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必修五高中数学人教A版模块综合测试（含祥解）

发布时间：2010-02-11 17:13:34 来源：文档文库

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必修五高中数学人教A版模块综合测试

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )

A. B.cos C.cos D.cos

解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.

答案：D

2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于( )

A. B. C. D.

解析:∵a、b、c成等比数列,

∴b2=ac.

又∵c=2a,

∴b2=2a2.

∴cosB===.

答案：B

3.在等比数列{an}中，a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于( )

A. B.()9 C. D.()10

解析：∵a19+a20=a9q10+a10q10=q10(a9+a10)

(q为公比)，

∴q10==.

又a99+a100=a19q80+a20q80=q80(a19+a20)=()8·b=.

答案：A

4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n项到第N项的和为720，则n,N的值分别是( )

A.n=2,N=6 B.n=2,N=8

C.n=3,N=6 D.n=3,N＞6

解析：∵SN-Sn-1=720，

∴=720，即3N-3n-1=720.

将选项代入知N=6,n=3适合上述方程.

答案：C

5.设α、β是方程x2-2x+k2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k为( )

A.2 B.4 C.±4 D.±2

解析：α+β=2，αβ=k2,

又(α+β)2=αβ，∴4=k2.

∴k=±2.

答案：D

6.等比数列{an}中，前n项和Sn=3n+r，则r等于( )

A.-1 B.0 C.1 D.3

解析：当n=1时，a1=3+r；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2·3n-1,要使{an}为等比数列，则3+r=2，即r=-1.

答案：A

7.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )

A.(1,2) B.(2,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞)

解析:设A＞B＞C,则B=,A+C=,0＜C＜,于是

m====cotC+,

∵＜cotC,

∴m＞2.

答案：B

8.设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100，那么an+bn所组成的数列的第37项的值是( )

A.0 B.37 C.100 D.-37

解析：设{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2，则an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2.

∴an+bn=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2).

∴{an+bn}也是等差数列.

又a1+b1=100,a2+b2=100，∴{an+bn}是常数列.故a37+b37=100.

答案：C

9.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0),若x1＜x2，x1+x2=0，则( )

A.f(x1)＜f(x2) B.f(x1)=f(x2)

C.f(x1)＞f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定

解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a＞0,

∴x1+x2=0,x1与x2的中点为0，x1＜x2.

∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.

∴f(x1)＜f(x2).

答案：A

10.数列{an}中，an＞0且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)，则公比q的取值范围是( )

A.0＜q＜ B.0＜q＜

C.0＜q＜ D.0＜q＜

解析：令n=1，不等式变为a1a2+a2a3＞a3a4，

∴a1a2+a1a2q＞a1a2q2.

∵a1a2＞0,∴1+q＞q2.

解得0＜q＜.

答案：B

11.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A,那么△ABC一定是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B或A+B=.

答案：D

12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )

A.a(1+r)5 B.［(1+r)5-(1+r)］

C.a(1+r)6 D.［(1+r)6-(1+r)］

解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；

2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a］(1+r)；

2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a［(1+r)2+(1+r)］+a｝(1+r)，

即a［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；

2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即

a［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］，

∴2006年1月1日可取回的钱数为

a×=［(1+r)5-(1+r)］.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)

13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.

解析：由5x2-7x-6=0,得x1=-,

x2=2(舍去),

∴cosθ=-,sinθ=.

∴S=×3×5×=6 (cm2).

答案：6 cm2

14.数列{an}的通项公式为an=2n-49，Sn达到最小时，n等于_______________.

解析：∵an=2n-49,

∴{an}是等差数列，且首项为-47，公差为2.

由

解得n=25.

∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小.

答案：24

15.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是_______________.

解析：由题意知，首项为，则第四项为，则另两根应为+=,+×2=.

∴a=×=,b=×=.

∴a+b=+=.

答案：

16.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.

解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km，则

解之,得 256＜x＜260.

答案：256＜x＜260

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)在△ABC中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA＞tanB,tanB=，求角C的大小及△ABC最短边的长.

解：由已知得A+B=,C=.又tanA＞tanB,∴B是△ABC的最小内角.又tanB=,∴sinB=.

∵=,∴b=·sinB=.

∴C=,其最短边长为.

18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.

解：该数列的一个通项公式为an=13+n(n+1).

令13+n(n+1)=2 563，则n2+n-2 550=0，

解得n=50或n=-51(舍).

∴2 563是该数列的第50项.

19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC中,∠B=45°,AC=,cosC=，

(1)求BC边的长;

(2)记AB的中点为D,求中线CD的长.

解：(1)由cosC=得sinC=,sinA=sin(180°-45°-C)= (cosC-sinC)=.

由正弦定理知BC=·sinA=·=.

(2)AB=·sinC=·=2.

BD=AB=1.

由余弦定理知

CD==.

20.(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)，证明

(1)数列{}是等比数列；

(2)Sn+1=4an.

证明：(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn，

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).

整理得nSn+1=2(n+1)Sn,∴=2.

故{}是以2为公比的等比数列.

(2)由(1)知=4 (n≥2).

于是Sn+1=4(n+1) =4an(n≥2).

又S1=a1=1,a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意整数n≥1，都有Sn+1=4an.

21.(12分)一个公差不为0的等差数列{an}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.

(1)求{an}各项的和S；

(2)记{bn}的末项不大于，求{bn}项数的最值N；

(3)记{an}前n项和为Sn，{bn}前N项和为Tn，问是否存在自然数m，使Sm=Tn.

解：设{an}公差为d，a1=5,a4=5+3d,a16=5+15d分别为{bn}的第1、3、5项,

∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).

(1)S=100×5+×5=25 250.

(2)∵b1=a1=5,b3=a4=20，∴q2==4.

∴q=2或q=-2(舍),bn=5·2n-1.

令5·2n-1≤，

∴2n≤5 050.又212＜5 050＜213，即n＜13,且212=4 096＜5 050,

∴n的最大值N=12.

(3)设有Sm=Tn,即5m+×5=5(212-1)，整理得m2+m-8 190=0，

∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S90=T12.

22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t 需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t；每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过3 00 t,B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)