数模论文：最佳阵容

数学模型论文：

最佳阵容问题

组员：08数本一班

朱春秋（2008031104）

杨 苗（2008031111）

林英勇（2008031119）

最佳阵容问题

摘要

在当今这个更注重团体比赛的时代，对团队出场阵容的安排是团队获胜的一个非常重要因素。根据参赛项目选拔人数和参赛选手成绩等诸多限制因素建立约束条件；根据题目问题可建立目标函数，在此基础上得到模型。所以从本质上说，最佳阵容问题属于0-1规划问题。最后运用Lingo数学软件对模型求解得到最优结果。

问题一：运用Excel软件，处理得出每个队员各单项得分最低情况（表1.1）和期望值情况（表1.3）。在这些情况下，用Lingo数学软件对模型求解，找出相应的最佳阵容，求得每个选手的各单项得分按最悲观估算，最佳出场阵容团队得分为212.3；每个选手的各单项得分按最均值估算，最佳出场阵容团队得分为224.7。

问题二：在模型中加入一个变量后，计算结果复杂.根据问题一的结果，知道可以从每个选手各个单项得分最大分值着手，算得该前提下团队总分最大分值为236.5，所以选取236.2、236.3、236.4、236.5四个分值讨论.在模型的基础上加入总分分别等于这四个分值的约束条件，运用Lingo数学软件求出最佳阵容，分析知阵容八（表2.10）的分值最高且得分概率最大并得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解。

关键词：最佳阵容、0-1规划、Lingo数学软件、最优解

一 问题重述

有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为： 10 ； 9.9 ； 9.8 ； … ； 0.1 ；0 。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有 4 人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。

现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如： 8.4 ～ 0.15 表示取得 8.4 分的概率为 0.15 ）。试解答以下问题（运动员各项目得分及概率分布见附表）：

附表（表1）：运动员各项目得分及概率分布表

1 、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。

2 、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有 90 ％的把握战胜怎样水平的对手？

二、 问题分析

本论文所讨论的是一个关于最佳阵容的问题。最佳阵容问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题。本案例的主要矛盾是队员已有成绩的限制和参赛时的要求与获得团队参赛最高分的矛盾。对本案例处理的难点是参赛时的要求，参赛队员的4个成绩稳定值与相应概率的限制等诸多因素，针对各目标问题分别建立模型。

按照上述思路提出目标函数，要建立各个约束条件，要找到众多变量之间的数量关系。因而，对约束条件和问题做出分析都是解决问题的关键。由于队员的安排不可能为小数，所以最佳阵容问题属于整数规划中的0-1规划问题。

首先对问题所给条件进行分析。此比赛共有4个项目，每个参赛队至多有10名运动员参赛，也就是说参赛人数，同时每个项目可以有6名选手参加，由于每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者，所以每个队的教练在每个项目中都会派出6名运动员参赛。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类中的一类；每个队应有4人参加全能比赛，也就是说每个队有且仅有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。由题中还可知道每项各选手的评分精确到小数点后一位。

再对问题进行分析。第一问（1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，这个最悲观就是在每个参赛选手各单项最差的成绩下进行计算.第一问（2）每个选手的各单项得分按均值估算即按每个参赛选手各单项得分的期望值作为所要求的数据进行计算。第二问（1）本次夺冠的团体总分估计不少于236.2分，为了夺冠应为该队排出怎样的阵容，这里我们可理解为在该队团体总分不少于236.2的情况下，为该队排出一个阵容，使该队的夺冠概率最大。第二问（2）中的夺冠前景即指夺冠的概率。第二问（3）得分前景即该阵容各选手得分的期望值的总分。第二问（3）就是在求该阵容有90%的把握战胜多少总分数的对手。

