文档文库
手机版
投诉建议
热门搜索： 心得体会 演讲稿 思想汇报
首页 > (全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

发布时间：   来源：文档文库   
小 中 大
字号：
手机查看

第二章离散型随机变量及其分布律
第二节一维离散型随机变量及其分布律习题
Page55
1、一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用表
示所得球上的数字，求的分布律。
解答：因为只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以的分布律为：

P{xi}
-32/6
13/6
21/6
2、在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用表示其中的次品数，
问的分布律是什么？
解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数为k时，即有k个次品时，则有10-k个正品。所以：
k10kC30C170
的分布律为：P{k},k0,1,10
C200
,10。
3、一个盒子中有m个白球，nm个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球
才停止。设此时取到的白球数为，求的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0
m中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数等于k，则第
_
k1次取到是黑球，以Ai表示第i次取到的是白球；Ai表示第i次取到的是黑球。则的
分布律为：
P{k}P(A1A2mm1nn1
AkAk1P(A1P(A2|A1
,m
_
P(Ak1|A1
_
Ak
mk1nm,k0,1,nk1nk
。
4、汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿
灯显示时间相等。以表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律。解答：因为只有3个路口，因此只可能取0、1、2、3，其中{3}表示没有碰到红灯。以Ai表示第i个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以P(Ai1/2，又因信号灯出现



什么信号相互独立，所以A1,A2,A3相互独立。因此的分布律为：
P{0}P(A1
_
_
1，2
_
P{1}P(A1A2P(A1P(A2
_
_
_
_
1，4
P{2}P(A1A2A3P(A1P(A2P(A3
_
_
_
_
_
_
1，8
P{3}P(A1A2A3P(A1P(A2P(A31/8。
5、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为
pi
1
,(i1,2,3。用表示3个零件合格品的个数，求的分布律。i1
解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以Ai表示第i个零件是合格的，则P(Ai1/(1i。因表示零件的合格数，因此的分布律为：
1111P{0}P(A1A2A3P(A1P(A2P(A3(1(1(1，
2344
______
11，P{1}P(A1A2A3P(A1A2A3P(A1A2A324
___
6
P{2}P(A1A2A3P(A1A2A3P(A1A2A3，
24
1。P{3}P(A1A2A324
_
_
_
_
_
_
6、设随机变量的分布律为P{k}c
确定常数c的值。解答：因P{k}c
k
k!
,k0,1,2,
，式中为大于0的常数。试
k
k!
,k0,1,2,如果是随机变量的分布律，则应该满足如下两个


1条件：1、对任意的k，P{k}0，因此可得c0；2、
所以可得ce

P{k}ck!
k0
k0
k
ce，
。
7、设在每一次试验中，事件A发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3时，指示灯发出
信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。



解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的次数服从参数为n和pP(A0.3的二项分布。因为当A在n次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，P{发出信号}P{3}
P{k}C
k3
k3
nn
kn
0.3k0.7nk。第
一小题中的n等于5，第二小题中的n等于7。计算即可。
8、某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率
都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？
解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于P{3}1P{0}P{1}
P{2}10.95050*0.949*0.1
50*49482
0.90.1。2
9、把一个试验独立重复地做n次，设在每次试验中事件A出现的概率为p，求在这n次试
验中A至少出现一次的概率是多少。
解答：同上一题，n次试验中A出现的次数服从参数为n和p的二项分布。因此，所要求的概率等于P{1}1P{0}1(1p。10、
甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，
n
如果甲首先射击，求：
（1）两人射击总次数的分布律；（2）甲射击次数1的分布律；（3）乙射击次数2的分布律。
解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai0.6（i1,2,
）；令Bi表示乙第i次射击时射中，则
P(Bi0.7(i1,2,。由此可知：



_
_
_
_
_
_
（1）P{2k1}P(A1B1AkBkAk1P(A1P(B1kP(A10.12k*0.6，
k
k0,1,

_
_
P{2k}P(A1B1
（2）P{1k}P(A1B1+P(A1
__
k1_
_
AkBkP(A1P(B1k1P(B10.12k1*0.28，k1,2,AkBkP(A1B1
__
_
_
__
k
_

Bk1AkP(A1P(B1k1P(B1

_
__
k
_
P(B1k1P(A10.88*0.12k1,k1,2,AkBkP(A1B1
_
k_
_
_
_
_
k
（3）P{2k}P(A1B1
_
k
_
BkAk1P(A1P(B1k1P(B1
k1
P(A1P(B1P(A10.352*0.12P{20}P(A10.6。11、
,k1,2

一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从4的泊松分布。求（1）一分钟内恰好
有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。解答：因每分钟受到的呼叫数

484
e，因此P{8}而P{9}1P{9}(4，
8!
4i4
=e=0.008132。（查表得到）i10i!
12、
某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为
0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。
解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数
B(500,0.001，因n500较大，而p0.001较小，因此可利用泊松定理近似计算，
0.5k0.5
e，(0.5。即P{2}1P{1}i2k!

则令500*0.001，即近似认为查表可得等于0.090204。13、
设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零
件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？解答：因每月耗用零件的数量

(3，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量小


3i3
于等于月初所备的零件数x，也就是P{x}1e0.999，查表可得x10。
i0i!
x1
14、
设服从泊松分布，且P{1}P{2}，求P{4}。
解答：因(，即P{1}
1
1!
e

P{2}
2
2!
e，由此可得2，所以
244
P{4}e。
4!
15、
设服从参数为的泊松分布，即P{k}e

k
k!
,k0,1,2,
，求使得
P{k}达到极大值的k，并证明你的结论。
P{k1}k1k
e/(e解答：因,因此如果k1，则
P{k}(k1!k!k1
P{k1}P{k}，而若k1，则P{k1}P{k}。所以，若存在正整
数l使得ll1，则P{l}取得最大；而若存在正整数l，则P{l1}和
P{l}同时达到最大。
16、
设随机变量
B(2,p,B(3,p，若P{1}5/9，求P{1}。
5
B(3,p，所以P{1}1P{0}1(1p2，由此可
9
11319得p。所以P{1}1P{0}1(1。
3327
解答：因
B(2,p,
17、设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则
扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？
解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数只可能取0、1、2，因此的分布律为P{0}
828218
,P{1},P{2}。101091098
第三节二维离散型随机变量及其分布律习题
Page62
1、设二维随机变量(,可能取的值为(0,0,(1,1,(1,1/3,(2,0,(2,1/3，相应的概率



