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高考文科数学真题及答案-

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山东省高考数学试卷（文科）


一、选择题（共12小题， 每小题5分， 满分60分）
1．（5分）已知全集U=R， 集合M={x|x2﹣4≤0}， 则∁UM=（ ） A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|x≤﹣2或x≥2} 2．（5分）已知A．﹣1 B．1 =b+i（a， b∈R）， 其中i为虚数单位， 则a+b=（ ） C．2 D．3
3．（5分）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（ ） A．（0， +∞）
B．[0， +∞）
C．（1， +∞）
D．[1， +∞）
4．（5分）在空间， 下列命题正确的是（ ） A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数， 当x≥0时， f（x）=2x+2x+b（b为常数）， 则f（﹣1）=（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（5分）在某项体育比赛中， 七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数的平均值和方差分别为（ ） A．92， 2 B．92， 2.8 C．93， 2 D．93， 2.8
7．（5分）设{an}是首项大于零的等比数列， 则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣x3+81x﹣234，
则使该生产厂家获得最大年利润的年产第1页（共21页）



量为（ ）
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）， 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点， 若线段AB的中点的纵坐标为2， 则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
10．（5分）观察（x2）′=2x， （x4）′=4x3， y=f（x）， 由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 记g（x）为f（x）的导函数， 则g（﹣x）=（ ） A．f（x） B．﹣f（x）
C．g（x） D．﹣g（x）
11．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的， 令， 下面说法错误的是（ ）
A．若与共线， 则⊙=0 B．⊙=⊙ C．对任意的λ∈R， 有

二、填空题（共4小题， 每小题4， 满分16分）
13．（4分）执行如图所示的程序框图， 若输入x=10， 则输出y的值为 ．
⊙=2+⊙） D．（⊙）（2=||2||2
）第2页（共21页）




14．（4分）已知x， y∈R+， 且满足， 则xy的最大值为 ．
15．（4分）△ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若a=， b=2， sinB+cosB=， 则角A的大小为 ．
16．（4分）已知圆C过点（1， 0）， 且圆心在x轴的正半轴上， 直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为

三、解答题（共6小题， 满分74分）
17．（12分）已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变， 得到函数y=g（x）的图象， 求函数y=g（x）在区间上的最小值．
， 则圆C的标准方程为 ．
18．（12分）已知等差数列{an}满足a3=7， a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （1）求an及Sn； （2）令bn=﹣（n∈N*）， 求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球， 球的编号分别为1， 2， 3， 4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球， 求取出的球的编号之和不大于4的概率；
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（Ⅱ）先从袋中随机取一个球， 该球的编号为m， 将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为n， 求n＜m+2的概率．
20．（12分）如图所示的几何体中， 四边形ABCD是正方形， MA⊥平面ABCD， PD∥MA， E、G、F分别为MB、PB、PC的中点， 且AD=PD=2MA． （Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．

21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当a=﹣1时， 求曲线y=f（x）在点（2， f（2））处的切线方程； （Ⅱ）当时， 讨论f（x）的单调性．
过点．，
离心率22．（14分）如图， 已知椭圆为， 左、右焦点分别为F1、F2．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点， 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D， O为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．①证明：；②问直线l上是否存在点P， 使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在， 求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在， 说明理由．
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山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析


一、选择题（共12小题， 每小题5分， 满分60分）
1．（5分）（2019•山东）已知全集U=R， 集合M={x|x2﹣4≤0}， 则∁UM=（ ） A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|x≤﹣2或x≥2}
【分析】由题意全集U=R， 集合M={x|x2﹣4≤0}， 然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：因为M={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}， 全集U=R， 所以CUM={x|x＜﹣2或x＞2}， 故选C．

2．（5分）（2019•山东）已知a+b=（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D．3
=b+i（a， b∈R）， 其中i为虚数单位，
则【分析】先化简复数， 再利用复数相等， 解出a、b， 可得结果． 【解答】解：由b=2， 所以a+b=1 另解：由故选B．

