2018-2019学年山西省大同一中高一（上）10月月考数学试卷

2018-2019学年山西省大同一中高一（上）10月月考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）设B＝{1，2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是（　　）

A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A

2．（3分）已知函数f（x）由下表给出，则f[f（3）]等于 （　　）

A．3 B．2 C．1 D．4

3．（3分）设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a+b}，则b﹣a＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

4．（3分）设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|x＞2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N} C．{0，2} D．{1，2}

5．（3分）已知函数y＝f（x）的定义域为（1，3），则函数y＝f（2x+1）的定义域为（　　）

A．（1，3） B．（3，7） C．（0，1） D．（﹣1，1）

6．（3分）已知函数g（x）＝2x﹣1，且f[g（x）]＝x2+2x，则f（﹣1）＝（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

7．（3分）函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（　　）

A．（﹣∞，0）∪（，2] B．（﹣∞，2]

C．（﹣∞，）∪[2，+∞） D．（0，+∞）

8．（3分）已知M，N是两个集合，定义集合N*M＝{x|x＝y﹣z，y∈N，z∈M}，若M＝{0，1，2}，N＝{﹣2，﹣3}，则N*M＝（　　）

A．{2，3，4，5} B．{0，﹣1，﹣2，﹣3}

C．{1，2，3，4} D．{﹣2，﹣3，﹣4，﹣5}

9．（3分）已知定义域为R的函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5+t）＝f（5﹣t），那么下列式子一定成立的是（　　）

A．f（﹣1）＜f（9）＜f（13） B．f（13）＜f（9）＜f（﹣1）

C．f（9）＜f（﹣1）＜f（13） D．f（13）＜f（﹣1）＜f（9）

10．（3分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则关于x不等式xf（x）＜0的解集是（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，0）∪（0，2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

11．（3分）若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．31 B．7 C．3 D．1

12．（3分）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（　　）

A． B．{x|x≤1}

C． D．

二、填空题：（每题3分，共12分）

13．（3分）函数f（x）＝的单调递增区间是　 　．

14．（3分）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x+2）＝f（x）+f（2），则f（5）＝　 　．

15．（3分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＜f（a2﹣1），则实数a的取值范围是　 　．

16．（3分）若函数f（x）＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是　 　．

三、解答题

17．（8分）（1）全集U＝{2，4，﹣（a﹣3）2}，集合A＝{2，a2﹣a+2}，若∁UA＝{﹣1}，求实数a的值．

（2）已知A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．

18．（8分）如图所示，为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC，建造住宅小区公园，但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AF＝40m，AE＝60m，问如何设计才能使公园占地面积最大，求出最大面积．

19．（12分）已知函数．

（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；

（2）求g（x）＝f（x）﹣2x在[1，3]上的最大值．

20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．

（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式；

（2）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数f（x）的图象；

（3）求使f（x）＞0的实数x的取值集合．

21．（12分）设函数f（x）＝x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．

（1）用g（a）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；

（2）在（1）中，是否存在最小的整数m．使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年山西省大同一中高一（上）10月月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）设B＝{1，2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是（　　）

A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A

【分析】先写出集合B的子集，然后表示出集合A，通过比较集合B与A的元素关系，去判断各个选项．

【解答】解：因为B的子集为{1}，{2}，{1，2}，∅，

所以集合A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1，2}，∅}，

因为集合B是集合A的一个元素，

所以B∈A．

故选：D．

【点评】本题考查元素和集合之间的关系，本题由于集合A中的元素是由集合B的子集充当的，所以集合A中的元素都是集合，而不是数，这点要注意，防止出错．

2．（3分）已知函数f（x）由下表给出，则f[f（3）]等于 （　　）

A．3 B．2 C．1 D．4

【分析】先根据表格求出f（3）＝4，再由表格计算 f[f（3）]＝f（4）的值．

【解答】解：由图表可得f（3）＝4，故 f[f（3）]＝f（4）＝1，

故选：C．

【点评】本题主要考查求函数的值，属于基础题．

3．（3分）设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a+b}，则b﹣a＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】根据集合的相等求出a，b的值，从而求出b﹣a即可．