为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。（1）列表表示其联合分布律；（2）分别求出和的边缘分布律；
（3）分别求在0和1/3条件下的条件分布律；（4）求P{11}。
解答：由题意可得二维随机变量(,的联合分布律及和的边缘分布律为：

-1
01/31
01/121/35/12

01/6001/6
21/41/605/12
P{yj}
5/121/41/31
P{xi}
01/62
0，P(0|0，5/125/125
1/4311/1211
P(2|0；P(1|，P(0|0，
5/12531/43311/62
P(2|。
31/43
1
（4）P{11}P(1,0P{1,}P{1,1}
317
P(0,0P{0,}P{0,1}。
312
（3）条件概率的定义得：P(1|0
2、在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只
球，用和分别表示第一个和第二个球的号码。（1）求(,的联合分布律；
（2）求在2条件下的条件分布律；（3）问和是否独立？为什么？
（4）把摸球从不放回改成放回抽样，问此时和是否独立？解答：（1）(,的联合分布律为：




123

12/306/302/30
26/306/30（注）3/30
32/303/300
注：P{2,2}P{2}P{2|2}
326
。6530
15，因此，在230
（2）P{2}P{1,2}P{2,3}P{3,2}条件下的条件分布律为：
i
P{i|2}
注：P{2|2}
12/5
22/5（注）
31/5
P{2,2}6/302
。
P{2}15/305
（3）因为
21010
P{1,1}P{1}P{1}，所以和并不独立。303030
（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球和第一次毫无关系，因此由题意即
可得知这两个随机变量是相互独立的。
3、用和分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设和的联合分
7.14m6.86nm14
e,n0,1,2,布律为P{n,m}
m!(nm!
（1）试求和的边缘分布律；
（2）求条件分布律P{n|m}和P{m|n}
,m0,1,,n。
解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：
7.14m6.86nm14e14
e（1）P{n}P{n,m}
m!(nm!n!m0m0
n
n
m0
C
n
m
n
7.14m6.86nm
e1414n14n(7.146.86e,n0,1,2n!n!


，
7.14m6.86nm147.14m14n6.86nm
eeP{m}P{n,m}
m!(nm!m!(nm!nmnmm0
7.14m146.867.14m7.14
eee,m0,1,2
m!m!
；



7.14m6.86nm14
e
P{n,m}6.86nm6.86m!(nm!
e,nm（2）P{n|m}
7.14m7.14P{m}(nm!
em!7.14m6.86nm14
e
P{n,m}m!(nm!m7.14m6.86nm
C(P{m|n}，n(n
14P{n}1414
e14n!
m0,1,n。
4、设二维随机变量(,的联合分布律如下表所示，问表中x,y取什么值时，和独立。

1
12
1/61/3

21/9x
31/18y
解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：
111112xy1x6918339
，得：，验证可知正确。
1111P{1,2}P{1}P{2}(xy3999
5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率；（3）写出它们的联合分布律。
解答：以表示甲投中的次数、表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得(,的联合分布律为：

0
01


10.0077760.054432
20.0116640.081648
30.0058320.040824
0.0017280.012096


23
0.0282240.021952
0.1270080.098784
0.1905120.148176
0.0952560.074088
ii3ijj3j
其中：P{i,i}C30.60.4C30.70.3,i,j0,1,2,3。由此可得：
P{}0.0017280.0544320.1905120.0740880.32076
P{}0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256
0.243。
第四节离散型随机变量函数的分布律习题
Page66
2
1、设的分布律如下表所示，试求（1）+2；（2）；（3）(1的分布律。
2
xi
pi
解答：
-21/8
-1/21/4
01/8
21/6
41/3
xi
pi
-21/80-49
-1/21/43/2-1/49/4
01/8201
21/64-41
41/36-169
2
2(12
由此得到：（1）2的分布律为：
2
pi
（2）的分布律为：
2
01/8
3/21/4
21/8
41/6
61/3
2pi
（3）(1的分布律为：
2
-47/24
-1/41/4
01/8
-161/3
(12

19/49


pi
2、设和独立，
7/241/411/24
B(m,p,B(n,p,求+的分布律。
解答：因和独立，则P{k}
k
P{i,ki}P{i}P{ki}
i0
i0
k
(mnk
kk
Cp(1p
im
i
i0
mi
C
kin
p
ki
(1p
n(ki
p(1p
C
i0
k
imkiCn
kk(mnkCnp(1p，k0,1,m
,(mn，即B(mn,p。
3、1,2,,n相互独立，都服从0-1分布，其分布律为P{i1}p，P{i0}1p，
i1,2,
,n，求证：12n
B(n,p。
n
解答：因为1,2,
,n相互独立，都服从0-1分布，因此i的可能取的值为0,1,
i0
n，
事件{k}={1到n中有k个取1，nk个取0}，由此对任意k(0kn，P{k}
kkkCnP(11kP(10nkCnp(1pnk，即
B(n,p。
4、设(,的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）；（2）2；（3）2的分布律。
解答：因为(,的联合分布律如下表：

123
因此：
（1）的分布律为：

12/306/302/30
26/306/303/30
32/303/300

P{i}
22/30
312/30（注）
410/30
56/30
注：P{3}P{1,2}P{2,1}
6612
。303030



（2）2的分布律为：
2P{2i}
注：P{24}P{2}（3）2的分布律为：
210/30
3
415/30（注）
65/30
P{2,j}
j1
66315
。30303030
2
P{2i}
-32/30
-26/30
3
-12/30
015/30（注）
12/30
23/30
注：P{20}P{2}
P{2,j}
j1
66315
。30303030
5、设(,的联合分布律如下表所示，

0
0123
0.000.010.010.01
10.010.020.030.02
20.030.040.050.04

30.050.050.050.06
40.070.060.050.06
50.090.080.060.05
（1）求在1条件下的条件分布律；（2）求Vmax(,的分布律；（3）求Umin(,的分布律；（4）求(U,V的联合分布律；（5）求W的分布律。解答：（1）P{1}
P{1,j}0.010.020.040.050.060.080.26，
j05