3．（5分）（2019•山东）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（ ） A．（0， +∞）
B．[0， +∞）
C．（1， +∞）
D．[1， +∞）
得﹣ai+2=b+i（a， b∈R）， 则﹣a=1， b=2， a+b=1．
得a+2i=bi﹣1， 所以由复数相等的意义知a=﹣1，

【分析】函数的定义域为R， 结合指数函数性质可知3x＞0恒成立， 则真数3x+1＞1恒成立， 再结合对数函数性质即可求得本题值域．
【解答】解：根据对数函数的定义可知， 真数3x+1＞0恒成立， 解得x∈R． 因此， 该函数的定义域为R，

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原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数． 由复合函数的单调性定义（同増异减）知道， 原函数在定义域R上是单调递增的．
根据指数函数的性质可知， 3x＞0， 所以， 3x+1＞1， 所以f（x）=log2（3x+1）＞log21=0， 故选A．

4．（5分）（2019•山东）在空间， 下列命题正确的是（ ） A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理， 可以很容易得出答案．
【解答】解：平行直线的平行投影重合， 还可能平行， A错误． 平行于同一直线的两个平面平行， 两个平面可能相交， B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行， 可能相交， C错误． 故选D．

5．（5分）（2019•山东）设f（x）为定义在R上的奇函数， 当x≥0时， f（x）=2x+2x+b（b为常数）， 则f（﹣1）=（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式， 然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．
【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（0）=20+2×0+b=0， 解得b=﹣1，

所以当x≥0时， f（x）=2x+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数，

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所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3， 故选A．

6．（5分）（2019•山东）在某项体育比赛中， 七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数的平均值和方差分别为（ ） A．92， 2 B．92， 2.8 C．93， 2 D．93， 2.8
【分析】平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式
s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（xn﹣）2]即可求得． 【解答】解：由题意知， 所剩数据为90， 90， 93， 94， 93， 所以其平均值为90+（3+4+3）=92； 方差为（22×2+12×2+22）=2.8， 故选B．

7．（5分）（2019•山东）设{an}是首项大于零的等比数列， 则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】首项大于零是前提条件， 则由“q＞1， a1＞0”来判断是等比数列{an}是递增数列．
【解答】解：若已知a1＜a2， 则设数列{an}的公比为q， 因为a1＜a2， 所以有a1＜a1q， 解得q＞1， 又a1＞0， 所以数列{an}是递增数列；反之， 若数列{an}是递增数列， 则公比q＞1且a1＞0， 所以a1＜a1q， 即a1＜a2， 所以a1＜a2是数列{an}是递增数列的充分必要条件． 故选C

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8．（5分）（2019•山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣x3+81x﹣234， 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
【分析】由题意先对函数y进行求导， 解出极值点， 然后再根据函数的定义域， 把极值点和区间端点值代入已知函数， 比较函数值的大小， 求出最大值即最大年利润的年产量．
【解答】解：令导数y′=﹣x2+81＞0， 解得0＜x＜9； 令导数y′=﹣x2+81＜0， 解得x＞9，

所以函数y=﹣x3+81x﹣234在区间（0， 9）上是增函数， 在区间（9， +∞）上是减函数， 所以在x=9处取极大值， 也是最大值． 故选：C．

9．（5分）（2019•山东）已知抛物线y2=2px（p＞0）， 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点， 若线段AB的中点的纵坐标为2， 则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
【分析】先假设A， B的坐标， 根据A， B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式， 再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值， 进而得到准线方程．
【解答】解：设A（x1， y1）、B（x2， y2）， 则有y12=2px1， y22=2px2， 两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2）， 又因为直线的斜率为1， 所以=1，

