关于稠密集的若干探讨
郭小亚
【摘 要】摘要 在拓扑空间中探讨了稠密集与无处稠密集这两个概念的几个等价表述形式，给出了一个集合的边界与该集合闭包的边界相等的充分条件．另外，分别在Hilbert空间和赋范空间中讨论了稠密集的相关性质和应用．
【期刊名称】山东师范大学学报（自然科学版）
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】2
【关键词】关键词 稠密集； 无处稠密集； 拓扑空间
稠密集是现代分析中的一个重要概念，笔者分别在不同的空间中讨论稠密集的等价表述、相关性质和应用．
本文中集合E的闭包记作，集合的补集记作E′．
定义1[1] 设X为拓扑空间，D⊂X．如果=X，则称D是X的一个稠密子集．
定义2[1] 设X为拓扑空间，E⊂X．如果的内点为空，即E-o=φ，则称E为X中的无处稠密集．
引理1[2] 设M是Hilbert空间X中的非空子集，则M的线性包span M在X中稠密的充要条件为M⊥={θ}．
定理1[3] D是稠密集⟺∀x∈X，∃{xn}∈D，使得xn→x(n→∞)．
定理2 设X是拓扑空间，E⊂X． 则下列命题是等价的：
1) E是无处稠密集;
2) 是无处稠密集;
3) E-o=φ;
在X中稠密,
7) E不在X的任何非空开集中稠密． 即对X的任何开集U，∃x∈U及x的某邻域Vx，满足Vx∩E=φ．
证 1)、2)和3)的等价性由无处稠密的定义以及易证．
3)⟹4) 若E-o=φ，由可得
4)⟹5) 若，可知E-o=φ． 而φ，于是有
5)⟹6) 由稠密的定义可知．
6)⟹7) 假设E在X的某个非空开集U中稠密，于是有U⊂，则)∩U=φ，这与在X中稠密相矛盾．故E不在X的任何非空开集中稠密，即对X的任何开集U，∃x∈U及x的某邻域Vx，满足Vx∩E=φ．
7)⟹1) 假设E不是无处稠密的，即E-o≠φ．设x∈E-o，那么存在X中的一个开集V，使得x∈V⊂E-．所以存在一个开集Vx使得x∈Vx⊂E，于是有Vx∩E≠φ，与E不在X的任何非空开集中稠密矛盾．所以E无处稠密．证毕．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8a6fe87e743231126edb6f1aff00bed5b8f37349.html
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