2006年普通高等学校夏季招生考试数学（文史类）上海卷

2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)上海卷

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.已知集合A={-1，3，m}，集合B={3，4}，若BA.则实数m=_____________.

2.已知两条直线l1：ax+3y-3=0，l2：4x-6y-1=0，若l1∥l2，则a=_____________.

3.若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，-1），则a=_____________.

4.计算： _____________.

5.若复数z=（m-2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），基中m∈R，则|z|=_____________.

6．函数y-sin xcos x的最小正周期是_____________.

7.已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为5︰4.则双曲线的标准方程是__________________________.

8.方程log3（x2-10）=1+log3x的解是_____________.

9.已知实数x，y满足则y-2x的最大值是

10.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_________（结果用分数表示）

11.若曲线|y|＝2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是_____________.

12.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是_____________.

二、选择题（本大题满分16）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论.其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内。选对得4分。不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.

13.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 【答】（ ）

（A） （B）

（C） （D）

14.如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是 【答】（ ）

（A） （B） （C）a2＜b2 （D）|a|＞|b|.

15．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

【答】（ ）

（A）充分非必要条件, (B)必要非充分条件，

（C）充分必要条件， （D）既非充分又非必要条件.

16.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直钱与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

【答】（ ）

（A）48. (B)18. (C)24. (D)36.

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

(17)（本题满分12分）

已知α是第一象限的角，且cosα=的值.

【解】

18.(本题满分12分)

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援。同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处的救授（角度精确到1°）？

【解】

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分. 第2小题满分9分.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°.AB=BC=1，

（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°.求三棱柱A1-ABC的结果.

20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096.

(1)求数列{an}的通项公式：

(2)设数列{log2an}的前n项和为Tn.对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509？

21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第4小题满分4分.第2小题满分5分，第3小题满分7分.

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0）.且右顶点为D（2，0），设点A的坐标是（1，）.

(1)求该椭圆的标准方程.

(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C.求△ABC面积的最大值.

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知函数y=x＋有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在］上是减函数，在［，+∞）上是增函数.

（1）如果函数y＝x+在（0，4］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；

（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时，研究函数g（x）=xn-（c＞0）的单调性，并说明理由.

上海数学(文史类)参考答案

一、(第1题至笫12题)

1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.

8. 5 9. 0 10. 11.－14

二、(第13题至笫16题)

13. C 14. A 15. A 16. D

三、(第17题至笫22题)

17.解： =

由已知可得sin,

∴原式=.

18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.

于是,BC=10.

∵, ∴sin∠ACB=,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

(2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,

∴AA1=.

∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.

20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.

当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an

∴= an=2048()n－1.

(2) ∵log2an=log2[2048()n－1]=12－n,

∴Tn= (－n2+23n).

由Tn<－509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.

∴从第46项起Tn<－509.

21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由 得

点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是.

22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

(2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设0＜x1＜x2,g(x2)－g(x1)=.

当＜x1＜x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；

当0＜x1＜x2＜时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0,]上是减函数.

当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

当n是偶数时, g(x)是偶函数,

函数g(x)在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8c1e8527e2bd960590c677f8.html