所以有y1+y2=2p， 又线段AB的中点的纵坐标为2，

即y1+y2=4， 所以p=2， 所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1． 故选B．

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10．（5分）（2019•山东）观察（x2）′=2x， （x4）′=4x3， y=f（x）， 由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 记g（x）为f（x）的导函数， 则g（﹣x）=（ ） A．f（x） B．﹣f（x）
C．g（x） D．﹣g（x）
【分析】首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数， 然后由g（x）的奇偶性即可得出答案．
【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出： 若函数f（x）是偶函数， 则它的导函数是奇函数， 因为定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 即函数f（x）是偶函数，

所以它的导函数是奇函数， 即有g（﹣x）=﹣g（x）， 故选D．

11．（5分）（2019•山东）函数y=2x﹣x2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2， 4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可．
【解答】解：因为当x=2或4时， 2x﹣x2=0， 所以排除B、C； 当x=﹣2时， 2x﹣x2=所以选A．

12．（5分）（2019•山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的， 令， 下面说法错误的是（ ）
， 故排除D，

A．若与共线， 则⊙=0 B．⊙=⊙
第10页（共21页）



C．对任意的λ∈R， 有⊙=2+⊙） D．（⊙）（2=||2||2
）【分析】根据题意对选项逐一分析．若与共线， 则有A正确； 因为误， 对于C， C正确，

对于D， （⊙）2+（=||2||2， D正确； 得到答案．
【解答】解：对于A， 若与共线， 则有对于B， 因为选项B错误， 对于C， C正确，

对于D， （⊙）2+（=||2||2， D正确； 故选B．

二、填空题（共4小题， 每小题4， 满分16分）
⊙=λqm﹣λpn， 而， 而， 所以有⊙=λqm﹣λpn， 而， 而， 所以有，
故， 故选项B错⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，
故）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）， 故A正确；
，
故⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，
故）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）13．（4分）（2019•山东）执行如图所示的程序框图， 若输入x=10， 则输出y的值为
．
第11页（共21页）




【分析】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值， 模拟程序的运行， 用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析， 不难得到输出结果． 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y 是否继续循环 循环前 10∥
第一圈 10 4 是 第二圈 4 1 是 第三圈 1﹣是 第四圈﹣﹣否 故输出y的值为故答案为：

14．（4分）（2019•山东）已知x， y∈R+， 且满足为 3 ．
【分析】本题为利用基本不等式求最值， 可直接由条件【解答】解：因为x＞0， y＞0，
所以出发， 求解．
（当且仅当，

， 则xy的最大值
．
第12页（共21页）



即x=， y=2时取等号）， 于是， 故答案为：3

15．（4分）（2019•山东）△ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若a=， b=2， sinB+cosB=， 则角A的大小为
．
， xy≤3．
【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2， 即sin2B=1，
根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可． 【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2， 即sin2B=1，

因为0＜B＜π， 所以B=45°， b=2， 所以在△ABC中，
由正弦定理得：，

解得sinA=， 又a＜b， 所以A＜B=45°， 所以A=30°． 故答案为

16．（4分）（2019•山东）已知圆C过点（1， 0）， 且圆心在x轴的正半轴上， 直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为2+y2=4

， 则圆C的标准方程为 （x﹣3）．
【分析】利用圆心， 半径（圆心和点（1， 0）的距离）、半弦长、弦心距的关系， 求出圆心坐标， 然后求出圆C的标准方程．
【解答】解：由题意， 设圆心坐标为（a， 0）， 则由直线l：y=x﹣1被该圆所截得
的弦长为得，

， 解得a=3或﹣1，

又因为圆心在x轴的正半轴上， 所以a=3， 故圆心坐标为（3， 0）， 又已知圆C过点（1， 0）， 所以所求圆的半径为2， 故圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．
故答案为：（x﹣3）2+y2=4．

