我认为学习概率应该有两种认识，一是要理性的理解概率的意义，二是要学以致用

我认为学习概率应该有两种认识，一是要理性的理解概率的意义，二是要学以致用。

一、概率的意义

（1）一般地，频率是随着实验者、实验次数的改变而变化的；

（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同；

（3）频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.

二、学以致用

学以致用不仅是会做“单项选择题选对正确答案的概率是多少？”的问题，还要会解决生活中的实际问题。例如：

1、在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？

这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一

计算就可以得知公司是几乎必定盈利的。

2、李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三年级的12个班（每班50人）同学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道这是一种巧合吗？

解析：本题即求50个同学中出现生日相同的机会有多大？

我们知道，任意两个人的生日相同的可能性为1/365×1/365≈0.0000075，确实非常小，那么对于一个班而言，这种可能性是不是也不大呢？

正面计算这种可能性的大小并不简单，因为要考虑可能有2个人生日相同，3个人生日相同，……有50个人生日相同的这些情况。如果我们从反而来考察，即计算找不到俩个人生日相同的可能性，就可知道最少有两个人生日相同的可能性。

对于任意2个人，他们生日不同的可能性是 （365/365）×（364/365）=365×364/3652

对于任意3个人，他们中没有生日相同的可能性是

365/365×364/365×363/365=365×364×363/3653；

类似可得，对于50个人，找不到两个生日相同的可能性是

365×364×363×…×316/36550≈0.03，因此，50个人中至少有两个人生日相同的机会达97%，这么大的可能性有点出乎意料，然而事实就是如此，高三年级的12个班级（每班50人）都有两位同学生日相同的事件发生，并非巧合。那么，50人中有3人生日相同的概率有多大？

3、深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由

解析：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为120/290约等于0.41，而它是蓝色的概率为

170/290约等于0.59.

在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的。

概率的发展史

——赌徒与概率

概率起源于生活中的赌博游戏，著名的数学家帕斯卡在公元1654年8月24是写给数学家费尔马的信中，提出一个著名的分配一笔赌注的问题：两个赌徒相约赌若干局，先赢s局就算胜，现在，一个赌徒已赢了a局（a＜s），而另一名赌徒赢了b局（b＜s），这时赌博终止了，试问赌本应如何分配。帕斯卡和费尔马从不同的理由出发，做出了正确的解答，他们的解法都被收录在惠更斯的≤论赌博中的计算≥一书中，这就是概率论最早的专著，但概率的建立和赌博发生联系应该说是偶然的，适应生产方式的发展才是必然的。17世纪的资本主义已进入兴盛时期，资本家要求对其事业的发展有预见性，因此，对自然科学就提出了要求，概率论也就应运而生了。

概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局［a < s］，而赌徒B赢b局［b < s］时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯［1629-1695］亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望［mathematical expectation］这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。

到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。

概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。

概率论发展简史

　　一、历史背景：

　　17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。

　　二、概率论的起源：

　　概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。

　　它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

　　概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：

　　甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。

　　帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，

　　乙胜，甲、乙平分赌注

　　甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

　　费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：

　　情况１２３４

　　胜者甲甲甲乙乙甲乙乙

　　前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

　　帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。

　　三、概率论在实践中曲折发展：

　　在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

　　四、概率论理论基础的建立：

　　概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

　　为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

　　五、概率论的应用：

　　20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

　　为了使大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个概率论在社会调查中应用的例子。对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法可以得到较准确的结论。举个例子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业完成后愿意回国者所占的比例。对于"完成学业后，你是否会回国"这一问题，很多人不希望透露自己的真实想法。为了得到正确的结论，我们将问题稍加调整，将"完成学业后，你是否会回国"定位问题a，另设问题b："你的年龄是奇数"。将a、b组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题a或b，并且在问卷上不标示被调查者回答的是问题a还是问题b。解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的想法。然后，运用概率论方法，我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者比例。假定有300人接受调查，结果有130个"是"。因为被调查者回答问题a、b的概率各是50%，所以将各有约150人回答a或b问题。又被调查者年龄是奇数的概率各是50%，所以150个回答b问题的人中，约有75个"是"。那么130个"是"的答案中，约有55个"是"是问题a的答案，于是我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约55/150即11/30。

