椭圆、双曲线、抛物线综合检测试题

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1设双曲线的一个焦点为，则双曲线的离心率为( ).

A B 2 C D

2椭圆的左、右焦点分别为，一直线经过交椭圆于、两点，则的周长为（ ）

A 32 B 16 C 8 D 4

3 两个正数、的等差中项是，等比中项是，则椭圆的离心率为（ ）

A B C D

4设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3=4，

则的面积为（ ）

A B C 24 D 48

5是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）

6 7 8 9

6已知抛物线上的动点在轴上的射影为点，点，则的最小值为（ ）

A B C D

7 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）

A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线

8若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D 2

9抛物线上到直线距离最近的点的坐标（ ）

A B C D

10已知是椭圆的半焦距，则的取值范围（ ）

A B C D

11方程0与1表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ）

12若是抛物线的动弦，且，则的中点M到轴的最近距离是（ ）

A B C D －

二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）

13 设、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且=60，

=，离心率为2，则双曲线方程的标准方程为 ．

14 已知椭圆与双曲线，有共同的焦点、，点是双曲线与椭圆的一个交点，则= ．

15 已知抛物线上一点A到其焦点的距离为，则= ．

16已知双曲线=1的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ．

三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴ 焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为；

⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为.

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点及．动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．

⑴求的值；

⑵写出点的轨迹方程．

19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为．

⑴求椭圆的方程；

⑵设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积．

20．（12分）已知抛物线方程，过点作抛物线的两条切线、，切点为、．

⑴求证：直线过定点；

⑵求（O为坐标原点）面积的最小值．

21 ．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且=3|．

⑴求双曲线离心率的取值范围，并写出取得最大值时，双曲线的渐近线方程；

⑵若点的坐标为，且=0，求双曲线方程．

22．（12分）已知O为坐标原点，点、、、满足=，，，⊥，∥．

⑴求当变化时，点的轨迹方程；

⑵若是轨迹上不同于的另一点，且存在非零实数使得，

求证： =1.

参考答案

1A 提示：根据题意得==4，∴=2，∴=

=．故选A．

2B 提示：的周长=+==16.故选B．

3C 提示：根据题意得，解得3， 2，∴=，∴=．

4C 提示：∵是双曲线上的一点，且3=4，

－=2，解得=8， =6，又==10，∴是直角三角形， ==24.故选C．

5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点， +1，

，

∴≤+1—（）

=—+3=+3=9.

6A 提示：设为点到准线的距离，为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得， =－1+=+－1≥－1=．故选A．

7C 提示：设圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，为动圆的圆心，为动圆的半径，则==1，

所以根据双曲线的定义可知．故选C．

8C 提示：设其中一个焦点为，一条渐近线方程为，根据题意得=，化简得，∴ ====．故选C．

9 B 提示：设为抛物线上任意一点，则点到直线的距离为=，∴当时，距离最小，即点．故选B．

10 D 提示：由于≤=2，则≤，

又，则＞1.故选D．

11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．

12 D 提示：设，，结合抛物线的定义和相关性质，则的中点M到轴的距离为==，显然当过焦点时，其值最小，即为－．故选D．

二 填空题

13 提示：设双曲线方程为，∵，∴．∵=，∴×=48. + -2，解得，∴=4， =12.

14 提示：根据题意得，解得，．∴=．

15 提示：利用抛物线的定义可知4=， =．

16 提示：根据题意得，，∴，∴．

三 解答题

17解：⑴因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，

∴，解得 ，，，∴双曲线的标准方程为．

⑵设以为渐近线的双曲线的标准方程为，

1 当时，2=6，解得，此时所求的双曲线的标准方程为；

2 当时，2=6，解得，此时所求的双曲线的标准方程为．

18解：⑴ 因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，∴=，

∴=+==10；

⑵由⑴知=10（常数），又=10＞6=，∴点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴在轴上的椭圆，其中，所以椭圆的轨迹方程为．

19解：⑴∵⊥轴，∴，根据题意得，解得，

∴所求椭圆的方程为：．

⑵ 由⑴可知，∴直线的方程为，∴，

解得点的纵坐标为，∴===．

20解：⑴设切点，，又，

则切线的方程为：，即；

切线的方程为：，即，又因为点是切线、的交点，∴，，

∴过、两点的直线方程为，即，

∴直线过定点．

⑵ 由，解得=0，∴，．

∴==2=2≥16.

当且仅当时，（O为坐标原点）面积的最小值

21解：⑴∵－=， =3|，∴=3， =，

由题意得+≥，∴4≥2，∴≤2，又因为，∴双曲线离心率的取值范围为．故双曲线离心率的最大值为2.

⑵∵=0，∴+=，即，即，

又因为点在双曲线上，∴=1，∴=1，

解得，，∴所求双曲线方程为； =1.

22解⑴设，则由得点是线段中点，∴，则=，又因为=， =，

∵⊥， ∴， ①

∵∥，∴ =0，即 ②

由 ①和②消去参数得 ．

⑵证明：易知是抛物线的焦点，由，得、、三点共线，即为过焦点的弦．

①当垂直于轴时，结论显然成立；

2 当不垂直于轴时，设，，直线的方程为，

∴，整理得，∴， 1，

∴===1.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8aba120227fff705cc1755270722192e4436583a.html