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2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学试题（文科）（解析版）

发布时间：2020-03-24 11:46:42 来源：文档文库

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2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考

数学文试题

Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝ ▲ ．

2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．

3．函数f(x)＝ln(x－1)的定义域为 ▲ ．

4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 ▲ ．

5．已知抛物线y2＝4x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．

6．已知命题p：－1<x－a<1，命题q：(x－4)(8－x)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝ ▲ ．

8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0<x<2时，f(x)＝2x，则f(－7)＝ ▲ ．

9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S1、S2，则S1：S2＝ ▲ ．

10．在等腰△ABC中，已知底边BC＝2，点D为边AC的中点，点E为边AB上一点且满足EB＝2AE，若d9f5ca4e7a7b95183d91b2fda99c4a50.png·0a603e1a7f256f9c50812cad19922a27.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，则81c595fd694807002c4a9ab92f574cef.png·1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png＝ ▲ ．

11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为 ▲ ．

12．在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ▲ ．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ▲ ．

14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．

（1）求证：EF∥平面ABD；

（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png．

（1）若c＝2a，求9e9375007cf842317db97df2c9631be8.png的值；

（2）若C－B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，求sinA的值．

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．

（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)过点word/media/image2_1.png，其离心率等于193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．

①求证：word/media/image3_1.png为定值；

②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngax2＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．

（1）若f(x)在x＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；

（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2．

①求b的取值范围；

②求证：x1·x2>e2．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}前n项和为Sn，数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S5＝2a4＋a5，a9＝a3＋a4．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值；

（3）是否存在正整数m，使得word/media/image4_1.png恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

2020届高三年级第二学期期初联考试卷

数学试题

命题单位：丹阳高级中学审核单位：金陵中学无锡一中

Ⅱ试题

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 20f048dee4fca42ee7757d7a12e26259.png 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l：cd890e7bfc7f4e5c828410e06a66b2d4.png(t为参数)，与曲线C：58d8b6274ac447d35cafc21e527a41dc.png(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．

C．选修4—5：不等式选讲

已知x，y766756ea69f67742d1e2258d5eacee6f.pngR，且|x＋y|≤fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，|x－y|≤70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，求证：|x＋5y|≤1．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．

23．（本小题满分10分）

已知word/media/image5_1.png…word/media/image6_1.png，word/media/image7_1.png．记word/media/image8_1.png．

（1）求word/media/image9_1.png的值；

（2）化简word/media/image10_1.png的表达式，并证明：对任意的word/media/image11_1.png，word/media/image12_1.png都能被word/media/image13_1.png整除．

期初联考试卷数学试题参考答案及评分标准

Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．{1，2，3，4} 2．－1 3．(1，＋∞) 4．8 5．(4，±4)

6．[5，7] 7．127 8．－2 9．3：2 10．b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png

11．－3 12．4 13．9 14．[－1，1]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

解：（1）因为BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，

所以BD∥EF．………………3分

因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分

（2）因为AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AE⊥CD．………………8分

因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分

又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分

又CD⊂平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分

16．（本小题满分14分）

解：（1）解法1：

在△ABC中，因为cosB＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，所以eefb62311c693e4500b920eb2e507856.png＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png．………………2分

因为c＝2a，所以b428561e80ae878a16b4ca6f4f6f8d46.png＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，即6c0978e1ff5fda890d62c9d3b9c52375.png＝80ebf94886e1f6f5c652decb7a74c1ff.png，所以360ba93dac3b10cad7ace118ce6cd92b.png＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.pnga74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png．………………4分

又由正弦定理得9e9375007cf842317db97df2c9631be8.png＝360ba93dac3b10cad7ace118ce6cd92b.png，所以9e9375007cf842317db97df2c9631be8.png＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.pnga74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png．………………6分

解法2：

因为cosB＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，B∈(0，π)，所以sinB＝8aefdfcce27374b35c48acca63a2dfab.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png．………………2分