P{j|1}
01/26
12/26
24/26
35/26
46/26
58/26
注：P{j|1}
P{1,j}
,j0,1,
P{1}
,5。
（2）Vmax(,的分布律为：
Vmax(,P{Vi}
10.04
20.16
3
30.28（注）
2
40.24
50.28
注：P{V3}P{max(,3}（3）Umin(,的分布律为：
P{i,3}P{3,j}0.28。
i0
j0
Umin(,P{Ui}
00.28
5
10.30
20.25（注）
30.17
注：P{U2}P{min(,2}（4）(U,V的联合分布律为：
P{2,j}P{3,2}0.25。
i2
Ui
0
0123
0000
10.020.0200
20.040.070.050
Vj
30.060.07（注）0.090.06
40.070.060.050.06
50.090.080.060.05
注：P{U1,V3}P{min(,1,max(,3}P{1,3}P{3,1}0.050.020.07。（5）W的分布律为：
W
P{Wi}
10.02
20.06
3
30.13
40.19
5670.12
80.05
0.24（注）0.19
注：P{W5}P{5}
P{i,5i}0.090.060.050.040.24。
i0



6、设随机变量1,2独立，分别服从参数为1和2的泊松分布，试证：
k
P{1k|12n}Cn(
112
k(1
112
nk,k0,1,2,,n
解答：1(1,2(2，12且1和2相互独立，所以（例2.13）：(12。
因此：P{1k|12n}
P{1k,12n}P{1k,2nk}

P{12n}P{12n}
1k
P{1k}P{2nk}k!1(nk!kCn(12n(12P{12n}12en!
e
1
2nk
e2
k
1112
nk
，
k0,1,
Page68
n。
复习题
1、掷两粒骰子，用表示两粒骰子点数之和，表示第一粒和第二粒点数之差，试求和
的联合分布律，并讨论和是否独立。
解答：以U表示第一粒骰子的点数、V表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U和V相互独立，且P{Ui}P{Vj}
1
,i,j1,2,6
,6。则和的联合分布律为：klkl
,V}22
,5。
P{k,l}P{UVk,UVl}P{U
P{U
klkl
}P{V},k2,3,22
,12;l5,4,
它们的联合分布表如下表：

23456789101112


-5000001/3600000
-400001/3601/360000
-30001/3601/3601/36000
-2001/3601/3601/3601/3600
-101/3601/3601/3601/3601/360
01/3601/3601/3601/3601/3601/36
101/3601/3601/3601/3601/360
2001/3601/3601/3601/3600
30001/3601/3601/36000
400001/3601/360000
5000001/3600000


由随机变量独立性的定义可知，和相互不独立。
2、设,相互独立，P{i}pi,P{j}qj,i,j可取任意非负整数值，试求：
P{}和P{}。
解答：因,相互独立，则P{}

P{i,i}P{i}P{i}pq。
i
i
i0
i0
i0

i

i

P{}P{i,i}P{i,j}P{i}P{j}
i0
i0j0
i0j0

pq
i
i0j0
i
j
。
3、在盒子中有N只球，分别标上号码1,2,
中得到的最大号码，试求的分布律。解答：令i(i1,2,
,N，现有放回地随机摸n次球，设是n次
,n表示第i次摸到球的号码，则可得P{ik}
k
(k1,N
,N。
由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{k}{1k,2k,nk}
{1k1,
n
nk1}。即P{k}P{1k,nk}P{1k1,nk1}
n
n
n
kk1
(P{1k}(P{1k1},k1,2,
NN
,N。
4、设在贝努里试验中（成功的概率为p），直到第k次成功出现就停止试验，到此时为止
k1knk
所进行的试验次数为，求证：P{n}Cn1p(1p,nk,k1,k2,
。
解答：假设到第k次成功时已进行的试验次数为n，则我们可以知道，在第n次试验是成功的，并且在前n1试验中有k1次试验是成功的、有nk次试验是不成功的，但显然的是：这k1次成功的试验可以发生在前n1试验中的任意k1次。并且由于每次试验是相
k1knk
互独立的，因此，我们可得P{n}Cn1p(1p,nk,k1,k2,
。
5、作5次独立重复试验，设P(A1/3，已知5次中A至少有一次不发生。求A发生次
数和A不发生次数之比的分布律。
解答：以表示A在5次独立重复试验中发生的次数，则
1
B(5,。已知A至少有一次
3
不发生，令表示A发生次数和A不发生次数之比，则可知的概率分布律为：




P{i|4}
032/242
1/480/242
2/380/242（注）
2
3/240/242
3
4/130/242
2
802P{2}C51323注：P{|4}P{2|4}。5
2423P{4}113
6、设,相互独立，且服从相同分布P{n}P{n}1/2,n1,2,3,
n
。
（1）求12的分布律；（2）求2的分布律。
解答：（1）P{12k}P{22k}P{k}
（2）P{2k}P{k}
k1i1
1
,k1,2,k2
k1i1
；
ijk
P{i,j}P{i,ki}
k1i1

P{i}P{ki}2
1
i

1k1，k2,3,kik
22
。
7、设随机变量,相互独立，下表列出了二维随机变量(,的联合分布律及关于和关
于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。


x1
y1
1/241/81/6
y2
1/83/81/2
y3
1/121/41/3
P{xi}
1/43/41
x2P{yj}
1
P{x2,y1}P{x2}P{y1}8
13111
P{x2}，即得：P{x2}，继而得到P{x1}，P{x1,y1}
64446
11，P{x1,y3}P{x1}P{x1,y1}P{x1,y2}，2412111由P{x1,y2}P{x1}P{y2}P{y2}，得到P{y2}，842
3
P{x2,y2}P{y2}P{x1,y2}，P{y3}1P{y1}
8
解答：因随机变量,相互独立，因此



11
P{y2}，P{x2,y3}P{y3}P{x1,y3}。
33
第三章连续型随机变量及分布
习题3.1（p.86）
1、设随机变量的分布律如下表所示，
xi
Pxi
01/3
11/8
21/6
7/23/8
试求的分布函数，并利用分布函数求P02。
x001
30x1111x3
解：Fx24
75
3x8271x
2
P02P0P02F2F0F0F02、函数sinx在下列范围内取值
⑴0,π/2；⑵0,π；⑶0,3π/2；它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？
解：作为连续型随机变量的密度函数，fx在定义范围内满足
①fx0；②

