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第17章专题三勾股定理中的翻折与动点问题-2020-2021学年人教版八年级数学下册

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专题三勾股定理中的翻折与动点问题
【类型1】勾股定理中的翻折问题

1.如图，将等腰宜角三角形ABC(Z5=90°沿防折叠，使点d落边的中点旳
处，BC=8,那么线段2E的长度为__________•
B

2.如图，一张直角三角形的纸片两直角边4C=6cm,BC=8cm.现将直角边/C沿
直线・如＞折叠，使它落在斜边且2C与重合，求3的长.


3・如图，长方形纸片ABCD.折叠长方形的一边2D点D落在EC边的F处，已知曲=

CD=3cm.BC=.4D=10C7I,求EC的长.

4.已知长方形曲仞中，曲=6,BQ=8,将纸片折叠，使得点/和点C重合，折痕为EF,
如图，则£尸的长为多少？

5.如图，在RtAABC中，ZB=90°,,毎=3,BC=4,将AABC折叠，使点B恰好落在边AC±,与
点、B'重合,AE为折痕，求EB'的长.
C
【类型2】勾股定理中的动点问题

6.如图，四边形，松CD的三边（,毎、BC、CD）和的长度都为5厘米，动点P从』岀发Gt-E—D）到D速度为2厘米/秒，动点。从点D岀发到速度为2.8厘米/秒.5秒后P。相距3
厘米，试确泄5秒时△JP0的形状.


7.如图所示，已知△J5C中，ZB=9Q°,,」C=20cmP、0是/\ABC的边上
的两个动点•其中点P从点d开始沿A-B方向运动，且速度为每秒1纽?，点。从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为每秒2期，它们同时出发，设出发的时间为『根据以上信息，回答下而问题：
(1求BC的长度；
(2当r为何值时，点P在边2C的垂直平分线上？
(3当点0在边上运动时，是否存在/的值，使△BC0为等腰三角形，若存在，谙求岀r
的值：若不存在，请说明理由.
备用图2

8・已知：如图，在RtA.45C中，ZC=90°,AB=5cnhAC=3cnu动点P从点E出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.(1求EC边的长：
(2当肿为直角三角形时，求r的值;(3当肿为等腰三角形时，求r的值.



9.如图，MBC中，ZJC5=90°,AB=5an.BC=3cg若点P从点川岀发，以每秒2c加
的速度沿折线-4-C-5-J运动，设运动时间为『秒（r>0）.

（1）若点P在JC±,且满足PA=PB时，求出此时『的值:（2）若点P恰好在ZBAC的角平分线上，求,的值.
参考答案
1.解：由折叠的性质可得.1E=AIE,
为等腰直角三角形，5C=8,
=8,
•・・/l为BC的中点,•9»A[B=4t
设.1E=AIE=X,则BE=8r
在RtUBE中，由勾股泄理可得4?+(8-x2=,,解得x=5,故答案为：2.解:・.・AABC是直角三角形，AC=6cm,BC=Scm>・・・AB=y/AC2+BC2=^62
+82
=\Ocm,
•••MED是“CD翻折而成，/.AE=AC=6c/fit
设DE=CD=xcm»ZAED=90°,
/.BE=AB—AE=10—6=4cm,
在RlABDE中.BD2
=DE2
+BE\即(8-X2
=42
+X2
,解得x=3.故CD的长为3c
3・解：依题意可得：BC=.1D=AF=1O.DE=EF・
在厶血中，Z-1BF=9O°・
5.

•••BF=yjAF2-AB2=^0-8=6,
2
2
•••FC=10-6=4,
设EC=x,则EF=D£=8-x.
VZC=90°,:.EC1+FC1=EF2.
/.X+4=(8・X2,
解之得：x=3.
22
:.EC=3（沏）・
4.解:连接胚.
・••将纸片折叠，使得点A和点C重合,/.AE=CE・
・.BC=8,
・•.设=
贝ljBE=8-x.
在RtAABE中，
AB=6,BE=S-x,..AE2=AB2+BE2,
即X=36+(8-XS解得心仝・
2
4
在RtAABC中，
・.・AB=6,BC=8»
/.AC=y/AB2+BC2=V6+8=10,贝ijAO=5・
同理，在RtAAOE中，OE=JAEGCP=J申亠斗,•••防是折痕，
2
2