因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，

所以sinC＝2sin(B＋C)＝df26f4ade16a8d5ebf2906ee86758da3.pngcosC＋0597f288b8424f32f940c1b418f629d2.pngsinC，即－sinC＝2cosC．………………4分

又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝f80ce90afee2cba19a388afe4e636925.pnga74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，

所以9e9375007cf842317db97df2c9631be8.png＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.pnga74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png．………………6分

（2）因为cosB＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，所以cos2B＝2cos2B－1＝b7615209b5100dc47f04c0d24d2aed25.png．………………8分

又0＜B＜π，所以sinB＝c0723c59339ab82aa0951516ca197594.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，

所以sin2B＝2sinBcosB＝2×2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png＝68b4d29a0fa1b20cb0db10a379b4d81c.png．………………10分

因为C－B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，即C＝B＋6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，所以A＝π－(B＋C)＝aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png－2B，

所以sinA＝sin(aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png－2B)＝sinaa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.pngcos2B－cosaa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.pngsin2B＝c3e2bd85c28d034023a9eaa6d73dbd14.png1068cbe0b7d73d7bf8ac55b9d58fbb2c.png．………………14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝1ea3a02d537c34649f610d3f60e3fe3b.png＝800x，0＜x＜π．………………2分

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以S△COD＝bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.png·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分

从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分

（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png)．………………8分

由 S′(x)＝0，解得x＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png．

从而当0＜x＜6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png时，S′(x)＞0；当6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png＜x＜π时，S′(x)＜0 ．

因此 S(x)在区间(0，6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png)上单调递增；在区间(6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，π)上单调递减．………………11分

所以当x＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png，S(x)取得最大值．

答：当∠AOC为6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分

18．（本小题满分16分）

解：（1）由题得word/media/image14_1.png且word/media/image15_1.png，解得word/media/image16_1.png

所以椭圆word/media/image17_1.png的方程为word/media/image18_1.png．………………4分

（2）设word/media/image19_1.png，word/media/image20_1.png，

①直线word/media/image21_1.png的方程为word/media/image22_1.png，代入椭圆得word/media/image23_1.png，

由word/media/image24_1.png得word/media/image25_1.png，word/media/image26_1.png，………………8分

所以word/media/image27_1.pngword/media/image28_1.png．……………10分

②直线word/media/image29_1.png过定点word/media/image30_1.png，理由如下：

由题得word/media/image31_1.png，………………12分

由word/media/image32_1.png得word/media/image33_1.png，

则word/media/image34_1.png的方程为word/media/image35_1.png，即word/media/image36_1.png，………………14分

所以直线word/media/image29_1.png过定点word/media/image30_1.png．………………16分

19．（本小题满分16分）

解：（1）因为word/media/image37_1.png，所以word/media/image38_1.png，

由word/media/image39_1.png可得word/media/image40_1.png．

又因为word/media/image41_1.png在word/media/image42_1.png处取得极值，所以word/media/image43_1.png，

所以word/media/image44_1.png．………………2分

所以word/media/image45_1.png，其定义域为word/media/image46_1.png．

word/media/image47_1.png，

令word/media/image48_1.png得word/media/image49_1.png，当word/media/image50_1.png时，word/media/image51_1.png，当word/media/image52_1.png时，word/media/image53_1.png，

所以函数h(x)在区间word/media/image54_1.png上单调增，在区间word/media/image55_1.png上单调减．………………4分

（2）当word/media/image56_1.png时，word/media/image57_1.png，其定义域为word/media/image58_1.png．

①由word/media/image59_1.png得word/media/image60_1.png，记word/media/image61_1.png，则word/media/image62_1.png，

所以word/media/image63_1.png在word/media/image64_1.png单调减，在word/media/image65_1.png单调增，

所以当word/media/image66_1.png时，word/media/image67_1.png取得最小值word/media/image68_1.png．………………6分

