说题稿
龙湖中学 数学科 张芳钿
题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F。
（1）求证AE=EF。
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程，若不成立请你说明理由．
一，说题目
这道题原题来自《新人教版-八年数学下册》第十八章复习题18 第14题，也出现在2012年青海的中考题中。
特殊的平行四边形，全等三角形在中考中是热门考点，选择题，填空题，解答题中都会出现它的踪影，侧重考查学生对几何概念的理解，对几何图形特殊性质的判断与运用，考查学生的演绎推理能力与逻辑论证能力，常与直角三角形，等腰三角形，相似三角形，圆等知识点结合命题。
从考查内容上看，本题涉及面广，主要以正方形为背景知识，考查全等三角形的性质与判定定理，以及等腰三角形，直角三角形等基础知识。
从考查解题方法上看，本题主要考查全等三角形的应用，通过角与线段的迁移，寻找“桥梁”，链接已有条件与目标线段，从而解决问题。
从考查思想方法上看，本题主要考查几何中的类比思想，转化思想。
二，说思维和思路
这道题的目的是证明线段相等，要证明线段相等从途径上有直接证明即“a=b”，以及间接证明“a=c,c=b→a=b”。以初中阶段的知识点来看，证明线段相等的思路常见的有：长度数量相等；全等三角形的对应边相等；等腰三角形的等角对等腰；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离；平行四边形的对边相等及其它。下面我们来看这道题的证法：
解法一：利用全等三角形直接证明
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第一小题是特殊情形，事实上，绝大多数同学的心理倾向——直觉上来说，过点F做FM⊥CM是顺理成章的事情，作出后就会立刻发现，虽然题中保证了△ABE和△EMF中的两对对应角相等，但要证明一边相等却是很难的事，轻松心态消散全无，虽然可以利用相似三角形的知识深入研究，但难免会浪费大量时间，最后不得不放弃，另寻蹊径。
第（1）题正确解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF。
第（2）（3）小题：题目从特殊定点发展为BC及BC延长线上的点，题目变得具有“一般”性，仿照第（1）题做法作辅佐线，如图在BA上取点BM=BE，连接ME，易得AM=EC， ∠AME=∠ECF=135°，再者，∠MAE=∠FEG这个条件无论E点在BC及其延长线CG上怎么运动都会成立，所以易得三角形全等，问题解决。
解法二：利用轴对称，等腰三角形求解
要证明AE=EF，我们可以构造线段a，使其成为连接的“桥梁”即AM=a=EF。轴对称就是其中一种方法。如图，连接AC，并延长AC到M，使CM=CF，连接EM。
易证△ECF≌△ECM (SAS)，可得∠F=∠M。
由∠AEF=90°，易得∠ACF=90°，可得∠EAM=∠F
即∠M=∠EAM。故AE=EM=EF。
这种解法巧妙的利用了轴对称构造全等三角形和等腰三角形，对图形与变换的理解是支撑此解法产生的根源。
方法是可以迁移的，于是学生也可以换个方向寻找，如图所示：可延长AB、FC并交于点M，连接EM。
易证△ABE≌△MBE (SAS)，得AE=ME
只要证得∠BAE=∠FEC=∠BME,
可得∠F=45°—∠FEC=∠BMC (45°)—∠BME；
所以∠F=∠EMF;
所以ME=EF，即AE=EF。
解法三：利用图形的旋转构造全等三角形
结合图形的旋转的特性，以点E为旋转中心，若AE=EF，那么利用△FEC逆时针选转90°来构造全等三角形无疑是简捷而明快的方法，这种方法原于对图形之间关系的深刻领悟，需要学生具有深刻的观察能力，几何直觉能力和丰富的解题经验。
如图，连接AC，过点E作ME⊥BC于点E，并交AC于点M。
易得EM=EC，∠AME=∠FCE=135°，
由∠AEF=∠MEC= 90°，可得∠AEM=∠FEC
可证△AEM≌△FEC (ASA)，命题得证。
同理，我们也可以以E为旋转中心，利用△ABE顺时针旋转90°来构造全等三角形，如图：
延长AB到M，使得BM=BE，AE=MC。
易证△ABE≌△CEM (SAS)，
可得∠BAE=∠BCM，又有∠BAE=∠FEC
所以有∠BCM=∠FEC，故EF∥MC，
再者易得∠MEC =∠ECF=135°, 故EM∥FC，
所以四边形EMCF是平行四边形，即得FE=MC。
命题得证。
在“地位平等”的线段EF和AE所在的三角形中，既然可以选择旋转△FEC，那当然可以旋转△ABE，这需要学生都尝试、探索、研究，最后才能发现这么完美漂亮的解法。
三，说教法学法
在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，采用题海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思路解法的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃，提高学生思维的敏捷性和灵活性，从而提高分析与解答数学题的能力。
几何题，尤其是需要做做辅助线的几何题，很多学生在上完课后，总会忧虑这样问题：“若考试的话，我会不会想出这种方法，怎么找到突破口，解题过程我能理解，可怎么想出来的？”解题技巧解题思想不同与知识点的学习，学生的掌握需要一个知识内化的过程，问题的解决需要从“特殊”到“一般”，方法技巧可以迁移，在解题过程中帮助学生提升对知识体系的调用能力，帮助其链接知识点，构建知识面，对知识体系进行完善，而解题思想贯穿其全程。
四，说价值
可激发学习兴趣，巩固、深化所学知识，能挖掘学生潜力，培养思维能力和自己获取知识的能力。让学生在相互交流中各抒己见，互献智慧，在磨练中探索、尝试、验证，进行思想方法的沟通，以达到集思广益和突破创新的目的，能培养学生思维的深刻性、广阔性、创造性乃至批判性，开发学生的脑力资源，挖掘学生的潜在能力。最终让学生用自己的眼光观察数学问题，用自己的头脑思考、解决数学问题。
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