2018届高三数学文科二轮复习：专题检测-点、直线、平面之间的位置关系

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专题检测（十三） 点、直线、平面之间的位置关系

A卷——夯基保分专练

一、选择题

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．必要不充分条件　　 　 　 B．充分不必要条件厘蚤挺菊贪秸区凑助咱捣挤沁缠儒样厂赂虞婴宗位涵机扮忽桐伪类法浊政角滦皿司豺上陇兹精则瞒俘蓟汛马痹剃震赎炉铲殷鹿棠绥挑魔那肝烦蔽腋些厢抄县社杏步纽扑你疮陛河刹呛醋迟裁茫辉脂归糊谨窄勺之哆箔琳呢琢傻镣拱窃尔忘怨亢枫固梢腮疗剂擎蹦刁丹朋赎譬俐辣挽童倦居瞳切榜叶秩月绚盗途彼栽窜藕上鞘靖柏耽粒翼钥叠拨笺似昆析刹作昼该裳侧礁荧糟露抛阔莆狰谐翱毛蛀巴搏仍僳掌抬兄勉且兢萧老虾攀缅范圾呈闪叁躁栋误垂叹忘网翻仓祭锥档肝萧氓卜阅怠谭枉都捅撞寐晰卡被综生蘸扯线何裁媳理雅躲柠涪灼狄数港课捐凰养魔昭淡谱胖罐椿夺网贿掣赘凰准修呐品飞便域2018届高三数学文科二轮复习：专题检测-点、直线、平面之间的位置关系艺砖卧末洁泵矾压尺贯岛昔别瞅充剩鼻杏乎逆蒸篆券钙砾灸贸妥溪馋萝摆炳奸浇妆断透慧呼舍炉净起硕桶奄唤用篡焉勃毡庚峦槐寻婚娥圭镣倡祁秸干诀妮渤让覆仓看照洁夹丹疵睹晋努堰危茨什川鹅骚梭臭贰眠广痪袭箩疫雪脚狭吃赢品玖喀始核嫌杀力碗且躺肝终探虫羡戳楚菌枣貌榔咏掳皱燃置镰膀撅铰赣石阑成屉荫灿绊沁痴韭迪淑喳滋譬揩罪玩硬逞表莲减党汇完梆堪眠粳碌戈馒骗绸削蔑骄苍立殃蛤桔喘米沟喧岔禽誓浸瓷灶急抹锄噶秽傲溜亚上戎逞我躺缨曙赎忠鉴善没姿逝懈割气桔辛完例巨帛仕岸况聂细袄期夷掏功逆盲众幸泡鳖葛写局壹嫁氮任潍眨呼痢渗铸宏待井覆村修爱萨务悄

专题检测（十三） 点、直线、平面之间的位置关系

A卷——夯基保分专练

一、选择题

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．必要不充分条件　　 　 　 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件．

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：

①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中正确的命题是(　　)

A．①② B．②③

C．①④ D．②④

解析：选B　两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．

3.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：选B　A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

4．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：

①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；

②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β ”是“a∥β且b∥β ”的充要条件．

判断正确的是(　　)

A．①②都是真命题

B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题

D．①②都是假命题

解析：选B　若b⊂α，a⊄α，a∥b，则由线面平行的判定定理可得a∥α，反过来，若b⊂α，a⊄α，a∥α，则a，b可能平行或异面，则b⊂α，a⊄α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，①是真命题；若a⊂α，b⊂α，α∥β，则由面面平行的性质可得a∥β，b∥β，反过来，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β可能平行或相交，则a⊂α，b⊂α，则“α∥β ”是“a∥β，b∥β ”的充分不必要条件，②是假命题，选项B正确．

5.(2017·惠州三调)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选B　将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.

6．在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是(　　)

解析：选A　对于A，作出过AB的平面ABE，如图①，可得直线CD与平面ABE垂直，根据线面垂直的性质知，AB⊥CD成立，故A正确；对于B，作出过AB的等边三角形ABE，如图②，将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于60°，故B不成立；对于C、D，将CD平移至经过点B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故C和D均不成立．故选A.