11
110
2424


π
2
fxdx1
⑴sinxdx1且当x0,π/2时，故可作为连续型随机变量的密度函数；sinx0，

0
π
⑵sinxdxcosx021，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；
0

π



3π2
⑶sinxdxcosx
0

3π20
1，但当xπ,3π/2时，sinx0，故不可以作为连续型
随机变量的密度函数。
3、要使下列函数成为密度函数，问式中的参数a,b,c应满足什么条件（l1,l2是已知数）？
aebxc
⑴fx
0


xc
；其它
c
解：1

c
1
fxdxaebxcdxaebxc
bc
a
1,c任意。b

abcaebb
b0,⑵gx
axb
0
l2
l1xl2
其它


解：1

gxdxaxbdx
l1
2
xb①bl1，1axbdxa
l2l1
l2
2
，al2bl1b
2

2
2
2l2
l1
b
l2bx2b
②l1bl2，1abxdxxbdxa
2bl1
xb
2
l1
b


al2bl1b
2

2
2
l2
2
bx③bl2，1abxdxa1
l2l1
2
，abl1bl2
2

2
2
l1
4、设连续型随机变量的分布函数为
0,
3
FxAx,
1,
x00x1x1
0.5，P0.31，P⑴求常数A；⑵求的密度函数；⑶求P
解：⑴Fx连续，AF1
34。
F11，A1


3x2
⑵fxFx
0

0x1

其它


1
1
⑶P0.5＝3xdxx
0.5

2
310.5
0.875P0.313x2dx0.973
0.3
1
34P343xdxP34P


3
4
2
3764
5、设随机变量的密度函数为
0,x2x0
fx
4Kxe,x0
⑴求未知常数K；⑵求P11。

解：⑴1


fxdx12

Kxe
0

x24

dx2Ke
0

x24
xd42Ke
2

x2
4

2K
0
K
x
⑵P11e
20
1

x2
4
dxe

x24
1
1e
0

14

6、设随机变量的密度函数为
1x,1x0ππ1
cosx,x
fx⑴fx2⑵1x,0x122
0,其它0,其它
求的分布函数Fx，并画出fx和Fx的图形。解：Fx

ftdt
x
x
π
⑴x，Fx0dt0
2
ππ
x，Fx
22
π
2

111x
sinx1costdtsintππ2
222
2
x
π
x，Fx
2

11costdtsint2π1π222
2
π



π
x02
ππ1
Fxsinx1x
222
π1x
2
⑵x1，Fx
x

0dt0
x
1
x
x21
1x0，Fxftdt0dt1tdtx
221
x21
0x1，Fxftdt0dt1tdt1tdtx
2210
x1，Fx
x
1
0
x

ftdt0dt1tdt1tdt0dt1

1
0
1
x101x
0
2x1
x22Fx2x1x
22
1
7、设随机变量的密度函数为
x11x0

0x1x1
0x1x,
fx2x,1x2
0,其它
求P
33111
，P，P。
42222
解：⑴P
1
23xxdx412
2
3
2
1
34
32412

532
21
32
⑵P
3x1
xdx2-xdx
21221
2
1
x3
2x1241
2
2
2
12
1x2x27
2x⑶Pxdx2-xdx12228111
2
2



8、设k在0,5上服从均匀分布，求方程4x4kxk20有实根的概率。
2
1
,0x5
解：fx5
其它0,
倘若方程有实根，则b4ac16k16k216k2k10
2
2
13k2或k1舍去Pk2dx
552
9、在区间0,a上任意选取一点，用表示该点的坐标，试求坐标的分布函数和密度函
数。
5
x是不可能事件，FxPx0解：当x0时，
当0xa时，依题意P0xkx，k是某一常数。而0xa是必然事件，
故P0xaka1，所以k
1x
，从而P0x，于是aa
xx
FxPxP0P0x0
aa
x是必然事件，FxPx1，故有当xa时，0x
Fx
a1
x01
,0xa
0xafxa
其它0,xa
10、在ABC内任取一点P，用表示点P到底边AB的距离，AB上的高的长度为h，
求的分布函数和密度函数。
解：x0，Fx0；xh，Fx1
0xh，概率为梯形面积和整个三角形面积之比，即为
1ahx
ax2hxx22h
Fx，故有
1h2ah2



0
2hxx2
Fx2
h
1
11、设~N1,16
x02h2x
,0xh
0xafxh2
其它0,xa
1.5，P51，P⑴求P
1，P12；
cPc。⑵求常数c，使P1.5P解：⑴P
11.51
0.1250.1250.5498P44
P51P1
1

0.50.510.53284
P1P11P0

1

0.50.500.19154
P121P121P0.5

1
0.54
10.50.50.617
c1PcPcPc0.5⑵P
P
1c1c1
0.50.5
444
c1
0c14
12、设测量误差的密度函数fx
1402π
e

x202
3200
，x
⑴求测量误差的绝对值不超过30的概率；
⑵如果接连测量3次，每次测量相互独立，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。
解：⑴20,40，



3020203020
P30P3030P
404040
0.250.1250.250.12510.4931
⑵设表示“测量误差的绝对值不超过30”，~B3,0.4931
0
P0.493110.49310.869811P11P01C3
0
3
13、一工厂生产的电子管寿命服从参数为和的正态分布，160，若要求
2
P1202000.80，问最大允许为多少？120200P解：P
120160160200160
404040
210.8


4040
1.28，31.25，即允许最大为31.25。0.9，从而
14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数15.9%，96分以上占总数
2.3%，问成绩在60～84之间的占总数多少？
600.159P解：P

6060
0.159

6060
1①0.841

9696
2②0.977

961P960.023P
由①，②得：72,12P6084P
6072728472
110.6826121212
15、设某元件寿命是个随机变量，其密度为



0,x1000
fx1000
,x1000x2
问在1500小时内
⑴三个元件中没一只损坏的概率；⑵三个元件全部损坏的概率。这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。解：pP1500


