圆与二次函数知识点

圆和二次函数知识点

《圆》

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 点在圆内；

2、点在圆上 点在圆上；

3、点在圆外 点在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 无交点；

2、直线与圆相切 有一个交点；

3、直线与圆相交 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点 ；

外切（图2） 有一个交点 ；

相交（图3） 有两个交点 ；

内切（图4） 有一个交点 ；

内含（图5） 无交点 ；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；

③； ④ 弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径 或∵

∴ ∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

∴

平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，

∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，

∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

∴

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙中，∵、是割线

∴

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：中，；

（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行， ：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式：

：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

=

（2）圆柱的体积：

3、圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积：

《二次函数知识点》

（一）、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。

（二）、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点式：y=a(x-h) 2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和 B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=— ，k= ； x1, x2=；

（三）、二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

（四）、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

图象平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

（五）、抛物线的性质

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。 当x=- 时，y最值= ，

当a>0时，函数y有最小值；当a<0时，函数y有最大值。

当-=0时，P在y轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上（即函数与x轴只有一个交点）。

3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。

对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等；若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。

4．二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：

当对称轴在y轴左边时，a与b同号（即ab＞0）；

当对称轴在y轴右边时，a与b异号（即ab＜0）。

5．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。

6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。

（六）、二次函数的对称性

关于X轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于Y轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是

关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

（七）、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

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