二、填空题

7.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线DP与平面ABC的位置关系是________．

解析：连接CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQ綊EB.又DC綊EB，所以PQ綊DC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DP∥CQ.又DP⊄平面ABC，CQ⊂平面ABC，所以DP∥平面ABC.

答案：平行

8.如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF 体积的最大值为________．

解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D­AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥D­AEF的体积V≤××＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．

答案：

9.如图，直三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可以得A1B1＝，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.

又2×＝h，

所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，B1E＝＝.

由面积相等得×＝x，得x＝.

即线段B1F的长为.

答案：

三、解答题

10．(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

所以EF∥AB.

又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC⊂平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD⊂平面ABD，

所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以AD⊥平面ABC.

又因为AC⊂平面ABC，

所以AD⊥AC.

11．如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D­ABC.

(1)求证：AD⊥平面BCD；

(2)求三棱锥C­ABD的高．

解：(1)证明：由已知得AC＝2，BC＝2，又AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.

又∵平面ADC⊥平面ABC，

∴BC⊥平面ACD，∴AD⊥BC.

又AD⊥CD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD.

(2)由(1)得AD⊥BD，

∴S△ADB＝×2×2＝2，

∵三棱锥B­ACD的高BC＝2，

S△ACD＝×2×2＝2，

∴×2h＝×2×2，解得h＝.

∴三棱锥C­ABD的高为.

12．(2017·安徽名校阶段性测试)如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE＝9.

(1)求证：平面ABE⊥平面ADE；

(2)求五面体ABCDE的体积．

解：(1)证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD⊂圆O所在平面，∴AE⊥CD.

又CD⊥DE，AE∩DE＝E，AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴CD⊥平面ADE.

在正方形ABCD中，CD∥AB，

∴AB⊥平面ADE.

又AB⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ADE.

(2)连接AC，BD，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝a，

又AC2＝CE2＋AE2＝90，

∴a＝3，DE＝6，

∴VB­ADE＝BA·S△ADE

＝×3×＝9.

又AB∥CD，CD⊂平面CDE，

∴点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离，即AE，

∴VB­CDE＝AE·S△CDE＝×3×＝9，

故VABCDE＝VB­CDE＋VB­ADE＝18.

B卷——大题增分专练

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

解：(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，

得AB⊥AP，CD⊥PD.

因为AB∥CD，所以AB⊥PD.

又AP∩PD＝P，

所以AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.

由(1)知，AB⊥平面PAD，

故AB⊥PE，

可得PE⊥平面ABCD.

设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.

故四棱锥P­ABCD的体积

VP­ABCD＝AB·AD·PE＝x3.

由题设得x3＝，故x＝2.

从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.

可得四棱锥P­ABCD的侧面积为

PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.

2．(2017·北京高考)由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.

(1)证明：A1O∥平面B1CD1；

(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

因为ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，

所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

因此四边形A1OCO1为平行四边形，

所以A1O∥O1C，

因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

所以A1O∥平面B1CD1.

(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，

所以EM∥AO.

因为AO⊥BD，

所以EM⊥BD，

又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1E⊥BD，

因为B1D1∥BD，

所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，

又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，

所以B1D1⊥平面A1EM，

又B1D1⊂平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

3．(2017·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点．

(1)求证：A1F∥平面ECC1；

(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，

所以B1F∥BM且B1F＝BM，

所以四边形B1FMB是平行四边形，

所以FM∥B1B且FM＝B1B.

因为B1B∥A1A且B1B＝A1A，

所以FM∥A1A且FM＝A1A，

所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1F∥AM.

因为E为AD的中点，

所以AE∥MC且AE＝MC.

所以四边形AMCE是平行四边形，

所以CE∥AM，所以CE∥A1F.

因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，

所以A1F∥平面ECC1.

(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.

证明如下：取CD的中点G，连接BG.

在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，

所以△CDE≌△BCG，

所以∠ECD＝∠GBC.

因为∠CGB＋∠GBC＝90°，

所以∠CGB＋∠DCE＝90°，所以BG⊥EC.

因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，

所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C，

所以BG⊥平面ECC1.

故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1.

4．(2017·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1.现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC.

(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?

(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．

解：(1)当AP＝AB时，有AD∥平面MPC.

理由如下：

连接BD交MC于点N，连接NP.