1500
100010002
fxdxdx
1500x2x15003

3

3
⑴p8/27⑵1p1/27
16、设随机变量的密度函数为fx
2x,0x1

其它0,
12出现的次数用表示对进行三次独立重复观察中事件
2。⑴求的分布律；⑵求P
12解：⑴P

1
20
2xdxx
1220

14

P
139
⑵P2C32
4464
2
ii0,1,2,3
i1C34
i
34
3i

17、设随机变量服从在2,5上的均匀分布，现在对进行4次观察，试求至少有2次观
察值大于3的概率。
5112,2x5
3dx解：fx3pP
333其它0,



4
3
P1Cp1pCp1p
04
0
4
14
1
3
811211C49333
第三章连续型随机变量及分布
习题3.2（p.105）
1、设(,的联合分布函数为F(x,yABarctan

x
Carctan2y,3
x,y
⑴求参数A、B、C的值；⑵求(,的联合密度函数；
⑶求和的边缘分布函数和边缘密度函数。解：⑴
ππππ
F,ABC1，F,ABC0，
2222
BC
π1
,A22π
2
11Fx,y16322⑵fx,y22222
xyππ4x6yxy
1123
x,y⑶FxFx,
1xπ12
arctan，fxFx
π22π4x21yπ13
arctanfyFy，
π32π9y2
x
FyF,y
y
2、设(,的联合密度函数为
21
xxy,当0x1,0y2
f(x,y3
0,其它



⑴求和的边缘密度函数；
和P1。⑵求P
解：⑴当0x1时，fx



12
fx,ydyx2xydy2x2x
033
2
22
2xx0x1
fx3
0其它
当0y2时，fy



1y1
fx,ydxx2xydx
0363
1
y1
0y2
fy63
其它0
⑵P
xy

12117
fx,ydxdydxx2xydy
0x364
P1
6521
fx,ydxdydxxxydy01x372xy1
1
2
3、设(,的联合密度函数为f(x,y，分别求、的边缘密度函数
2e(y1
,x1,y1
⑴f(x,yx3
其它0,
解：当x1时，fx



fx,ydy

1
2y12
edy33
xx
2

fxx3
0
当y1时，fy
x1其它



fx,ydx
y1
其它


1
2y1y1edxe3x
y1e
fy
0
4xye(x
⑵f(x,y
0,

2
y2
,x0,y0
其它


解：当x0时，fx



2
fx,ydy2xex2yeydy2xex
0

222
2xex
fx
0
当y0时，fy
x0其它


2
2
2



2
fx,ydx2xex2yeydx2yey
0
2yey
fy
0
⑶f(x,y
y0其它

6xy(2xy,0x1,0y1

0,其它
解：当0x1时，fx



fx,ydy6xy2xydy4x3x2
0
1
4x3x2
fx
0
当0y1时，fy
0x1

其它
fx,ydx6xy2xydx4y3y2
01



4y3y2
fy
0
⑷f(x,y
0y1

其它
4.8y(2x,0x1,0yx

0,其它
解：当0x1时，fx



fx,ydy4.8y2xdy2.4x22x
0
x
2.4x22x0x1fx
0其它
当0y1时，fy



fx,ydx4.8y2xdx2.4y34yy2
y
1
2
2.4y34yy0y1
fy
0其它
2
1(x2y2,x2y21
⑸f(x,yπ
0,其它

解：当1x1时，fx



fx,ydy
1x2
1x2
3
2822221xydy3π1xπ



3
8221xfx3π0
38221y同理，fy3π0
1x1其它1y1其它


⑹f(x,y
1

π2(1x2y2x2y2
解：fx



fx,ydy


dy11
arctany222222
π1x1yπ1xπ1x
1
,2
π1y
y
fx
1
,2
π1x
x，同理，fy
4、设(,的密度函数为
10x1,0y1
f(x,y
0其它
求下列事件的概率
12,12；⑵P⑴P
⑹已知⑸P
1
解：⑴P,
2

1
13；；⑶P2⑷P2
1
时，的概率。2
11
1122
dxdy0024
1117
⑵P1
2228
⑶P2
2
x,yG

fx,ydxdydx
0
1
x
20
xx21dydx
02404
1
1
1112
Pdx⑷01dy
333



2
111
P,11222⑸P
1124P
22
6、第3题各随机变量是否独立？
解：若随机变量和相互独立，则fx,yfxfy，因此⑴、⑵、⑹相互独立；⑶、⑷、⑸不独立。
7、设二维随机变量(,在图示的区域G上服从均匀分布。试求⑴(,的联合密度和边缘密度函数；⑵求(,落在区域y1x内的概率。
2
解：⑴A
12
yydxxxdx0上下0
1
1
6
6,0x1,x2yx
f(x,y
0,其它
当0x1时，fx



fx,ydy26dy6xx2
x
x

6xx20x1fx
其它0
当0y1时，fy
fx,ydx

y
y
6dx6yy

6
fy


yy0

0y1其它

2
yx151yx
x⑵求交点，，x1；，222
22y1xy1x
15
20
x
12152
1x2
P
dx26dy
xdx26dy
x
755
222
2上服从均匀分布，的密度函数为8、设，相互独立，在0，
5e5y,
f(y
0,
y0
y0
。⑴求和的联合密度函数；⑵求P



1
解：⑴fx2
0
0x2其它

55y
e
因为和相互独立，所以fx,yfxfy2
0
⑵P
0x2,y0
其它


2
0
dx

x
55y121
edye5xdx1e1022010

9、设一电子器件包含两个部分，分别用和表示它们的寿命（单位：小时）。设(,的联合分布为
1e0.01xe0.01ye0.01(xy,x0,y0
F(x,y
0,其它
⑴问和是否独立；
120,120。⑵求P
解：⑴FxFx,1e
0.01x
，FyF,y1e
0.01y

