[知识详解]物理必修二6.3万有引力定律

第六章 万有引力与航天

第三节 万有引力定律

【知识点详细解析】

知识详解一、地心说与日心说

要点诠释：

1．地心说

地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动．

公元2世纪的希腊天文学家托勒密使地心说发展和完善起来，由于地心说能解释一些天文现象，又符合人们的日常经验(例如我们看到太阳从东边升起，从西边落下，就认为太阳在绕地球运动)，同时地心说也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以得到教会的支持，统治和禁锢人们的思想达一千多年之久．

2．日心说

16世纪，波兰天文学家哥白尼(1473～1543年)根据天文观测的大量资料，经过长达40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景．

日心体系学说的基本论点有：

(1)宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动．

(2)地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动．

(3)天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象．

(4)与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多．

随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．

注意：古代的两种学说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，鉴于当时自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说能更完美地解释天体的运动．以后的观测事实表明，哥白尼日心体系学说有一定的优越性．但是，限于哥白尼时代科学发展的水平，哥白尼学说存在两大缺点：①把太阳当做宇宙的中心．实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念．实际上行星轨道是椭圆的，行星的运动也不是匀速的．

知识详解二、开普勒发现行星运动定律的历史过程

要点诠释：

(1)丹麦天文学家第谷连续20年对行星的位置进行了精确的测量，积累了大量的数据．到1601年他逝世时，这些耗尽了他毕生心血获得的天文资料传给了他的助手德国人开普勒．

(2)开普勒通过长时间的观察、记录、思考与计算，逐渐发现哥白尼把所有行星运动都看成是以太阳为圆心的匀速圆周运动似乎简单了一些，因为它与实际观察到的数据有着不小的出入．

(3)开普勒承担了准确地确定行星轨道的任务，他仔细研究了第谷对行星位置的观测记录，经过四年多的刻苦计算，所得结果与第谷的观测数据至少有8′的角度误差，那么这不容忽视的8′可能就是人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的．最后开普勒发现行星运行的真实轨道不是圆，而是椭圆，并于1609年发表了两条关于行星运动的定律．

(4)开普勒在发表了第一定律和第二定律后，进一步研究了不同行星的运动之间的相互关系，在1619年又发表了行星运动的第三条定律．

开普勒提出描述行星运动的规律，使人类的天文学知识提高了一大步，他被称为“创制天空法律者”．

知识详解三、开普勒的行星运动定律

要点诠释：

(1)开普勒第一定律(轨道定律)

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．不同行星椭圆轨道则是不同的．

开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心．不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内．

(2)开普勒第二定律(面积定律)

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．

如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大．

(3)开普勒第三定律(周期定律)

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，即(其中，比值k是一个与行星无关的常量)

知识详解四、对行星运动规律的理解

要点诠释：

(1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率．如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积A＝面积B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大．

(2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．以后将会证明，开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．

(3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同．

(4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解：

①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；

②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；

③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即．如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有．

【典型例题】

类型一、对日心说和地心说的考查

例1、16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的以下四个基本论点，这四个论点目前看存在缺陷的是( )

A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动

B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动

C．天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象

D．与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多

【思路点拨】了解哥白尼日心说的基本论点是解题关键。

【答案】ABC

【解析】天文学家开普勒在认真整理了第谷的观测资料后，在哥白尼学说的基础上，抛弃了圆轨道的说法，提出了以大量观察资料为依据的三大定律，揭示了天体运动的真相．它们中的每一条都是以观测事实为依据的定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴a满足常量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动，整个宇宙是在不停运动的．

【总结归纳】知道人类对行星运动的认识过程，体会科学家们严谨的科学态度和坚持真理的勇气．学习物理学史，提高自己的科学素养。

类型二、对开普勒第二定律的考查

例2、某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为，则过近日点时行星的速率为( )

A． B． C． D．

【思路点拨】记住开普勒第二定律的内容，应用其规律很容易解出该题．

【解析】如图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间△t，则有：，所以．

【答案】C

举一反三

【变式】如图所示是行星m绕恒星M运动情况示意图，下列说法正确的是( )

A．速度最大点是A点

B．速度最小点是C点

C．m从A到B做减速运动

D．m从B到A做减速运动

【答案】A、C

【解析】由开普勒第二定律可推知，近恒星处行星速度大而远恒星处速度小，故A点速度最大，B点最小，由A至B速度减小，由B到A则速度增大，故A、C正确．

类型三、对开普勒第三定律的考查

例3、太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现达数十颗．下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数．则两卫星相比较，下列判断正确的是( )