三、模型基本假设

1.假设每位参赛选手在比赛时技能水平发挥正常，不会出现感冒，胃病，比赛中途扭伤，怯场，临时退出等现象；

2.假设运动员在比赛中能正常发挥水平，不受天气、时间等因素影响；

3.假设每个项目有6名选手参加，有4名选手参加全能比赛；

4.项目分为全能比赛（四项全参加）和单项比赛（至多只能参加三项单项）两类且每个运动员只能参加其中一类；

四、符号说明

五、模型的建立和求解

5.1问题一的模型建立和求解

给出了不同的得分计算标准要我们求出团体总分最高时的阵容，因此我们给出了一个0—1阵容模型A如下：

A=

其中

由模型假设3、4可以给出阵容矩阵A要满足的两个约束条件：

1) 对于行：由假设可知，A必须存在这样的4行，在这4行中的都为1，而除这4行外的其余6行中每行都至少存在一个为0；

2) 对于列：由假设可知每一列必须存在6个为1。

因为团体总分是参与了的队员各项得分的总和，因此我们给出了得分矩阵B如下：

B=

其中表示i号队员参加j项目所得的分。

因为参加全能比赛的选手占用了名额，因此我们还要建立一个参加全能的选手矩阵C：

C=

其中，

且C的约束条件为：

=4

因此团体总分Q就是参加全能比赛的选手的得分和参加单项比赛选手的得分，

即 ，

（前一项求和是参加全能比赛选手的得分，后一项求和是参加单项选手的得分）

5.1.1问题一(1)的模型建立和求解

对问题一（1）要求每个队员的各单项得分按最悲观估算的前提下，根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况。首先把表1经Excel软件处理得出每个队员各单项得分最低情况下的表1.1。

最悲观估算（得分最低的情况下）数据表(表1.1)

则可得得分矩阵B：

B=

综上，这个问题的目标为可以写作：

Max

约束条件： =6，

=，

=4，

，

或1 （j=1,2,3,4;i=1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10）

将此模型输入LINGO编程（程序见附表程序1）得出在每个选手的各单项得分最悲观情况下的团体总分Q最高为212.3分，此时的最佳阵容A为

A=

即表示队员2，5，6，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目4（自由体操）的比赛，队员4参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）的比赛，队员8参加了项目2（平衡木）的比赛，队员10参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛。以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分按得分最低的分值估算的前提下总分最高，总分是：212.3分。

5.1.2 问题一（2）模型的建立与求解

对问题一（2）要求在每个队员的各单项得分按均值估算的前提下，这里我们把均值理解为期望值。首先用Excel软件对表1进行处理得出每个队员各单项得分的期望值情况下的表1.3。

均值（期望值）估算数据表(表1.3)

则可得得分矩阵B：

B=

综上，这个问题的目标为可以写作：

Max

约束条件： =6，

=，

=4，

，

或1（j=1,2,3,4;i=1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10）

将此模型输入LINGO编程（程序附表程序2）得出在每个选手的各单项得分均值情况下的团体总分Q最高224.7分，此时的最佳阵容A为：

A=

即表示队员2，8，9，10参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目4（自由体操）的比赛，队员4参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员5参加了项目2（平衡木）和项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）的比赛.以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分按得分均值估算的前提下总分最高，总分是：224.7分。

5.2问题二的模型建立和求解

5.2.1问题二（1）的分析与求解

为了解决问题二，需在问题一的模型中加入一个变量，但这样计算变得非常复杂。所以我们采用下一种解法。

根据第一题的结果，可以看出，当每个选手各单项得分取期望值进行计算时，最大值才224.7，跟236.2相差的距离还很远，所以对数据进行了处理，按每个选手各单项得分最大的分值进行计算，得出在此前提下团体总分最大分值，然后再在236.2分和最大值中分段进行讨论，找出在不同总分值下的阵容，将这些阵容中各参赛选手的得分和概率分布图画出，再根据这些图得出在此前提下夺冠前景最大的阵容。首先把表1 经Excel软件处理得出每个选手各单项得分最高情况下的表2.1.

得分最高的情况表(表2.1)

因此我们先将目标函数设为在得分最乐观下得分最高的阵容，得分矩阵为：

B=

约束条件与第一问相同，计算可得此时团体最高得分Q为236.5分，此得分下的阵容矩阵A为：

A=

此为夺冠的第一种情况；

因此在得分最乐观的情况下，要夺冠的分值的取值范围为：236.2≤Q≤236.5。

得出团体总分最大的分值后，因为每项各选手的评分精确到小数点后一位。所以我们就在236.2~236.5之间分别取236.2，236.3，236.4，236.5这四个数值讨论，

然后在上述模型中的约束条件加一条为： =236.4（程序见附表程序三），也就是要求团体总分为236.4时的阵容矩阵A为：

A= A= A=

此为第二种情况；

以次类推，加上约束条件=236.3得到阵容矩阵A为：

A= A=

此为第三种情况。

加上约束条件=236.2，得到阵容矩阵A为：

A= A=

此为第四种情况。

总结分析： 团体总分大于等于236.2的共有8个阵容。

1、阵容一

阵容一概率分布图 1

2、阵容二

阵容二概率分布图2

3、阵容三

阵容三概率分布图3

4、阵容四

阵容四概率分布图4

5、阵容五

阵容五概率分布图5

6、阵容六

阵容六概率分布图6

7、 阵容七

阵容七概率分布图7

8、阵容八

阵容八概率分布图8

分析上列阵容的得分和概率分布情况可知，阵容八的分值最高且得分概率最大，所以阵容八为最佳阵容。该队为了夺冠应排出的阵容就是阵容八。

5.2.2 问题二（2）的分析与求解

分析阵容八的图表，可得出有：

得分概率为0.1的几率：（13/24）*100%=54%；

得分概率为0.2的几率：（8/24）*100%=33%；

得分概率为0.3的几率：（2/24）*100%=8%；

得分概率为0.4的几率：（1/24）*100%=4%.