又word/media/image69_1.png，所以word/media/image70_1.png时，word/media/image71_1.png，而word/media/image72_1.png时，word/media/image73_1.png，

所以b的取值范围是word/media/image74_1.png．………………10分

注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分．

②由题意得word/media/image75_1.png，

所以word/media/image76_1.png，

所以word/media/image77_1.png，………………12分

不妨设x1<x2，要证word/media/image78_1.png，只需要证word/media/image79_1.png，

即证word/media/image80_1.png．………………14分

设word/media/image81_1.png，则word/media/image82_1.png，

所以word/media/image83_1.png，函数word/media/image84_1.png在word/media/image85_1.png上单调增，

而word/media/image86_1.png，所以word/media/image87_1.png，即word/media/image88_1.png，

所以word/media/image89_1.png．………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）设word/media/image90_1.png的公差为word/media/image91_1.png，word/media/image92_1.png的公比为word/media/image93_1.png，

则word/media/image94_1.png

由word/media/image95_1.png，………………2分

所以word/media/image96_1.png．………………4分

（2）若word/media/image97_1.png，则word/media/image98_1.png，

因为word/media/image99_1.png为正整数，所以word/media/image100_1.png为正整数，

即word/media/image101_1.png，此时word/media/image102_1.png，不成立，舍去．………………6分

若word/media/image103_1.png，则word/media/image104_1.png，word/media/image105_1.png，成立，

综上，word/media/image105_1.png．………………8分

（3）若word/media/image106_1.png为word/media/image107_1.png中的一项，则word/media/image108_1.png为正整数，

因为word/media/image109_1.png

word/media/image110_1.png，………………10分

所以word/media/image111_1.png，

故若word/media/image112_1.png为word/media/image113_1.png中的某一项，只能为word/media/image114_1.png．………………12分

①若word/media/image115_1.png，

②word/media/image116_1.png，

③word/media/image117_1.png，………………15分

综上，word/media/image118_1.png或word/media/image119_1.png．………………16分

Ⅱ试题

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

解：在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0，7)，B(1，7－a)．

因为04b72a656a9b53d51a19f01d8e1ac480.png c29dfc19ce74963ff217e85adefc2263.png＝03914761dedb215ae9cc53dcfb277805.png，20f048dee4fca42ee7757d7a12e26259.png 9b63807186dd595a00d2b848f1316040.png＝80d88f5b0ad3d5195909015da4208811.png，………………4分

所以A，B在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．

由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，

所以ebcdf05666cbc78e33322342e1250780.png………………8分

解得a＝2，b＝13．………………10分

B．选修4—4：坐标系与参数方程

解：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，………………2分

将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x．………………4分

联立方程组91014e6a2ecff63acfe829d5cda18ac6.png解得 6fa78ecfbd61734e1a1c9dc2f9e0f5d6.png或09f4c7f0243935cbd3d86c4c0aaead01.png

所以A(4，4)，B(70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，－1)．………………8分

所以AB＝cc55c205c2c6636ef72b7c1ff194c4f9.png．………………10分

C．选修4—5：不等式选讲

证：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．………………5分

由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|

＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋2×70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png＝1．

即|x＋5y|≤1．………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

解：（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A， P(A)＝32841b8cadf591672bb78cedbcc957e1.png＝29c16e40a179366368693601cdebc99e.png＝35a25dca6e95b3e2b363ac97cc519532.png．

答：恰有2人申请A大学的概率为35a25dca6e95b3e2b363ac97cc519532.png．………………4分

（2）X的所有可能值为1，2，3．

P(X＝1)＝2413fd6fc230c214d9c487f72f192ac4.png＝121e1cad8f56e4fbdc57192bb15b0e4f.png，

P(X＝2)＝9d5a204b881eed683f0977b6b9b74aa6.png＝d514321359c891442cda9fd712103e72.png＝3d033bc9219c3d584fdb617a30465bce.png，

