1-1
1.试证:若满足Fourier积分定理中的条件,则有
其中
分析:由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试用三角形式证明.
证明:利用Fourier积分的复数形式,有
由于所以
2.求下列函数的Fourier积分:
1); 2)
3)
分析:由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题,请读者试用三角形式解.
解:1)函数为连续的偶函数,其Fourier变换为
(偶函数)
f(t)的Fourier积分为
2)所给函数为连续函数,其Fourier变换为
(实部为偶函数,虚数为奇函数)
f (t)的Fourier变换为
这里用到奇偶函数的积分性质.
3)所给函数有间断点-1,0,1且f(-t)= - f(t)是奇函数,其Fourier变换为
(奇函数)
f(t)的Fourier积分为
其中t-1,0,1(在间断点处,右边f(t)应以代替).
3.求下列函数的Fourier变换,并推证下列积分结果:
1)证明:
2)证明:
3),证明:
证明:1)函数为连续的偶函数,其Fourier变换为
再由Fourier变换得
即
2)函数为连续的偶函数,其Fourier变换为
再由Fourier变换公式得
即
3)给出的函数为奇函数,其Fourier变换为
故
4.求函数的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.
解:根据Fourier正弦积分公式,并用分部积分法,有
根据Fourier余弦积分公式,用分部积分法,有
1-2
1.求矩形脉冲函数的Fourier变换.
解:
2.设是函数的Fourier变换,证明与有相同的奇偶性.
证明:与是一个Fourier变换对,即
,
如果为奇函数,即,则
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