　　现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。

在界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

　　概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

　　走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经，投一注的理论中奖概率如下：

　　

　　由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。

　　比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：

　　日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学四级考试为例来说明这个问题。

　　大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

　　

　　概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。

　　因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的和技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。

　　如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

　　总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。

概率统计的应用功能

一、　概率与医学的紧密结合。

例1 某家庭中有的成员患丙种遗传病（设显性基因B、隐性基因b）, 有的成员患丁种遗传病（设显性基因A、隐性基因a），如下图所示。现已查明II6不携带致病基因。问：

　　（1）丙种遗传病的致病基因位于__________染色体上；丁种遗传病的致病基因位于__________染色体上。

　　（2）写出下列两个体的基因型Ⅲ8____________、Ⅲ9____________________。

　　（3）若Ⅲ8和Ⅲ9婚配，子女中只患丙或丁一种病的概率为_____________；同时患两种遗传病的概率为_________。

　　　　　　　　　　

　　理顺解题思路

　　1 确定遗传病类型

　　1.1 首先确定显隐性，

　　方法："无中生有是隐性，有中生无是显性，其他情况先假定，逐一排除可确定"。

　　1.2 其次确定是常染色体遗传还是伴性遗传

　　在已确定是隐性遗传病的系谱中：父亲正常，女儿患病，一定是常色体遗传：母亲患病，儿子正常，一定不是伴X染色体遗传，必定是常染色体遗传在已确定是显性遗传病的系谱中：父亲患病，女儿正常，一定是常色体遗传：母亲正常，儿子患病，一定不是伴X染色体遗传，必定是常染色体遗传。由表现型正常的3和4生出8，可确定丁种病一定是常染色体隐性遗传病，由表现型正常的5和6生出9，可知丙病为隐性遗传病，题目已知II6不携带致病基因，排除常染色体遗传的可能性，则丙病为伴X遗传。

　　1． 写出相关个体基因型

　　以隐性个体为突破口，向上或向下依次推导。在此过程中，很多学生喜欢把基因型直接写在系谱上，但要注意能不写的一定不要写，避免出现视觉干扰。如：8患丁种遗传病基因型已确定是aa，则没必要写出3 、4与丁种遗传病有关基因。3为正常男性（XBY）,由7可推出4为携带者（XBXb）, 8为不患丁病的女性，则其与丁病有关的基因型为（XBXB或XBXb）概率分别1/2、1/2；9患丙病不患丁病与丙病有关基因型为XbY，由2可知5与丁病有关的基因型为（Aa），6不携带致病基因且表现型正常，其与丁病有关的基因型为（AA）则9不患丁病的基因型为（AA 或Aa）概率分别为1/2、1/2；

　　2 求概率

　　一般而言，涉及到的多种遗传病的致病基因的遗传都遵循基因自由组合定律，学生在解题时总是习惯于同时考虑多种病，这在无形中就加重了解题负担。在求概率时，应指导学生先分别求出系谱中每种病的发病率，注意遗传病与遗传病之间是相互独立的，可按按基因分离定律来做题。在求一种遗传病发病率时就不要考虑另一种遗传病，这样就实现了复杂问题简单化；如患甲病（用甲+表示）的概率为a, 如患乙病（用乙+表示）的概率为b,不患病用（-）表示。然后可按如下组合，求出其他各种情况的患病概率：

　　既患甲又患乙，即甲+乙+：概率为a*b

　　只患甲，即甲+乙-：概率为a*(1-b)

　　只患乙，即甲-乙+：概率为（1-a）*b

　　既不患甲又不患乙，即甲-乙-：概率为（1-a）*(1-b)

　　例题中患丙病的概率为1/4，患丁病的概率也为1/4，则子女中只患丙或丁一种病的概率为P（丙+丁-）+ P（丙-丁+）=（1-1/4）*1/4+（1-1/4）*1/4=3/8

　　同时患两种遗传病的概率为P(丙+丁+)=1/4*1/4=1/16

二、 概率与决策方案紧密相联系

例2、(湖北理工科第 21题)某突发事件，在不采取任何措施的情况下以生的概率为0.3,一旦发生将造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙两种预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种相互独立的预防措施可单独采用、联合采用、不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．)

分析： 本题考查概率和数学期望等概念及应用概率知识解决实际问题的能力．

解： ①不采取预防措施时，总费用即损失的期望值为 400×0.3=120万元.