因为Fx,yFxFy，所以和相互独立。
⑵P120,120P120P1201F1201F120e10、设(,服从二维正态分布

2.4

，21，15，29，35，写出它的联合密度函数和边⑴设参数11
2
2
2
缘密度函数；
⑵若(,的联合密度函数为f(x,y
2
2
32
e

1
4(x426(x4(y19(y126


求参数1,2,1,2和的值，并写出和的边缘密度函数。解：⑴1
2

45



22
125x16x1y1y1expfx,y24π5553332
x,yfx
152π
e

x12
50
,x；fy
2
2
132π
e

y12
18
,y
⑵由公式，14，21，11，2121
2
4
，9

32112
12，1，
2323

fx
12π
x42
2
e
,x；fy
322π
e

9y12
8
,y
12、设(,的联合密度函数为
(x2y2112e,当xy0
f(x,yπ
0当xy0
求证：和的边缘分布分别为N(0,1。
（注记：本题说明，即使(,的边缘分布分别为正态分布，也不能保证联合分布函数为二维正态分布。）解：当x0时，fx



fx,ydy

0
1
eπ

122xy2

dy
1eπ1eπ

x22


0
e

y22
dy
12π12π
e

x22

当x0时，fx



fx,ydy
1eπ
0y22

122xy2

dy

x22


0

e

y22
dye

x22

（式中高斯积分

e


e
y22
dy2π，且e
为偶函数，故


0
e
y22
dy
2π）2
fx
12π

x22
,x即~N(0,1，同理，~N(0,1。
第三章连续型随机变量及分布
习题3.3（p.122）



1、⑴设的密度函数为
ex,x0
fx
x00,
求的密度函数。
2
解：yx，xy，y3x0，y严格单调。由x0，则y0。
3
3
13
当y0时，fyfhyhye
3y
13y3
2
23
y3ey,
fy3
0,
y0y0

⑵若的密度函数为fx，求的密度函数。
3
解：解法同上，fyf

3
1
yy3
3
2
2、设随机变量在0,1上服从均匀分布⑴求12的密度函数；
1,x0,1解：fx，0,其它
y2x，严格单调，由0x1，得0y2。
当0y2时，f1yfhyhy1
11
22
1,
f1y2
0,

y0,2其它

⑵求2e的密度函数；
1,x0,1解：fx，0,其它
yex，xlny严格单调，由0x1，得1ye。



当1ye时，f2yfhyhyflnylny1

11yy
1,
f2yy
0,
y1,e其它

⑶求32ln的密度函数。解：fx
1,x0,1，0,其它
y2
y2lnx，xe严格单调，由0x1，得y0。
yyyy221212
当y0时，f3yfhyhyfee1ee
22
y
12
f3y2e,y0
其它0,
3、设~N0,1，求下列各随机变量函数的密度函数。⑴1e；解：fx

12π
e

x2
2
,x
yex，xlny严格单调，由xR得y0。
当y0时，f1yfhyhyflnylny

12πy
e

ln2y2

1lny
2,y0f1y2πe
0,其它
⑵221；
2
2
解：fx
12π
e

x2
2
,x



y2x21，x
当y1时，
y1
分段单调，由xR得y1。2

f2yf
y1
2
y1
y1y1y114fe2222πy-1
y1
1
e4,y1
f2y2πy1
0,其它
⑶求3解：fx
。
12πe
x2
2
,x
yx，xy分段单调，由xR得y0。
当y0时，f3yfyyfyy

22eπ
y2
2y
e2,y0
f3yπ
0,其它
4、设的密度函数为
2
2
x1,1x2fx9
其它0,
求的密度函数。
解：当1x1时，yx，0y1分段单调，xyfyf
2
2

yy
2

fyy92y

当1x2时，yx，1y4严格单调，xy



fyf
1yy19

1y
2
9y，0y111，1y4fy1y90，其它
5、设的密度函数为
3x2π2,0xπ
⑴f1x
0,其它
1
,π2xπ2
⑵f2xπ
其它0,
分别求出cos的密度函数。
解：⑴在0,π内，ycosx严格单调，xarccosy，1y1。当1y1时，fyfarccosyarccosy

3arccosyπ
3
2
1y
2

3arccosy2
,1y13
2fyπ1y
0,其它
⑵在
ππ
,内，ycosx分段单调，xarccosy或arccosyπ，0y1。22
当0y1时，
fyfarccosyarccosyfarccosyπarccosyπ
2
,0y12fyπ1y
0,其它
2π1y2
6、设电流I是一个随机变量，它在9~11安培内均匀分布，若电流通过2欧姆的电阻，求



功率WIR的密度函数。
2
1
,i9,112
解：fIi2，w2i0严格单调，162w242，i
其它0,
w
2

ww1
当162w242时，fWwfI2242w
1
,162w242
fWw42w
其它0
7、设的密度函数fx
12πx
2
e

12x2

求1的密度函数。
yP1yP1y解：FyP
1P1y1

1
y
12πx
2
e

12x2
dx
令x，dx
1t11
x：，t：0y，dt2
yt
Fy1
0
y
t
2
2π
e

t2
2
11
e2dt10
t2π
y

t2
2
dt
fyFy
12π
e

y22

8、设、独立同分布，服从指数分布，密度函数为
ex,x0
fx
x00,
求⑴1；
⑵22的密度函数。



解：⑴0xz，当z0，f1z0当z0，f1z



fxfzxdxexezxdx2zez
0
z
2zez,z0
f1z
0,z0
zzzfe2,z0
⑵f2z222

0,z0
9、设、独立，在0,2上服从均匀分布，服从参数为1的指数分布，求的密度函数。解：fz
fx,zxdx


独立性



fxfzxdx
1ezx,zx0ezx,xz,0x2
fx2，fzx
0,zx00,xz其它0,
当z0，fz0；
1-zx1-z
edx1e022
211-zx
当z2，fzedxe21e-z
0221z
1e，0z2212z
fze1e，z2
2
0，其它
当0z2，fz
z




10、设、相互独立，~N1,3，~N2,2
2


2
，令⑴
1
25；⑵2；
⑶3235，求各i的密度函数。解：⑴125~N7,6

2
，fy
1
162π126π
e


y72
72
,y
⑵2~N3,13，f2y
y32
26
e,y



y12
144
⑶3235~N1,72，f3y
112π
e

,y
11、设某种商品每周的需要量是一个随机变量，其密度函数为
tet,t0
ft
0,t0
并设各周的需要量是相互独立的，试求⑴两周需要量的密度函数；
⑵三周需要量的密度函数。解：⑴，和独立同分布z0，fz0；当z0时，fz
fxfzxdx
0
z
xe
0
z
x
zxe
zx
dxe
z

z0
z3z
xzxdxe
6
2

z3z
fz3!e,z0
z00,
⑵，和相互独立z0，fz0；当z0时，fz

z
0
fxfzxdx

z
0
x3xezzxezxedx66

z0
z5z
xzxdxe
120
3
4

z5z
fz5!e,z0
z00,
12、设,的密度函数为fx,y

12π
2
e

x2y222



⑴求1
22的密度函数。
解：z0，F1z0；当z0时，
F1zP22z

x2y2r222
r222
0z

fx,ydxdy
x2y2

1
e2π2
z222
-
x2y222
dxdy

极坐标2π

0
d
z2
z
0
1
e2π2

rdre

1e

zz22
2e2,z0,z0，fz2F1z1e1
其它0,其它0,
13、在长为a的线段上随机地任取两点，求这两点间距离的密度函数。解：~U0,a，~U0,a，
2

a2az22azz2
,0za,0za22FzPzaa0,其它0,其它
2az,0za
fzFza2
其它0,
14、假设一电路装有三个同种元件，其工作状态相互独立，且无故障时间服从参数为的指
数分布。当三个元件都无故障时电路工作正常，否则电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。
1et,t0
解：Ft，
t00,
FTt11Ft
3
1e3t,t0