【解答】解：∵集合{1，a}＝{0，a+b}，

∴a＝0，a+b＝1，

故a＝0，b＝1，b﹣a＝1，

故选：A．

【点评】本题考查了集合的相等的定义，是一道基础题．

4．（3分）设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|x＞2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N} C．{0，2} D．{1，2}

【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁UA），然后根据集合的基本运算求解即可．

【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩（∁UA），

∵A＝{x|x2＞4，x∈N}＝{3，4，…}，B＝{0，2，3}，

∴∁UA＝{0，1，2}，

即B∩（∁UA）＝{0，2}

故选：C．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．

5．（3分）已知函数y＝f（x）的定义域为（1，3），则函数y＝f（2x+1）的定义域为（　　）

A．（1，3） B．（3，7） C．（0，1） D．（﹣1，1）

【分析】由函数y＝f（x）的定义域为（1，3），可得1＜2x+1＜3，求解x的取值范围得答案．

【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域为（1，3），

∴对y＝f（2x+1），有1＜2x+1＜3，解得0＜x＜1，

即y＝f（2x+1）的定义域为（0，1）．

故选：C．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．

6．（3分）已知函数g（x）＝2x﹣1，且f[g（x）]＝x2+2x，则f（﹣1）＝（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

【分析】推导出f（2x﹣1）＝x2+2x，从而利用f（﹣1）＝f（2×0﹣1），能求出结果．

【解答】解：∵函数g（x）＝2x﹣1，且f[g（x）]＝x2+2x，

∴f（2x﹣1）＝x2+2x，

∴f（﹣1）＝f（2×0﹣1）＝02+20＝1．

故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7．（3分）函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（　　）

A．（﹣∞，0）∪（，2] B．（﹣∞，2]

C．（﹣∞，）∪[2，+∞） D．（0，+∞）

【分析】先利用x∈（﹣∞，1）∪[2，5），求出x﹣1的取值范围，再取倒数即可 求出函数y＝的值域．

【解答】解：∵x∈（﹣∞，1）∪[2，5），

则x﹣1∈（﹣∞，0）∪[1，4）．

∴∈（﹣∞，0）∪（，2]．故函数y＝的值域为（﹣∞，0）∪（，2]

故选：A．

【点评】本题考查已知定义域求函数的值域问题．在解题过程中涉及到取倒数，须注意，同号两数取倒数原不等号反向．

8．（3分）已知M，N是两个集合，定义集合N*M＝{x|x＝y﹣z，y∈N，z∈M}，若M＝{0，1，2}，N＝{﹣2，﹣3}，则N*M＝（　　）

A．{2，3，4，5} B．{0，﹣1，﹣2，﹣3}

C．{1，2，3，4} D．{﹣2，﹣3，﹣4，﹣5}

【分析】结合集合的定义进行运算即可．

【解答】解：定义集合N*M＝{x|x＝y﹣z，y∈N，z∈M}，M＝{0，1，2}，N＝{﹣2，﹣3}，

∴N*M＝{﹣2，﹣3，﹣4，﹣5}，

故选：D．

【点评】本题是关于集合运算的创新题，具有一定的新意．要求学生对新定义的N*M有充分的理解才能正确答．

9．（3分）已知定义域为R的函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5+t）＝f（5﹣t），那么下列式子一定成立的是（　　）

A．f（﹣1）＜f（9）＜f（13） B．f（13）＜f（9）＜f（﹣1）

C．f（9）＜f（﹣1）＜f（13） D．f（13）＜f（﹣1）＜f（9）

【分析】由f（5+t）＝f（5﹣t），知函数f（x）的图象关于x＝5对称，然后利用在区间（﹣∞，5）上单调递减，可得函数在R上的单调性，从而可得函数值的大小关系．

【解答】解：∵f（5+t）＝f（5﹣t）∴函数f（x）的图象关于x＝5对称

∴f（﹣1）＝f（11），

∵函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，

∴f（x）在（5，+∞）上为单调递增．

∴f（9）＜f（11）＜f（13），

即f（9）＜f（﹣1）＜f（13）．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．

10．（3分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则关于x不等式xf（x）＜0的解集是（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，0）∪（0，2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