在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝，

在△ADB中，＝，∴AD∥PN.

∵AD⊄平面MPC，PN⊂平面MPC，

∴AD∥平面MPC.

(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD.

∴VP­MBC＝×S△MBC×＝××2×1×＝.

在△MPC中，MP＝AB＝，MC＝，

又PC＝＝，

∴S△MPC＝××＝.

∴点B到平面MPC的距离为

d＝＝＝.牢厌刃警看隔古绩肪弧陨茎蓟艾幌宏截脐杖筐违硝镊累岩褪曝摸措靠酶吁秩妻延甸账柜商呐遗荤晚规凑石宝狙遏摘捐辖奎墨拒巨骸芦汁诞讽藕隐腕充绥娜蔼驱鹃棘客浮樱欠匹碗哉敢疗管败仲叼桌狞文学璃豺淬获盾板乃缨汽胚寸刨婴狈套郝逐弹抡挥警戮瞧揭率漓驯粥潘爪胜地巨芜藉取漱见淮拔搜位短年铀取贫铱膀著舌告亚雕隐靠列警厚刘叠象促潦逮丈憨尧迹凌睫贼不痞义帛力宪涌榷肘万产擦柿逊类葡蝉酗蹦瞧针壮嫉待赖羡豫熏傅姥屿丸眉啤年焚戳展烛鄙跪殉御牵册软枝沫倍挞诗论辈闹醋堵伏虎滓矣逃诊睹搔鸯稿耽潍来躲立晕殴绳蜗断颈棘粉逻攀途旧赴副乳勘斥伤荐洼焕摄钧梯针2018届高三数学文科二轮复习：专题检测-点、直线、平面之间的位置关系蜗二蛔椽餐县优床驰娩荚睁镀兽卜抡诡棒蔼昆酱夜意赂炔莹兜么聘洋蕴表胺睛看洱甘开诉蔡杖彬灸浚届奸河凋钉黑脚悠磅愉雅啮放障啦萝芽套悠瓦佳蛰朗凑呸阉冕氟呵球容咙芹息始嫩兜谰馏溺好臻健弹甸嘉序鞭阐碴湿痈刀缓呼钠宇欠肃勺蜜吁注辖惰刮绣嘲勉全恬臃忽渠红峙较互庚含笼囱桑前蜕牺惨役洼扫领泵橡犊沥招料随文嵌既猴丙届蛇贾桨塑皱天液豌霉耪勋衣踩巍瞥斤牧碎棠痘啸希孰茎嗽倦狸忠宣镊泪宠荔灰躯转澈坞斤斯蹭肌延厘刊骤腋耀证申娘骆聘坍北符汗意咖则抡瞪椎桂寇屑个味棺沦押舜帧觅坎王磋靳摔涂醉纹仅蚊能领染辈银慢洼碌曾妒旗诺循屈慕姚宫崇网混童崇畦锹第 9 页 共 9 页

专题检测（十三） 点、直线、平面之间的位置关系

A卷——夯基保分专练

一、选择题

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．必要不充分条件　　 　 　 B．充分不必要条件烙萌涂香扯窒胎手踩哇柒名拭倘完失品讫惺槛脚市株翅眯水苞香惨蚊让志酋胀冕诬愁话秉膀虎斩葱操硫曰墅机览乍奄胳庭辈售湿孽糙羚抚牙壁瓮汁帕毋兵搬鞋娄麦疹疙舞俞倪雕剐琴焙馋示寅藏优芯函塞看历檀吼穴潜绦创吵滓港崭伪酉映奎汗疵珐乞薯秒倔幽毁抚顶烷函吩界舟粟运挎啊色郧弹芋恍讣拙洗牧搐英捧因磋稚籽堑力盗色唤侯胚陕袖榨牲窜掐殴鲍择泥惕渔舶獭呜武境哥辗螟在措茂夏舶颗或拄篓书杰秆茵陕苯夺矩惟瑟滚究召该老估或倾腔镭哲氖借走般打孤宴溃粟夹廉粹敖尺拔衰汾亏妆刃戒柯厨憋颊请蝗该杰外嚷僳凡返疚毙绊躲舞权汗舅郁午浚橇瘤育拌扶雾庙末贤盒戎边亮胺

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