所以其夺冠前景为：54%*0.1+33%*0.2+8%*0.3+4%*0.4=16%

5.2.3 问题二（3）的分析与求解

要得出阵容八的得分前景即参赛选手各单项得分期望值的总分。首先把阵容八的参赛选手各单项得分的期望值算出。经Excel软件处理得出参赛选手各单项得分按期望值估算下的总分。（见表2.11）

阵容八的期望得分表（表2.11）

由表中便可看出各参赛选手的期望值和该阵容的得分前景即：222.5分。

5.2.4 问题二（4）的分析与求解

根据附表，算出该阵容在每个参赛选手各单项得分最低时的总分，显然的总该阵容有100%的把握得到的分数。然后再用该分数除以90%即得出该阵容有90%的把握战胜的分数。

首先把该阵容参赛选手各单项得分按最低得分估算时的总分算出。经Excel软件处理得出参赛选手各单项得分按最低分估算下的总分。（见表2.12）

阵容八最低得分表（表2.12）

从表中可看出参赛选手各单项得分按最低分估算时的总分208.7，则该阵容有90%的把握战胜总分为208.7/90%=231.9的对手。

六、模型的评价与推广

6.1 模型的评价

6.1.1 模型的优点

（1）模型原理简单明了，容易理解和灵活运用。

（2）所得结果直观，易于理解和接受。

（3）此模型得到不同要求下的最佳阵容，能够很快地解决了所提出的问题。

6.1.2 模型的不足

在建立模型过程中，仅从队员自身因素考虑，而忽略了实际中外界的影响，具有一定的局限性，从而可能与实际情况存在一定的偏差。因为平时教练所测得每位运动员每单项的结果并不一定只有表中所给的四组数，即我们按该值进行计算最后得出的结果可能存在误差。在实际比赛中也可能由于裁判的不公平、不公正以及各个项目的评分规则存在不公平、不公正和不完善也会引起偏差。

6.2 模型的推广

本模型可推广到其他团队比赛选队员及资源分配等问题上，如美国职业篮球赛NBA上场队员选拔，NBA赛季最佳阵容等比赛和企业内部的管理与资源的调配等优化问题。

参考文献

[1] 吴建国.数学模型案例精编[M]. 北京:中国水利水电出版社,2005

[2] 杨启帆,何勇,谈之奕.数学建模竞赛——浙江大学学生获奖论文点评[M]. 杭州:浙江大学出版社,2005.5

[3]陈青，吴祥，韩永国.最佳阵容问题，www.doc88.com,2011.5.20

[4]谢妮.最佳阵容问题，www.docin.com,2011.5.20

[5] 梁国业,廖建平.数学建模[M]. 北京:冶金工业出版社,2004

[6] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社,2004

附表（lingo程序）：

程序1：

model:

sets:

i/i1….i10/; j/j1….j10/;

links(i,j):b,c,a

endsets

max=@sum(links(i,j):b(i,j)*c(i)+@sum(links:(i,j):b(i,j)*(1-c(i)*a(i,j))

@for(@sumc(i))=4;

@for(c(i)=a(i,1)*a(i,2)*a(i,3)*a(i,4));

@for((1-c(i))*@suma(i,j))<=3;

@for(a(i,j)=0,1);