②若单独采用甲，则预防措施所需的费用为 45万元，损失的期望值为400×(1-0.9）=40万元所以总费用为45+40=85万元．

③　若单独采用乙，则预防措施所需的费用为 30万元，损失的期望值为400×(1-0.85)=60万元所以总费用为30+60=90万元．

④　若联合采用甲、乙，则预防措施所需的费用为 45+30=75万元，损失的期望值为400×(1-0.85)(1-0.9)=6万元所以总费用为75+6=81万元．

综合①②③④比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施可使总费用最少．

三、利用概率知识解析生活中的现象---街头的摸棋小赌博。

例3、袋中装有10颗棋子，其中5颗白棋子，5颗黑棋子，游戏规则规定：一次从中任取5颗，若5颗子颜色全相同，则主持者付给摸棋子者5元，否则摸棋子者付给主持者0.5元.求主持者输掉5元的概率与赢得0.5元的概率.

解：设X表示主持者的赢钱数，由古典概率得，

输掉5元的概率

赢得0.5元的概率

故可认为主持者在每局中必赢无疑。这就是对在街头上常见到的堵博游戏的解释。

四、概率与信息科学相结合。

例4（2002年第19题） 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。

　　（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；

　　（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？

　　解（Ⅰ）方法1：利用分类讨论的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网”等四种情形，即。

　　方法2：利用逆向思维的思想解决.将“至少3人同时上网的概率”转化为“1减去至多2人同时上网的概率”，即

因此，至少5人同时上网的概率小于0.3。

五、概率统计与交通管理相结合。

例5、（2004重庆理18）．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）的概率的分布列及期望E;

(2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。

解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=独立.故 从而有分布列：

0 1 2 3 4

P

（II）

答：停车时最多已通过3个路口的概率为.

六、概率统计与生产加工紧密相连。

例6、（湖南文19理18）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

解析5：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

由题设条件有

由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0.

解得 （舍去）.将 分别代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是

（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为

七、概率与股市投资紧密结合。

例2、设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.

解：设A、B、C分别表示三种股票获利，依题意A、B、C相互独立，P(A)=0.8，P(B)=0.6，P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式

(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率

(2) 三种股票至少有一种股票获利的概率

计算的结果表明，投资于多支股票获利的概率大于每支股票的概率，这就是投资决策中分散风险的一种策略。

由于篇幅的限制，更多的应用举例在这里就不再介绍了，请同学们在学习过程中注意总结，值得推荐的是同学们可以考察体育彩票与福利彩票的中奖概率大小。

八、概率在考证历史中的应用。

考证《红楼梦》作者

数学思维的价值在于创意。复旦大学数学系李贤平教授关于红楼梦作者的工作一直引起我的关注。自从胡适作《红楼梦考证》以来，都认为曹雪芹作前80回，后40回为高鹗所续。《红楼梦》的作者是谁，当然由红学家来考证。但是我们是否可以用数学方法进行研究，并得出一些新的结果来？1987年，李贤平教授做了。一般认为，每个人使用某些词的习惯是特有的。于是李教授用陈大康先生对每个回目所用的47个虚字（之，其，或，亦……，呀，吗，咧，罢……；的，着，是，在，……；可，便，就，但，……，儿等）出现的次数（频率），作为《红楼梦》各个回目的数字标志，然后用数学方法进行比较分析，看看哪些回目出自同一人的手笔。最后李教授得出了许多新结果：

前80回与后40回之间有交叉。

前80回是曹雪芹据《石头记》写成，中间插入《风月宝鉴》，还有一些别的增加成分。

后40回是曹雪芹亲友将曹雪芹的草稿整理而成，宝黛故事为一人所写，贾府衰败情景当为另一人所写。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7fce156d33126edb6f1aff00bed5b9f3f80f7274.html