A．土卫五的公转周期较小

B．土卫六的转动角速度较大

C．土卫六的向心加速度小

D．土卫五的公转速度较大

【思路点拨】卫星绕土星做匀速圆周运动，由匀速圆周运动知识结合开普勒第三定律可解。

【答案】ACD

【解析】比较同一个行星的卫星的运动情况，其方法与比较太阳的任意两颗行星的运动情况的方法一样．卫星本身的大小、形状与其运动快慢无关．

筛选所给的信息，其重要信息是：卫星离土星的距离，设其运动轨道是圆形的，且做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律：轨道半径的三次方与公转周期的平方的比值相等，得A正确．土卫六的周期较大，则由匀速圆周运动的知识得：土卫六的角速度较小，故B错误．根据匀速圆周运动向心加速度公式及开普勒第三定律，得：，可知半径大的向心加速度小，故C正确．由于，由推理可知，轨道半径小的卫星，其运动速度大，故D正确．

【总结升华】涉及行星(卫星)绕中心天体运行，已知行星(卫星)的绕行半径或半长轴，可利用开普勒第三定律分析其半径或半长轴与其周期的关系，再利用圆周运动知识解决问题．

举一反三

【变式】地球赤道上的物体A，近地卫星B（轨道半径等于地球半径），同步卫星C，若分别用rA、rB、rC；TA、TB、TC；vA、vB、vC；分别表示三者离地心距离，周期，线速度，则三者的大小关系 ， ， ；

【答案】rA=rB<rC， TA=TC>TB ， vB>vC>vA

例4、 (2015 宜昌校级二模)经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为，周期为，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间发生一次最大的偏离。如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径R（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一条直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T、半径为R，则有：，所以，再由开普勒第三定律：，解得：。

【总结升华】根据A行星比B行星多转动一圈求出卫星的周期，后由开普勒第三定律计算轨道半径。

举一反三

【变式1】1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m这一事实可得到哈勃天文望远镜绕地球运行的周期．以下数据中最接近其运行周期的是( )

A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时

【解析】因为哈勃天文望远镜和同步卫星都绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律可知：其轨道半径的立方与周期的平方比值是相同的，该比值是与地球有关的一个常数．哈勃天文望远镜的轨道半径为R1＝6.4×106 m+600 km＝7×106 m，周期为T1同步卫星的轨道半径为R2＝6.4×106 m+3.6×107m＝4.24×107m，周期为T2＝24小时；则有，代入数据计算可得T1≈1.6小时，因此其运行周期最接近1.6小时，选项B正确．

【答案】B

【总结升华】本题利用开普勒第三定律进行估算，注意同步卫星与地球的自转周期相同，是24小时，本题的关键是搞清轨道半径、地球半径、离地高度这三个量之间的关系．

【高清课程：行星的运动 例1】

【变式2】宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是 （ ）

A．3年 B．9年 C．27年 D．81年

【答案】C

类型四、对万有引力定律的考查

例5、对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是( )

A．只要m1和m2是球体，就可用上式求解万有引力

B．当r趋于零时，万有引力趋于无限大

C．两物体间的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关

D．两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力

【解析】万有引力定律的表达式，适用于两个质点之间的引力计算，当r趋于零时，两个物体无论是球体，还是其他物体，都不能看成质点，上式不再成立，故A、B两项均错；两个物体之间的万有引力是作用力与反作用力关系，故C对、D错．

【答案】C

【总结升华】物理公式与数学方程不是一回事，物理公式必须考虑成立条件和物理意义，如，当r→0时，从数学上看F→∞，从物理角度看公式不成立．

举一反三：

【变式】两艘轮船，质量都是1.0×104 t，相距10 km，它们之间的引力是多大?这个力与轮船所受重力的比值是多少?

【解析】轮船之间的引力

．

轮船的重力G＝mg＝1.0×107×10 N＝1.0×108 N

两轮船间的引力与轮船重力的比值为．

【总结升华】从计算结果看，平常分析轮船的受力根本不用考虑船与船间的万有引力，因其远小于重力．

例6、某星球“一天”的时间是T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时?

【思路点拨】赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力

【解析】设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2．

在“赤道”：． ①

在“两极”处：． ②

依题意得 ． ③

设该星球自转的角速度增加到ω，赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力，物体受到星球的万有引力全部提供其随星球自转的向心力，则

， ④

又 ，． ⑤

联立方程①②③④⑤解得：

．

即赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是1.9 h．

【总结升华】应理解题中的“一天”的含义是指该星球自转的周期，弄清该星球对物体的万有引力与物体重力的区别，准确理解使赤道上物体飘起来的物理含义，这就是说要准确地把生活语言翻译成物理语言．

举一反三

【变式】（2015 海淀区二模）公元1543年，哥白尼临终前在病榻上为其毕生的著作《天体运行论》印出的第一本书签上自己的姓名。这部书预示了地心宇宙论的终结，哥白尼提出行星绕太阳做匀速圆周运动，其运动的示意图如图所示。假设行星只受到太阳的引力，按照哥白尼的上述观点，则离太阳越近的行星（ ）

A．周期越小 B．线速度越小 C．角速度越小 D．加速度越小

【答案】A

【解析】设太阳的质量为M，行星的质量为m，轨道半径为r，行星绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，则由牛顿第二定律得：，得：、、、，可知，行星离太阳越近，轨道半径越小，则周期T越小，线速度、角速度、向心加速度越大，故A正确。

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