第13页（共21页）



三、解答题（共6小题， 满分74分）
17．（12分）（2019•山东）已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变， 得到函数y=g（x）的图象， 求函数y=g（x）在区间上的最小值．
【分析】（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质， 进行运算、变形、转换和求解的能力．
（2）要求三角函数的有关性质的问题， 题目都要变形到y=Asin（ωx+φ）的形式， 变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx， ∴f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+cos2ωx+ =sin（2ωx+）+
，


由于ω＞0， 依题意得所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=∴g（x）=f（2x）=∵0≤x≤∴时，
sin（2x+）+
≤，

）+，

sin（4x+≤4x+）≤1， ，

≤sin（4x+∴1≤g（x）≤g（x）在此区间内的最小值为1．

18．（12分）（2019•山东）已知等差数列{an}满足a3=7， a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （1）求an及Sn；
第14页（共21页）



（2）令bn=﹣（n∈N*）， 求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． （2）an=2n+1， 可得bn=﹣用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1， 公差为d， 由于a3=7， a5+a7=26， ∴a1+2d=7， 2a1+10d=26， 解得a1=3， d=2．
∴an=a1+（n﹣1）d=2n+1， Sn==n2+2n．
=﹣=﹣，
再利（2）∵an=2n+1， ∴bn=﹣=﹣=﹣=﹣，

因此Tn=b1+b2+…+bn =﹣=﹣=﹣

19．（12分）（2019•山东）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球， 球的编号分别为1， 2， 3， 4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球， 求取出的球的编号之和不大于4的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球， 该球的编号为m， 将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为n， 求n＜m+2的概率．
【分析】（1）从袋中随机抽取两个球， 可能的结果有6种， 而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个， 1和2， 1和3， 两种情况， 求比值得到结果．
第15页（共21页）

+…+

．


（2）有放回的取球， 根据分步计数原理可知有16种结果， 满足条件的比较多不好列举， 可以从他的对立事件来做．
【解答】解：（1）从袋中随机抽取两个球， 可能的结果有6种， 而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个， 1和2， 1和3， ∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=
（2）先从袋中随机取一个球， 该球的编号为m， 将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为n， 所有（m， n）有4×4=16种，

而n≥m+2有1和3， 1和4， 2和4三种结果， ∴P=1﹣

20．（12分）（2019•山东）如图所示的几何体中， 四边形ABCD是正方形， MA⊥平面ABCD， PD∥MA， E、G、F分别为MB、PB、PC的中点， 且AD=PD=2MA． （Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．
=．

【分析】（I）欲证平面EFG⊥平面PDC， 根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直， 而根据线面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC， GF∈平面EFG， 满足定理条件；
（II）不妨设MA=1， 求出PD=AD， 得到Vp﹣ABCD=S正方形ABCD， 求出PD， 根据DA⊥面MAB， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 根据三棱锥的体积公式求出体积得到V P﹣MAB：V P﹣ABCD的比值．
【解答】解：（I）证明：由已知MA⊥平面ABCD， PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD
第16页（共21页）



又BC⊂平面ABCD，

因为四边形ABCD为正方形， 所以PD⊥BC 又PD∩DC=D， 因此BC⊥平面PDC
在△PBC中， 因为G、F分别是PB、PC中点， 所以GF∥BC 因此GF⊥平面PDC 又GF⊂平面EFG， 所以平面EFG⊥平面PDC； （Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，

四边形ABCD为正方形， 不妨设MA=1， 则PD=AD=2， 所以Vp﹣ABCD=S正方形ABCD， PD= 由于DA⊥面MAB的距离
所以DA即为点P到平面MAB的距离， 三棱锥Vp﹣MAB=××1×2×2=， 所以VP﹣MAB：VP﹣ABCD=1：4．
22．（14分）（2019•山东）如图， 已知椭圆点．， 离心率为过， 左、右焦点分别为F1、F2．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点， 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D， O为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．①证明：；②问直线l上是否存在点P， 使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在， 求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在， 说明理由．
第17页（共21页）