5.解：根据折叠可得BE=EBr,AB'=13=3,
设BE=EB=x,则EC=4・x,
f
VZB=90°,AB=39BC=4,
••在RtAABC中，由勾股立理得，AC=y/AB+BC=59
2
2
:.B1C=5-3=2,
在RtZYB'EC中，由勾股定理得，A"+2=（4-A）,解得x=1.5,故答案为:1.5.
2
2
6.解:•:AB=BD=\厘米，动点P从/出发（A-B-D）到D速度为2厘米/秒，••・5秒时P点运动路程为2X5=10（厘米），
而AB+BD=10厘米，・•・此时P与D重合.
•:AB=BC=CD=5厘米，动点O从点D出发（D-C-B-zl）到A,速度为2.8厘米/
秒，
•••5秒时0点运动路程为2.8X5=14（厘米），
而DC+CB+BA=15厘米，
.•.0在边上，且BO=4厘米，如图.
在△肿0中，•:BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米，
:.BO+PO=BP\
:仏BPQ为直角三角形，ZBOP=90°,
:.ZAOP=180°-ZBOP=9$,
为直角三角形.
22

7.解：(1vZfi=90%AB=\6cm,AC=20CVH

・・.BC=sjAC2-AB1=>/2O-16=\2(cm:
2
2
（2）・•・点P在边AC的垂直平分线上,
：PC=PA=t,PB=16-「在RtlBPC中.BC2+BP2=CP2,即12+(16-/=r
2
2

（3）存在『值，使厶鸟。。为等腰三角形.
①当CO=BO时，如答图1所示,

答图
1
则ZC=ZCBO,VZ-15C=90°,
•••ZCBO十Z45O=9(T・ZJ+ZC=90°>•*•Zzl=乙ABO、:・BQ=AQ、
••-CQ=yl0=10,:.BC+CO=22,
•••『=22+2=11秒;②当CO=BC时，如答图2所示,则BC+CQ=24,
••"=24宁2=12秒；
③当BC=BQ时，如答图3所示，过3点作BE丄AC于点E，门厂AB・BC12x16
AC20
485
・・CE=JBC2-BE?=竺，
•・.C0=2CE=14・4,
:BC+CQ=26A,・

综上所述：当/为11秒或12秒或13.2秒时，A5CQ为等腰三角形.
8.解：(1在RtAABC中，BC2=AB2-AC2=52-32
=16,J.BC=4(c7n:
(2由题意知BP=tcm>
①当ZAPB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,即r=4：②当ZJ3AP为直角时，BP=tcm,CP=(/一4cm,AC=3cm,在RtAACP中，
AP2=32+(/-42
,
在RtABAP中，AB2
+AP2
=BP2
,即：52
+[32
+(z-42
]=r,解得：心兰，
4
故当M必为直角三角形时，『=4或/=—；
4
(3①当=时，/=5；
②当=时，BP=2BC=&、m,/=8:
③当BP=AP时，AP=BP=tgCP=(4-tcm,AC=3cm.在
RtAACP中，AP2=AC2+CP2.
所以r=32
+(4-O2
»解得：2兰，
8
75
综上所述：当44必为等腰三角形时，/=5或/=8或2一.

9・解：(1设存在点P,使得Q4=P3,

此时P4=PB=2t,PC=4-2/,在RtAPCB中，PC+CB=PB\即：（4一2/）2+32=（仪）2,解得:/=—>
2
2
16
・・当（=二时，PA=PB;
16
（2）当点P在ABAC的平分线上时，如图1，过:点P作PE丄AB于点E，AP=2f,
此时BP=—2t,PE=PC=—BE=5-4=1,
{£RtABEP中，PE2+BE2=BP\
即:（2r-4）+l=（7-2/）,解得：
2
2
2
3
.••当r=-时.P在AABC的角平分线上，
3
当点P运动到点A时，也符合题意，此时r=6,综上所述，满足条件的『的值为§或6・
3

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f5d22430229bd64783e0912a216147916117e21.html

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