河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）

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河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）

A． B． C． 5 D． 25

2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）

A． B． C． 1 D． 2

3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）

A． 80种 B． 90种 C． 120种 D． 150种

4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）

A． y=2x+1 B． y=2x﹣1 C． y=﹣2x﹣3 D． y=﹣2x﹣2

5．（5分）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）

A． 26 B． 29 C． 215 D． 4096

6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）

A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条

7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）

A． f（x）在单调递减 B． f（x）在（，）单调递减

C． f（x）在（0，）单调递增 D． f（x）在（，）单调递增

8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）

广告费用x（万元） 4 2 3 5

销售额y（万元） 49 26 39 58

A． 112.1万元 B． 113.1万元 C． 111.9万元 D． 113.9万元

9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A． B．

C． D． 或

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）

A． B． C． 2 D．

11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）

A． 4 B． 6 C． 8 D． 12

12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：

①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；

②“关于函数”至少有一个零点；

③f（x）=x2是一个“关于t函数”．

其中正确结论的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 0

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．

14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．

15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．

16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．

（填入所有可能的图形前的编号）

①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④四边形 ⑤扇形 ⑥圆．

三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．

（1）求角A的大小；

（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

18．（12分）已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．

19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．

（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；

（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．

（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．

20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．

（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；

（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．

23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求+的值．

24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）

（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；

（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）

A． B． C． 5 D． 25

考点： 平面向量数量积的运算；向量的模．

专题： 平面向量及应用．

分析： 根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．

解答： 解：∵|+|=，||=

∴（+）2=2+2+2=50，

得||=5

故选C．

点评： 本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．

2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）

A． B． C． 1 D． 2

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．

解答： 解：∵z==，

∴，

则•z=﹣i•i=﹣i2=1．

故选：C．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）

A． 80种 B． 90种 C． 120种 D． 150种

考点： 排列、组合的实际应用．

专题： 应用题；排列组合．

分析： 分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．

解答： 解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，

再分配，乘以A33，即得总数150，

故选：D．

点评： 本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．

4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）

A． y=2x+1 B． y=2x﹣1 C． y=﹣2x﹣3 D． y=﹣2x﹣2

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=，

则在点（﹣1，﹣1）处切线斜率k=f′（﹣1）=2，

则对应的切线方程为y+1=2（x+1），

即y=2x+1，

故选：A．

点评： 本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．

5．（5分）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）

A． 26 B． 29 C． 215 D． 4096

考点： 导数的运算．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可

解答： 解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），

f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′，

则f'（0）=a1•a2…a8=（a1a8）4=84=4096．

故选D．

点评： 本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．

6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）

A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条

考点： 双曲线的简单性质；直线的一般式方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答： 解：由题意，a=2，b=1．

