣x+．

（3）由题意得：

W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，

又∵y＝﹣x+

∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（﹣x+）＝﹣2x2+100x+1950，

∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，

根据抛物线的对称性可得：

当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝3198元．

此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．

【点评】考查分式方程及应用、一次函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，但在利用二次函数的增减性时，有时还要根据实际情况，在对称轴的两侧取合适的值时，求出函数的最值，这一点容易出现错误．

23．（11分）（1）【探究发现】

如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是　CE+CF＝BC　．

（2）【类比应用】

如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．

（3）【拓展延伸】

如图3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．

【分析】（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．证明△BOE≌△COF（ASA），即可解决问题．

（2）如图2中，结论不成立．CE+CF＝BC．连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ．首先证明CE+CF＝OC，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．

（3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x．构建方程求出x可得OA＝1，再利用（2）中结论即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，

∵∠EOF＝∠BOC＝90°，

∴∠BOE＝∠OCF，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴BE＝CF，

∴CE+CF＝CE+BE＝BC．

故答案为CE+CF＝BC．

（2）如图2中，结论不成立．CE+CF＝BC．

理由：连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ．

∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，

∴∠BCO＝∠OCF＝60°，

∵∠EOF+∠ECF＝180°，

∴O，E，C，F四点共圆，

∴∠OFE＝∠OCE＝60°，

∵∠EOF＝60°，

∴△EOF是等边三角形，

∴OF＝FE，∠OFE＝60°，

∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，

∴△CFJ是等边三角形，

∴FC＝FJ，∠EFC＝∠OFE＝60°，

∴∠OFJ＝∠CFE，

∴△OFJ≌△EFC（SAS），

∴OJ＝CE，

∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝BC，

（3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x．

在Rt△ABH中，BH＝，

∵OB＝4，

∴+x＝4，

解得x＝（舍弃）或，

∴OA＝2OH＝1，

∵∠COD+∠ACD＝180°，

∴A，C，O，D四点共圆，

∵OA平分∠COD，

∴∠AOC＝∠AOD＝60°，

∴∠ADC＝∠AOC＝60°，

∵∠CAD＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

由（2）可知：OC+OD＝OA，

∴OC＝1﹣＝．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；

（2）先判断出过点P平行于直线EF的直线与抛物线只有一个交点时，PH最大，再求出此直线l的解析式，即可得出结论；

（3）分两种情况：①当∠BMC＝90°时，先求出BM的长，进而求出BD，DM1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；

②当∠BCM＝90°时，利用锐角三角函数求出点M3的坐标，最后用对称的性质得出点M4的坐标，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；

（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，

当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，

∵直线EF的解析式为y＝﹣x，

设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，

∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2②，

联立①②化简得，x2+x﹣2﹣m＝0，

∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，

∴m＝﹣，

∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣，

令y＝0，则x＝﹣，

∴M（﹣，0），

∴OM＝，

在Rt△OP'M中，OP'＝＝，

∴PH最大＝．

（3）①当∠CMB＝90°时，如图2，

∴BM是⊙O的切线，

∵⊙C半径为1，B（1，0），

∴BM2∥y轴，

∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），

∴BM2＝2，

∵BM1与BM2是⊙C的切线，

∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠BCM2，

∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，

在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，

∴OD2+1＝（2﹣OD）2，

∴OD＝，

∴BD＝，

∴DM1＝

过点M1作M1Q⊥y轴，

∴M1Q∥x轴，

∴△BOD∽△M1QD，

∴，

∴，

∴M1Q＝，DQ＝，

∴OQ＝+＝，

∴M1（﹣，﹣），

②当∠BCM＝90°时，如图3，

∴∠OCM3+∠OCB＝90°，

∵∠OCB+∠OBC＝90°，

∴∠OCM3＝∠OBC，

在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，

∴tan∠OBC＝＝2，

∴tan∠OCM3＝2，

过点M3作M3H⊥y轴于H，

在Rt△CHM3中，CM3＝1，

设CH＝m，则M3H＝2m，

根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，

∴m＝，

∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，

∴M3（﹣，﹣2），

而点M4与M3关于点C对称，

∴M4（，﹣﹣2），

即：满足条件的点M的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．

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日期：2019/8/6 22:59:12；用户：初中数学；邮箱：138********；学号：26522812

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