P(X＝3)＝bcf6f6b710a26b5c012aacba1995abc3.png＝dc25d6b75996dbc8fa6f0e30333f8d48.png＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png．

所以X的概率分布列为：

所以X的数学期望E(X)＝1×121e1cad8f56e4fbdc57192bb15b0e4f.png＋2×3d033bc9219c3d584fdb617a30465bce.png＋3×66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png＝8c791478a14b37e9c53fbd39ebcf84a0.png．………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）word/media/image120_1.png．………………3分

（2）

∵word/media/image121_1.png

∴word/media/image122_1.png

word/media/image123_1.png

word/media/image124_1.pngword/media/image124_1.png

………………7分

∴word/media/image125_1.png．

∵word/media/image126_1.png，

∴word/media/image127_1.png能被word/media/image128_1.png整除．………………10分

金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三年级第二学期期初联考试卷

数学试题点评与参考答案

Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝ ▲ ．

【点评】集合并集的运算，简单题。

【答案】1．{1，2，3，4}

2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．

【点评】复数的概念，简单题。此题源自于南京二模改编。

【答案】2．－1

3．函数f(x)＝ln(x－1)的定义域为 ▲ ．

【点评】函数的定义域，简单题。

【答案】3．(1，＋∞)

4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 ▲ ．

【点评】平均数与方差的计算，简单题。此题为改编题。

【答案】4．8

5．已知抛物线y2＝4x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．

【点评】抛物线的性质，简单题。注意上下两个点，学生容易出错。

【答案】5．(4，±4)

6．已知命题p：－1<x－a<1，命题q：(x－4)(8－x)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．

【点评】逻辑用语，中等题。此题为改编题。

【答案】6．[5，7]

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝ ▲ ．

【点评】等比数列公式的考查，中等题。

【答案】7．127

8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0<x<2时，f(x)＝2x，则f(－7)＝ ▲ ．

【点评】奇函数与周期函数的性质，中等题。

【答案】8．－2

9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S1、S2，则S1：S2＝ ▲ ．

【点评】空间几何体相关量的计算，中等题。

【答案】9．3：2

10．在等腰△ABC中，已知底边BC＝2，点D为边AC的中点，点E为边AB上一点且满足EB＝2AE，若d9f5ca4e7a7b95183d91b2fda99c4a50.png·0a603e1a7f256f9c50812cad19922a27.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，则81c595fd694807002c4a9ab92f574cef.png·1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png＝ ▲ ．

【点评】向量的相关运算，中等题。此题为改编题。

【答案】10．b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png

11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为 ▲ ．

【点评】函数值域与不等式的简单综合，中等题。此题为改编题。

【答案】11．－3

12．在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ▲ ．

【点评】以正切为切入点的最值问题，中等题。此题有较多变式，后续教学应重点关注。

【答案】12．4

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ▲ ．

【点评】三角形中的最值问题，中等题。

【答案】13．9

14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．

【点评】函数与导数综合，以切线为切入点，难题。此题源自南京二模。

【答案】14．[－1，1]

【填空题总评】本次考试填空题难度不大，关注基本点的考查，考生在本部分如低于60分，需要加强相关基本题的训练。此外，本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编题，难度略低，但考点覆盖较全面，针对近两年难度的下降，填空题难度的下降也会成为趋势。

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．

（1）求证：EF∥平面ABD；

（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，简单题。在阅卷时，应严格按照评分标准进行阅卷。对于考生在此部分答题的不规范，应严格判分。

【答案】

解：（1）因为BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，

所以BD∥EF．………………3分

因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分

（2）因为AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AE⊥CD．………………8分

因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分

又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分

又CD⊂平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c，cosB＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png．

（1）若c＝2a，求9e9375007cf842317db97df2c9631be8.png的值；

（2）若C－B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，求sinA的值．

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题规范。