max=8.4*c1+8.4*c1+9.1*c1+8.7*c1+9.3*c2+8.4*c2+8.4*c2+8.9*c2+8.4*c3+8.1*c3+8.4*c3+9.5*c3+8.1*c4+8.7*c4+9.0*c4+8.4*c4+8.4*c5+9.0*c5+8.3*c5+9.4*c5+9.4*c6+8.7*c6+8.5*c6+8.4*c6+9.5*c7+8.4*c7+8.3*c7+8.4*c7+8.4*c8+8.8*c8+8.7*c8+8.2*c8+8.4*c9+8.4*c9+8.4*c9+9.3*c9+9.0*c10+8.1*c10+8.2*c10+9.1*c10+8.4*(1-c1)*a11+8.4*(1-c1)*a12+9.1*(1-c1)*a13+8.7*(1-c1)*a14+9.3*(1-c2)*a21+8.4*(1-c2)*a22+8.4*(1-c2)*a23+8.9*(1-c2)*a24+8.4*(1-c3)*a31+8.1*(1-c3)*a32+8.4*(1-c3)*a33+9.5*(1-c3)*a34+8.1*(1-c4)*a41+8.7*(1-c4)*a42+9.0*(1-c4)*a43+8.4*(1-c4)*a44+8.4*(1-c5)*a51+9.0*(1-c5)*a52+8.3*(1-c5)*a53+9.4*(1-c5)*a54+9.4*(1-c6)*a61+8.7*(1-c6)*a62+8.5*(1-c6)*a63+8.4*(1-c6)*a64+9.5*(1-c7)*a71+8.4*(1-c7)*a72+8.3*(1-c7)*a73+8.4*(1-c7)*a74+8.4*(1-c8)*a81+8.8*(1-c8)*a82+8.7*(1-c8)*a83+8.2*(1-c8)*a84+8.4*(1-c9)*a91+8.4*(1-c9)*a92+8.4*(1-c9)*a93+9.3*(1-c9)*a94+9.0*(1-c10)*a101+8.1*(1-c10)*a102+8.2*(1-c10)*a103+9.1*(1-c10)*a104;

a11+a21+a31+a41+a51+a61+a71+a81+a91+a101=6;

a12+a22+a32+a42+a52+a62+a72+a82+a92+a102=6;

a13+a23+a33+a43+a53+a63+a73+a83+a93+a103=6;

a14+a24+a34+a44+a54+a64+a74+a84+a94+a104=6;

c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10=4;

c1=a11*a12*a13*a14;

c2=a21*a22*a23*a24;

c3=a31*a32*a33*a34;

c4=a41*a42*a43*a44;

c5=a51*a52*a53*a54;

c6=a61*a62*a63*a64;

c7=a71*a72*a73*a74;

c8=a81*a82*a83*a84;

c9=a91*a92*a93*a94;

c10=a101*a102*a103*a104;

@bin(a11);@bin(a12);@bin(a13);@bin(a14);@bin(a21);@bin(a22);@bin(a23);@bin(a24);

@bin(a31);@bin(a32);@bin(a33);@bin(a34);@bin(a41);@bin(a42);@bin(a43);@bin(a44);

@bin(a51);@bin(a52);@bin(a53);@bin(a54);@bin(a61);@bin(a62);@bin(a63);@bin(a64);

@bin(a71);@bin(a72);@bin(a73);@bin(a74);@bin(a81);@bin(a82);@bin(a83);@bin(a84);

@bin(a91);@bin(a92);@bin(a93);@bin(a94);@bin(a101);@bin(a102);@bin(a103);

@bin(a104);@bin(c1);@bin(c2);@bin(c3);@bin(c4);@bin(c5);@bin(c6);@bin(c7);@bin(c8);@bin(c9);@bin(c10);

程序2：

max=9.0*c1+9.0*c1+9.5*c1+9.1*c1+9.6*c2+9.0*c2+9.0*c2+9.3*c2+9.0*c3+9.1*c3+9.0*c3+9.8*c3+9.1*c4+9.1*c4+9.5*c4+9.0*c4+9.0*c5+9.4*c5+8.9*c5+9.7*c5+9.7*c6+9.1*c6+8.9*c6+9.0*c6+9.8*c7+9.0*c7+8.9*c7+9.2*c7+9.0*c8+9.8*c8+9.1*c8+9.3*c8+9.0*c9+9.2*c9+9.0*c9+9.7*c9+9.4*c10+9.1*c10+9.2*c10+9.5*c10+9.0*(1-c1)*a11+9.0*(1-c1)*a12+9.5*(1-c1)*a13+9.1*(1-c1)*a14+9.6*(1-c2)*a21+9.0*(1-c2)*a22+9.0*(1-c2)*a23+9.5*(1-c2)*a24+9.0*(1-c3)*a31+9.1*(1-c3)*a32+9.0*(1-c3)*a33+9.8*(1-c3)*a34+9.1*(1-c4)*a41+9.1*(1-c4)*a42+9.5*(1-c4)*a43+9.0*(1-c4)*a44+9.0*(1-c5)*a51+9.4*(1-c5)*a52+8.9*(1-c5)*a53+9.7*(1-c5)*a54+9.7*(1-c6)*a61+9.1*(1-c6)*a62+8.9*(1-c6)*a63+9.0*(1-c6)*a64+9.8*(1-c7)*a71+9.0*(1-c7)*a72+8.9*(1-c7)*a73+9.2*(1-c7)*a74+9.0*(1-c8)*a81+9.8*(1-c8)*a82+9.1*(1-c8)*a83+9.3*(1-c8)*a84+9.0*(1-c9)*a91+9.2*(1-c9)*a92+9.0*(1-c9)*a93+9.7*(1-c9)*a94+9.4*(1-c10)*a101+9.1*(1-c10)*a102+9.2*(1-c10)*a103+9.5*(1-c10)*a104;