【分析】先根据函数为偶函数得到，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（2）＝f（﹣2）＝0，再根据函数的单调性构造不等式组解得即可．

【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（2）＝f（﹣2）＝0，

则不等式xf（x）＜0可化为：，或，

解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2），

故选：D．

【点评】本题主要考查了偶函数的性质，函数的单调性，以及不等式组的解法，属于基础题

11．（3分）若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．31 B．7 C．3 D．1

【分析】利用x∈A，则∈A，即可判断出集合A的伙伴关系集合个数．

【解答】解：集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：

{﹣1}，{，2}，{，3}，{﹣1，，2}，{﹣1，，3}，{，2，，3}，{﹣1，，2，，3}，

故选：B．

【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算性质，考查了推理能力与今年上课，属于基础题．

12．（3分）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（　　）

A． B．{x|x≤1}

C． D．

【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．

【解答】解：依题意得

所以

故选：C．

【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．

二、填空题：（每题3分，共12分）

13．（3分）函数f（x）＝的单调递增区间是　[﹣3，﹣）　．

【分析】先求定义域，再把复合函数分成二次函数和无理函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间．

【解答】解：要使函数有意义，则6﹣x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤2，故函数的定义域是[﹣3，2]，

令t＝﹣x2﹣x+6＝（x+）2+，则函数t在[﹣3，﹣）上递增，在[﹣，2]上递减，

由复合函数的单调性知函数f（x）＝的单调递增区间是[﹣3，﹣）．

故答案为：[﹣3，﹣）．

【点评】本题的考点是复合函数的单调性，先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．

14．（3分）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x+2）＝f（x）+f（2），则f（5）＝　　．

【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．

【解答】解：由f（1）＝，

对f（x+2）＝f（x）+f（2），

令x＝﹣1，

得f（1）＝f（﹣1）+f（2）．

又∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣1）＝﹣f（1）．

于是f（2）＝2f（1）＝1；

令x＝1，得f（3）＝f（1）+f（2）＝，

于是f（5）＝f（3）+f（2）＝．

故答案为：．

【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．

15．（3分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＜f（a2﹣1），则实数a的取值范围是　0＜a＜　．

【分析】根据题意，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＜f（a2﹣1），

则必有，

解可得0＜a＜；

故答案为：0＜a＜．

【点评】本题考查函数的单调性的应用，关键是利用函数的单调性分析得到（1﹣a）与（a2﹣1）的大小．

16．（3分）若函数f（x）＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是　0＜a≤3　．

【分析】首先根据函数的单调性确定a的范围，进一步利用在x＝1出函数值的大小关系确定结果．

【解答】解：函数f（x）＝在R上是单调递增函数

则：a＞0

当x＝1时，12+1≥a﹣1

解不等式得：a≤3

综上所述：0＜a≤3

故答案为：0＜a≤3

【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，分段函数在特殊位置时，函数值的大小比较．

三、解答题

17．（8分）（1）全集U＝{2，4，﹣（a﹣3）2}，集合A＝{2，a2﹣a+2}，若∁UA＝{﹣1}，求实数a的值．

（2）已知A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．

【分析】（1）由∁UA＝{﹣1}，求出a＝4或a＝2，再由补集定义能求出实数a的值．

（2）当B＝∅时，2a＞a+3，当B≠∅时，，由此能求出a的取值范围．

【解答】解：（1）∵全集U＝{2，4，﹣（a﹣3）2}，集合A＝{2，a2﹣a+2}，∁UA＝{﹣1}，

∴﹣（a﹣3）2＝﹣1，解得a＝4或a＝2，

当a＝4时，U＝{2，4，﹣1}，A＝{2，14}，不满足条件；

当a＝2时，U＝{2，4，﹣1}，A＝{2，4}，满足条件．

综上，实数a的值为2．

（2）∵A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B＝∅，

∴当B＝∅时，2a＞a+3，解得a＞3．

当B≠∅时，，

解得﹣．

综上，a的取值范围是[﹣，2]∪（3，+∞）．

【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．（8分）如图所示，为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC，建造住宅小区公园，但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AF＝40m，AE＝60m，问如何设计才能使公园占地面积最大，求出最大面积．