【分析】（1）利用椭圆过已知点和离心率， 联立方程求得a和b， 则椭圆的方程可得．
（2）①把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标的表达式， 代入直线x+y=2上， 整理求得， 原式得证．
②设出A， B， C， D的坐标， 联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB， 进而可求得直线OA， OB斜率的和与CO， OD斜率的和， 由kOA+k）B+kOC+kOD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1， 分别讨论求得p． 【解答】解：（1）∵椭圆过点∴，
，

；
， 故所求椭圆方程为（2）①由于F1（﹣1， 0）、F2（1， 0）， PF1， PF2的斜率分别是k1， k2， 且点P不在x轴上，

所以k1≠k2， k1≠0， k2≠0．
又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1）， y=k2（x﹣1），

联立方程解得，

所以， 由于点P在直线x+y=2上，

所以，

第18页（共21页）



故
②设A（xA， yA）， B（xB， yB）， C（xC， yC）， D（xD， yD）， 联立直线PF1和椭圆的方程得，

化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2=0， 因此所，

以， 同理可得：，

故由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1，

当k1+k2=0时， 由（1）的结论可得k2=﹣2， 解得P点的坐标为（0， 2） 当k1k2=1时， 由（1）的结论可得k2=3或k2=﹣1（舍去）， 此时直线CD的方程为y=3（x﹣1）与x+y=2联立得x=，
所以，

， P（0， 2）．
，

综上所述， 满足条件的点P的坐标分别为


21．（12分）（2019•山东）已知函数．
（Ⅰ）当a=﹣1时， 求曲线y=f（x）在点（2， f（2））处的切线方程； （Ⅱ）当时， 讨论f（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）欲求出切线方程， 只须求出其斜率即可， 故先利用导数求出在x=2处的导函数值， 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
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（Ⅱ）利用导数来讨论函数的单调性即可， 具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数， 往往要分类讨论．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时， f（x）=lnx+x+﹣1， x∈（0， +∞）， 所以f′（x）=+1﹣， 因此， f′（2）=1，

即曲线y=f（x）在点（2， f（2））处的切线斜率为1，

又f（2）=ln2+2， y=f（x）在点（2， f（2））处的切线方程为y﹣（ln2+2）=x﹣2，

所以曲线， 即x﹣y+ln2=0； （Ⅱ）因为所以=，

， x∈（0， +∞），

令g（x）=ax2﹣x+1﹣a， x∈（0， +∞），

（1）当a=0时， g（x）=﹣x+1， x∈（0， +∞）， 所以， 当x∈（0， 1）时， g（x）＞0， 此时f′（x）＜0， 函数f（x）单调递减； （2）当a≠0时， 由g（x）=0，

即ax2﹣x+1﹣a=0， 解得x1=1， x2=﹣1． ①当a=时， x1=x2， g（x）≥0恒成立，

此时f′（x）≤0， 函数f（x）在（0， +∞）上单调递减； ②当0＜a＜时，

x∈（0， 1）时， g（x）＞0， 此时f′（x）＜0， 函数f（x）单调递减， x∈（1， 增，

x∈（﹣1， +∞）时， g（x）＞0， 此时f′（x）＜0， 函数f（x）单调递减；
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﹣1）时， g（x）＜0， 此时f′（x）＞0， 函数f（x）单调递

③当a＜0时， 由于﹣1＜0，

x∈（0， 1）时， g（x）＞0， 此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减； x∈（1， +∞）时， g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增． 综上所述：
当a≤0时， 函数f（x）在（0， 1）上单调递减； 函数f（x）在（1， +∞）上单调递增
当a=时， 函数f（x）在（0， +∞）上单调递减 当0＜a＜时， 函数f（x）在（0， 1）上单调递减； 函数f（x）在（1，
﹣1）上单调递增；
函数f（x）在（﹣1， +∞）上单调递减．


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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8b28b0ca53e79b89680203d8ce2f0066f53364e0.html

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