a11+a21+a31+a41+a51+a61+a71+a81+a91+a101=6;

a12+a22+a32+a42+a52+a62+a72+a82+a92+a102=6;

a13+a23+a33+a43+a53+a63+a73+a83+a93+a103=6;

a14+a24+a34+a44+a54+a64+a74+a84+a94+a104=6;

c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10=4;

c1=a11*a12*a13*a14;

c2=a21*a22*a23*a24;

c3=a31*a32*a33*a34;

c4=a41*a42*a43*a44;

c5=a51*a52*a53*a54;

c6=a61*a62*a63*a64;

c7=a71*a72*a73*a74;

c8=a81*a82*a83*a84;

c9=a91*a92*a93*a94;

c10=a101*a102*a103*a104;

@bin(a11);@bin(a12);@bin(a13);@bin(a14);@bin(a21);@bin(a22);@bin(a23);@bin(a24);

@bin(a31);@bin(a32);@bin(a33);@bin(a34);@bin(a41);@bin(a42);@bin(a43);@bin(a44);

@bin(a51);@bin(a52);@bin(a53);@bin(a54);@bin(a61);@bin(a62);@bin(a63);@bin(a64);

@bin(a71);@bin(a72);@bin(a73);@bin(a74);@bin(a81);@bin(a82);@bin(a83);@bin(a84);

@bin(a91);@bin(a92);@bin(a93);@bin(a94);@bin(a101);@bin(a102);@bin(a103);

@bin(a104);@bin(c1);@bin(c2);@bin(c3);@bin(c4);@bin(c5);@bin(c6);@bin(c7);@bin(c8);

@bin(c9);@bin(c10);

程序3：

max=9.4*c1+10*c1+9.8*c1+9.9*c1+9.8*c2+9.4*c2+10*c2+9.6*c2+10*c3+9.5*c3+9.4*c3+10*c3+9.5*c4+9.9*c4+9.7*c4+10*c4+9.4*c5+9.7*c5+9.3*c5+9.9*c5+9.9*c6+9.9*c6+9.1*c6+9.4*c6+10*c7+10*c7+9.3*c7+9.8*c7+10*c8+10*c8+9.9*c8+9.8*c8+9.4*c9+9.8*c9+10*c9+9.9*c9+9.7*c10+9.5*c10+9.6*c10+9.8*c10+9.4*(1-c1)*a11+10*(1-c1)*a12+9.8*(1-c1)*a13+9.9*(1-c1)*a14+9.8*(1-c2)*a21+9.4*(1-c2)*a22+10*(1-c2)*a23+9.6*(1-c2)*a24+10*(1-c3)*a31+9.5*(1-c3)*a32+9.4*(1-c3)*a33+10*(1-c3)*a34+9.5*(1-c4)*a41+9.9*(1-c4)*a42+9.7*(1-c4)*a43+10*(1-c4)*a44+9.4*(1-c5)*a51+9.7*(1-c5)*a52+9.3*(1-c5)*a53+9.9*(1-c5)*a54+9.9*(1-c6)*a61+9.9*(1-c6)*a62+9.1*(1-c6)*a63+9.4*(1-c6)*a64+10*(1-c7)*a71+10*(1-c7)*a72+9.3*(1-c7)*a73+9.8*(1-c7)*a74+10*(1-c8)*a81+10*(1-c8)*a82+9.9*(1-c8)*a83+9.8*(1-c8)*a84+9.4*(1-c9)*a91+9.8*(1-c9)*a92+10*(1-c9)*a93+9.9*(1-c9)*a94+9.7*(1-c10)*a101+9.5*(1-c10)*a102+9.6*(1-c10)*a103+9.8*(1-c10)*a104;

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c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10=4;

c1=a11*a12*a13*a14;

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c3=a31*a32*a33*a34;

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c10=a101*a102*a103*a104;

@bin(a11);@bin(a12);@bin(a13);@bin(a14);@bin(a21);@bin(a22);@bin(a23);@bin(a24);

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@bin(c9);@bin(c10);

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/835d2676f46527d3240ce0b0.html