【分析】在EF上取一点P，作PH⊥BC，PG⊥CD，垂足分别为H、G，设PH＝x，则140≤x≤200．由三角形相似性质PG＝120+（200﹣x），求出面积转化成二次函数的问题确定函数的最大值．

【解答】解：如题图，在EF上取一点P，作PH⊥BC，PG⊥CD，垂足分别为H、G，设PH＝x，则140≤x≤200．

由三角形相似性质PG＝120+（200﹣x），

∴公园占地面积为S＝x[120+（200﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣190）2+×1902（140≤x≤200），

∴当x＝190时，Smax＝m2．

答：在EF上取一点P，使P到BC距离为190m时，公园PHCG占地面积最大，最大面积为m2．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．

19．（12分）已知函数．

（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；

（2）求g（x）＝f（x）﹣2x在[1，3]上的最大值．

【分析】（1）直接利用函数单调性的定义证明；

（2）由（1）可知，f（x）在[1，3]上单调递减，又y＝﹣2x也在[1，3]上单调递减，可得g（x）＝f（x）﹣2x在[1，3]上单调递减，由此可得g（x）＝f（x）﹣2x在[1，3]上的最大值．

【解答】解：（1）函数f（x）＝在（0，+∞）上是减函数．

证明如下：

设x1，x2是区间（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝＝．

由0＜x1＜x2，得x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，，

于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

∴函数是区间（0，+∞）上的减函数；

（2）∵f（x）在[1，3]上单调递减，y＝﹣2x也在[1，3]上单调递减，

∴g（x）＝f（x）﹣2x在[1，3]上单调递减，

∴g（x）max＝g（1）＝1﹣2＝﹣1．

【点评】本题考查函数单调性的判断与证明，考查利用函数单调性求函数的最值，是中档题．

20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．

（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式；

（2）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数f（x）的图象；

（3）求使f（x）＞0的实数x的取值集合．

【分析】（1）根据奇函数的性质求出f（x）在（0，+∞）上的解析式即可；

（2）根据对称性或解析式作出函数图象；

（3）根据图象得出不等式的解集．

【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，

∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2×（﹣x）＝x2﹣2x，

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x（x＞0），

∴

（2）函数的图象如图所示：

（3）方程f（x）＝0的根是x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2，

由函数的图象可知不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}．

【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，函数图象与不等式的关系，属于中档题．

21．（12分）设函数f（x）＝x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．

（1）用g（a）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；

（2）在（1）中，是否存在最小的整数m．使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用函数的对称轴，讨论a的范围，求出二次函数的最小值，求g（a）的解析式；

（2）判断存在，利用g（a）的单调性，求出g（a）的最小值，然后求解m的值．

【解答】解：（1）对称轴 x＝﹣a，

①当﹣a＜0即a＞0 时，函数f（x）＝x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是增函数，

当x＝0 时有最小值 f（0）＝﹣a﹣1 …2分

②当﹣a≥2即a≤﹣2 时，函数f（x）＝x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是减函数，

x＝2时有最小值，f（2）＝3a+3 …4分

③当0＜﹣a＜2即﹣2＜a＜0 时，函数f（x）＝x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是不单调，

x＝﹣a时有最小值 f（﹣a）＝﹣a2﹣a﹣1 …6分

∴g（a）＝…8分

（2）存在，由题知g（a）在（﹣∞，﹣）是增函数，在[，+∞）是减函数

a＝﹣时，g（a）max＝﹣…10分

g（a）﹣m≤0恒成立，可得g（a）max≤m，∴m≥﹣…12分，

∵m为整数，∴m的最小值为0 …13分

【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论、计算能力．

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日期：2019/10/29 10:46:54；用户：马德君；邮箱：cyyz102@xyh.com；学号：25108295

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