若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，

∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；

若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，

∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；

综合可得，有3条直线符合条件；

故选C．

点评： 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．

7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）

A． f（x）在单调递减 B． f（x）在（，）单调递减

C． f（x）在（0，）单调递增 D． f（x）在（，）单调递增

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．

解答： 解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，

由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，

又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．

因此，f（x）=cos2x，

若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，

若x∈（，），则2x∈（，），

该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．

故选A．

点评： 本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．

8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）

广告费用x（万元） 4 2 3 5

销售额y（万元） 49 26 39 58

A． 112.1万元 B． 113.1万元 C． 111.9万元 D． 113.9万元

考点： 线性回归方程．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．

解答： 解：∵==3.5，==43，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，

∴43=10.6×3.5+a，

∴a=5.9，

∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，

∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，

故选：C．

点评： 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．

9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A． B．

C． D． 或

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出

解答： 解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．

利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，

化为．

∴椭圆C的离心率e的取值范围是．

故选：C．

点评： 本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）

A． B． C． 2 D．

考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．

解答： 解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，

可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C

△ABC中，cosA==﹣

∵A∈（0，π），∴A=

根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1

∵球O的体积为V==，∴OA=R=

Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=

∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=

故选：B

点评： 本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．

11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）

A． 4 B． 6 C． 8 D． 12

考点： 椭圆的定义．

专题： 计算题．

分析： 由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求

解答： 解：∵正方体的棱长为1

∴

∵|PA|+|PC′|=2

∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，

∵P在正方体的棱上

∴P应是椭圆与正方体的棱的交点

结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件

故选B

点评： 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题

12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：

①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；

②“关于函数”至少有一个零点；

③f（x）=x2是一个“关于t函数”．

其中正确结论的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 0

考点： 函数恒成立问题．

专题： 新定义；函数的性质及应用．

分析： 举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．

解答： 解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；

②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f（0）=0，

若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，

由零点存在性定理知，在区间内存在零点；

若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，

∴正确结论的个数是1．

故选：A．

点评： 本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．

考点： 两点间的距离公式．

专题： 直线与圆．

分析： 根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．

解答： 解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，

∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．

再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，

可得PO=AB=m，故有m≤6，

∴AB=2m≤12．

∴AB的最大值为12．

故答案为：12．

点评： 本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．

14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，由此能求出结果．

解答： 解：如图，由抛物线的定义知：

抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，

∴当P，Q，F共线时，

P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，

∵F（1，0），Q（2，2），

∴[|PM|﹣|PQ|]max

=[|PF|﹣|PQ|]max

=|QF|

==，

故答案为：．

点评： 本题考查两线段之差的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．

考点： 二项式系数的性质．

专题： 计算题．

分析： 由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项

解答： 解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，

所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为

由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40

故答案为40

点评： 本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．

16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的②．

（填入所有可能的图形前的编号）

①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④四边形 ⑤扇形 ⑥圆．

考点： 简单空间图形的三视图．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 结合选项，正方体的体积否定俯视图可能是四边形，对俯视图可能是圆求出体积判断正误；俯视图可能是扇形求出几何体的体积判断正误；同理俯视图可能是三角形的正误作出判断即可．

解答： 解：由题意可知，

（1）当俯视图是四边形时，

即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，不合题意；

（2）当俯视图是圆时，

该几何体是圆柱，底面积是S=π×（）2=，高为1，则体积是 ，不合题意；

（3）当俯视是直角三角形时，

该几何是直三棱柱，如图，

故体积是V=×1×1×1=，这个几何体的俯视图可能是直角三角形．可排除锐角三角形和钝角三角形的情形；

（4）当俯视图是扇形时，

该几何是圆柱切割而成，其体积是V=π×12×1=，不合题意．

综上，则这个几何体的俯视图可能是直角三角形．

故答案为：②．

点评： 本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．

三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．

（1）求角A的大小；

（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

考点： 正弦定理的应用．

专题： 计算题；三角函数的求值；解三角形．

分析： （1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；

（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，

∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．

又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，

化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣

∵A∈（0，π），∴A=；

（Ⅱ）∵A=，a=1，

∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，

因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC

=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]

=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．

∵B∈（0，），得B+∈（，）

∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]

即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．

点评： 本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．

18．（12分）已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．

考点： 数列的求和．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）依题意知，{an}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{an}的通项公式；当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求Tn．

解答： 解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1﹣an=2，

∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3，

∴an=2n+1；

当n=1时，b1=S1=4；

当n≥2时，

bn=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，

对b1=4不成立．

∴数列{bn}的通项公式：bn=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，

当n≥2时，==（﹣），

∴Tn=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]

=+（﹣）

=+，

当n=1时仍成立．

∴Tn=+对任意正整数n成立．

点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．

19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．

（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；

（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．

（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．

专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．

分析： （Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；

（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；

（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．

解答： （Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．

则，

而=0．

所以B1C1⊥CE；

（Ⅱ）解：，

设平面B1CE的法向量为，

则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．

所以．

由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，

故为平面CEC1的一个法向量，

于是=．

从而==．

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．

（Ⅲ）解：，

设 0≤λ≤1，

有．

取为平面ADD1A1的一个法向量，

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，

则=

=．

于是．

解得．所以．

所以线段AM的长为．

点评： 本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．

20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析： （1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．

（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．

依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．

解得c=1，a=2．

所以=4﹣1=3．

所以椭圆C的标准方程是．

（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：

设直线l的方程为y=kx+m，

由 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．

△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

，．

若||=||成立，

即||2=||2，等价于．

所以x1x2+y1y2=0．

x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，

（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，

（1+k2）•，

化简得7m2=12+12k2．

将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，

解得．

又由7m2=12+12k2≥12，得，

从而，解得或．

所以实数m的取值范围是．

点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．

21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．

（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；

（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题： 导数的综合应用．

分析： （1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；

（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；

（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则

要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；

另一方面当a=3时，

由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．

综上所述a=3．

（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），

∴．

设，则，

∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．

∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；

当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．

∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．

（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则

∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且

又∵，

∴，且

设，则，

∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，

∴，即h（x1）﹣h（x2），

∴，

则m的最大值为．

点评： 本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．

考点： 与圆有关的比例线段．

专题： 直线与圆．

分析： 如图，延长DC，AB交于点E，由已知条件推导出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割线定理、勾股定理和三角形相似能求出对角线BD、AC的长．

解答： 解：如图，延长DC，AB交于点E，

∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，

∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，

∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，

∴EC=2BC=2×3=6，

∴EB=BC=3，

∴ED=DC+EC=5+6=11，

∵EC×ED=EB×（EB+AB）

则6×11=3×（3+AB），

解得AB=，

∴AC==，

∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，

∴△EDB∽△EAC，∴，

∴BD===7．

点评： 本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求+的值．

考点： 直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．

解答： 解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是

x﹣y+1=0，

利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为

ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴普通方程是x2+y2=2y+2x，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；

（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，

把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，

得t2﹣t﹣1=0，

∴；

∴+=+====．

点评： 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．

24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）

（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；

（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

考点： 带绝对值的函数；绝对值不等式．

专题： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或 ，或 ，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．

（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于

，，或 ，或 ．

解得：x≤0或 x≥5．

故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }． …（5分）

（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）

所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）

由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5． …（10分）

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f66cd1ed15abe23492f4da9.html