0,t0
3e3t,t0
fTtFTt
0,t0



15、设1,,n独立同分布，其密度函数
xx
8
fxe,x0
4x00,
2
4。求maxi的密度函数，并求P
1in
解：1,,n独立同分布，故FiyFy,i1,2,,n
当y0时，Fy0；
iy当y0时，FyP


Fy1e,
0,
y2
-8

y

fxdx
xe4
y
-
x28
dx1e
-
y28

y0，FyFyny0
y2
-1e8
0,
,
n
y0y0
y2y2
--ny88
fyFy4e1e

0,


n1
,y0y0

P41P411e2。
16、设某种元件寿命近似服从N160,20180
小时的概率。

n

2
，随机地选取4只，求其中没有1只寿命小于
1801P1801P解：pP
160180160
11P2020
1110.84130.1587
4
故所求概率为Pp0.1587。
4
第四章随机变量的数字特征习题4.1期望（P136）
1.一整数等可能性地在1—10中取值，以记除得尽这一正数的正整数地个数，求E(。


解：
1234
142310101010
1423
E12342.7
10101010

2.已知随机变量~B(n,p，验证：E(np。解：E
p
ipiC
i
i0
i0
nn
i
n
pq
ini
i1i1ni
npCnqnp(pqn1np1p
i1
n
3.设在某一规定的时间段里，某电气设备用于最大负荷的时间（单位：分）是一个连续型随机变量，其概率密度为
1
x,0x1500(15002

1
f(x－(x3000,1500x30002
1500）（
0,其它

求E(。解：E(



xf(xdx
1500
0
3000112
xdx1500(15002x(x3000dx(15002
1500
4.已知在搜索时间t内发现沉船的概率为
P(t1eat,(a0
求为了发现沉船所需的平均搜索时间。
解：记为搜索时间，则F(tP(tP(t
aeat
f(t
0
t01at
Etf(tdtatedt
0at0
5.已知连续型随机变量服从柯西分布
f(x

1
,(x2
(1x


试验证其数学期望不存在。解：E(



xf(xdx＝
x12
＝dxln1x
1x22

1


＝发散
6.已知二维随机变量(,的联合分布律如表所示，
yj

12求E(，E(。解：E(0(
xi
01
736936
5361536
7951551(363636369759155
E(1(2(
363636363
2
7.设二维随机变量(,在区域G:xy,xy上服从均匀分布，求E(，E(。解：
yxyx
2
A[xx2]dx
0
1
6(x,yG1
f(x,y6其它0
1x12Edx26ydy
0x25
E

1
0
dx26xdy
x
x
8.一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布（1）随机地取一页，求在这一页上错误不少于2个的概率；（2）随机地取4页，求在这4页上错误不少于5个的概率；



（3）随机地取8页，求在这8页上错误不少于5个的概率
0.200.210.2100
e0.0175解：（1）0.2，P1(0!1!500
0.800.810.820.830.840.8
e0.00141（2）40.20.8，P1(0!1!2!3!4!
（3）80.21.6
1.601.611.621.631.641.6
e0.0237P1(0!1!2!3!4!
习题4.2（P146）
1.设随机变量的分布律如表所示
xi
pi
2
2
202
0.40.30.3
求E(,E(,E(35。解：E20.420.30.2
E24(0.40.32.8
E(3253E2532.8513.4
2.设随机变量的概率密度为
ex
f(x
0
求(12;(2e解：（1）E（2）E
2
x0
x0
的数学期望。


0
2xexdx2


0
e3xdx
13
3.对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的数学期望。



1
解：设直径为，其密度函数为f(xba
0
球体积E(
axb其它

13
是一个随机变量。6
131(ab(a2b2xdx6ba24

b
a
4.试求连接以为半径R的圆周上一已知点A和圆周上任意点的弦长的数学期望。解：

A
A
设过A的直径为AB，AB和弦的夹角为，则在[


,]上服从均匀分布22
1
f(
0



2
x其它

22Rcos
14R
E(22Rcosd
2

5.公共汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，在每小时
内的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望值（准确到秒）。解：设乘客到达的时间为x，则其密度函数为
1
150x10110x3020f(x
130x55251
55x6015
则乘客等候时间的期望为
Ex(10x
0
10
3055601111dx(30xdx(55xdx(70xdx
10305515202515

125
12
6.设随机变量,的概率分别为



2e2x
f(x
04e4yx0
f(yx00
2
y0
y0
求(1E(;(2E(23。解：（1）E(EE2


0
xe2xdx4

0
ye4ydy
3
4
11224y
（2）E,E4yedy
028
3522
E(232E3E1
88
7.设,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
e(x5
f(x
0x52y0y1
f(y
其它其它0

求(1E(;(2E(sin;(3E(esin。
解：（1）,独立。EEE


5
xe(x5dxy2ydy=6
0
1
2
43
(2,独立E(sinEEsin.E


5
xe
(x5
dx6Esinsinyf(ydy2(sin1cos1


E(sin12(sin1cos1(3E(e

sinE(eE(sin
E(e

ee
5

x(x5
dxe
5


5
e
2x
e5
dx
2
EsinE(e




sinyf(ydy2(sin1cos1
sinE(eE(sine5(sin1cos1
8.设随机变量(,的概率密度为f(x,y
k0x1,0yx

0其它
试确定常数k，并求E(。解：


yx
11



1


f(x,ydxdydxkdy
0
0
1x
k
k22
E(2xdx
0
1

x
0
ydy
14
9.承习题4.1，第6题，求E(。解：
yj

12设


xi
01
736936
5361536
012
p
E0
16515363636
1651535
12
36363636
10.设二维随机变量(,服从二维正态分布，其概率密度为
1
f(x,ye
2
求随机变量

x2y2
2
,x,y
22的数学期望。
x2y2
2
极坐标
1
x2y2e解：E2
r22
dxdy

0
2
0
1
dre2rdr
02
r2



0
r2e

分部积分
dr

re

r2
2
0
e

r22
dr
22
11.将n只球放入M只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能性的，求有球的盒子数



的数学期望。
MM
1第i只盒中有球
解：设i则i,EEi
i1i10第i只盒中无球
(M1n1n
(1P{i0}n
MM
(M1n1n
P{i1}1P{i0}11(1
MMn
Ei1P{i1}1(1E
1n
M
E
i1
M
i
M[1(1
1n]M
12.将n只球(1~n号随机地放进n只盒子(1~n号中去，一只盒子装一只球，将一只球
装入和球同号码的盒子中，称为一个配对，记为配对的个数，求E(。
n
1第i只球投入第i只盒中
解：设ii,
反之i10
P(i1
n
1n111i1,2,nEi01nnnn
1
1n
EEinEin
i1
习题4.3（P159）
1.设离散型随机变量的分布律如表所示xipi
52340.40.30.10.2
求方差和均方差。
解:E50.420.330.140.20.3E
2
250.440.390.1160.215.3
2
2
DE(E15.21
D3.9



2.随机变量服从几何分布，其分布律为：
P(kpqk1,0p1,pq1,k1,2,
求D(。解:E
kpq
k1
2

k1
pkq
k1k1

k1
q1
p(qkp(
1qpk1
k1

E
2
kpq
k1
p[k(k1q
k1

kq
k1

k1
]pq(qk
k1

1
p
pq[
1121q1
]pq223
pp(1q(1qp
2
DE(E
2
qp2
3.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过
1。4
111(p2424
解:设~B(1,pDpqp(1ppp2
4.已知随机变量~B(n,p，且E(3.5,D(1.05，求P(2。解:Enp3.5Dnpq3.5q1.05q0.3,p0.7,n5
~B(5,0.7P(21P(21P(0P(1
514
10.3C50.70.30.96922
5.随机变量的分布函数为
a3
F(x1x3
0
求E(,D(。
xaxa
3a3
解:f(xF(xx4
0
E

2
3
xaE3adx3a
ax3
2xa


a
3a332222
dx3aDE(Eax24


6.设随机变量服从指数分布，其概率密度为
ex
f(x
0
其中0为常数，求D(。解:E
x0
x0


0
xe
x分部积分
dx

1

1
E
2
xe
0

2
x两次分部积分
dx

2
2

DE2(E2

2

7.设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为
xx2
2
f(x2e
0
2
x0x0
其中0为常数，求E(,D(。

解:E

x
2
0


e2

x222
dx

0
xde

x222
分部积分


0
e

x222
x
dx

t
2
2
E
2
x
3
0

e2

x222
分部积分
dx

22
DE2(E2
42
2
8.设二维随机变量(,在区域G:x0,y0,xy1上服从均匀分布，求
E(,E(，D(，D(。
解:
1
y1x

f(x,y
E2
2(x,yG
其它
2x2dy
0
1x0
E

1
0
dx
1x
0
11
2xdy同理E
33

1
0
dx
11
同理E266



DD
1116918
2
9.设随机变量,相互独立，且E(E(0，D(D(1求E{(}。解:由DXEX
2
(EX2E{(2}D(E(2
2
DD(EE210.设随机变量1,2,,n相互独立，都服从参数为的泊松分布，
(11i,求E(1，D(1。
i1
n
(22n1，求E(2，D(2。
解:(1E(1n,D(1n(2E(2n,D(2n211.某射手每次射击结果可表示为随机变量
1射中X，且已知P(X10.6,
0未射中
现独立地射击三次，记随机变量Y为三次中射中的次数，（1）若Z3Y，求E(Z,D(Z；
（2）若记S为射击9次射中的总次数，求E(S,D(S。
解:EX1P(X10P(X00.6EX20.6DX0.24YP
00.43
1
2
3
1C30.420.6C320.40.620.63
Y~B(3,0.6EY30.61.8DY30.60.40.72
(1EZ3EY5.4DZ9DY6.48
(2ES9EX5.4DS9DX2.16
12.设在同一组条件下独立地对某物的长度a进行了n次测量。又设要进行的第k次测量的结果为k，它是随机变量且所有的k((k1,2,,n服从N(a,。试计算n次测量结
2



1n
果的平均长度k的数学期望和方差。
nk11n1n1
解:E(kEk(naa
nk1nk1n
1n1
D(k2
nk1n122
Dk2nnnk1
n
13.A袋中有球3只，编号为1,3,5。B袋中有球5只，编号为2,4,6,8,10。甲从A袋中有放回地摸球三次，乙从B袋中有放回地摸球二次。求五次摸球中所摸到的球的号码之和的数学期望和方差。
解:设~A袋中摸球3次号码之和P
3
5
7
9
11
13
15

1
27

327

672727

63
2727

1
27
E9D8
~B袋中摸球3次号码之和468
P

10
12
14
16
18
20
1
25

225

325425525425325225125
E12D16
EEE21DDD24
14.已知随机变量,相互独立，且它们的分布律分别如表所示
xi
P(xi
1010.20.70.11010.10.70.2
2
2
yj
P(yj
若，求E(,D(。


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/83748f4c340cba1aa8114431b90d6c85ec3a88ce.html

《(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版).doc》
将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印
推荐度：
点击下载文档

文档为doc格式
相
关
案
例

相关推荐

推荐内容

通用版(2) 国家电网特高压交流试验示范工程功勋个人名单 2021年浙江省高考语文试卷(含答案) 江湖遍地是奇葩经典语录 中国共产党- 描写恐怖的词语- 党代会代表误工费是否会发放？ 中学60周年校庆文艺汇演主持词 小学三年级语文下册总复习——近义词和反义词- 研究七：脆皮乳鸽-
网站内容来自网络，如有侵权请联系我们，立即删除！ Copyright © 范文写作网京ICP备16605803号