2019全国中考数学真题分类汇编之27：圆内有关性质（含答案）

2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质

一、选择题

1.（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．20°

【考点】圆周角定理、直角三角形的性质

【解答】解：连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∵∠BCD＝40°，

∴∠A＝∠BCD＝40°，

∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．

故选：B．

2.（2019年山东省德州市）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（　　）

A. ec4b72a40cf465c1b90009cab3481744.png B. 648e764ea8a57262d8b5bbfaa964935e.png C. 0b5aa318eb1a7db6e7cd174081739b19.png D. 6e49e295d3aa07040fa8818a1c84861c.png

【考点】圆内接四边形的性质

【解答】

解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=40°，
∴∠ADC=140°，
故选：B．

3. （2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD

【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，

∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，

∴AD⊥BD，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠DBC＝∠OCB，

∴OC∥BD，选项A成立；

∴AD⊥OC，选项B成立；

∴AF＝FD，选项D成立；

∵△CEF和△BED中，没有相等的边，

∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；

故选：C．

4. （2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（　　）

A．5π B．6π C．20π D．24π

【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长

【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，

故选：A．

5. （2019年广西贵港市）如图，AD是⊙O的直径，8bcc1a0cc91e2f7f3e9c9f34c946b0cc.png=56c614a1daa1b47703a4739d27911ad1.png，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）

A. 407c55bd4091be5b2505e9d7651fa881.png B. 3a5f3c8f009bb4e5d5112dc26dbfdca4.png C. f572756896f025b794858dffe5db6a21.png D. e008342758b68eabdcea5a8a871d80f1.png

【考点】圆周角定理

【解答】解：∵=，∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=100°，
∴∠BPC=∠BOC=50°，
故选：B．

6. （2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png，则AE＝（　　）

A．3 B．3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png C．491a24814efa2661939c57367281c819c.png D．291a24814efa2661939c57367281c819c.png

【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理

【解答】解：连接AC，如图，

∵BA平分∠DBE，

∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，

∴∠3＝∠CDA，

∴AC＝AD＝5，

∵AE⊥CB，

∴∠AEC＝90°，

∴AE＝c644c9dafc2e49c2d4098409b918542f.png＝291a24814efa2661939c57367281c819c.png．

故选：D．

7. （2019年陕西省）如图，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）

A．20° B．35° C．40° D．55°

【考点】圆内有关性质

【解答】连接FB，得到FOB＝140°；

∴∠FEB＝70°

∵EF＝EB

∴∠EFB＝∠EBF

∵FO＝BO，

∴∠OFB＝∠OBF，

∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°

8. （2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（    ）

A. 6dm                                    B. 5dm                                    C. 4dm                                    D. 3dm

【考点】垂径定理的应用

【解答】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，

∵AB=8，CD⊥AB，

∴AD=4,点O、D、C三点共线,

∵CD=2，

∴OD=r-2，

在Rt△ADO中，

∵AO2=AD2+OD2 ， ,

即r2=42+（r-2）2 ，

解得：r=5，

故答案为：B.

9. （2019年甘肃省天水市）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，

∴∠ACB＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png∠DCB＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png（180°﹣∠D）＝50°，

∵四边形AECD是圆内接四边形，

∴∠AEB＝∠D＝80°，

∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，

故选：C．

10. （2019年甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）

A．54° B．64° C．27° D．37°

【考点】圆周角定理

【解答】解：∵∠AOC＝126°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，

∵∠CDB＝∠BOC＝27°．

故选：C．

11. （2019年湖北省襄阳市）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（　　）

A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB

【考点】圆内有关性质

【解答】解：∵AD为直径，

∴∠ACD＝90°，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴CD∥OB，CD＝OB，

在Rt△ACD中，sinA＝＝，

∴∠A＝30°，

在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；

∵OP∥CD，CD⊥AC，

∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；

∴AP＝CP，

∴OP为△ACD的中位线，

∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；

∴OB＝2OP，

∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．

故选：A．

12. （2019年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【考点】圆周角定理

【解答】解：∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝40°，

∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∴∠A＝∠BOC＝50°．

故选：A．

13. （2019年甘肃省武威市）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

【考点】圆周角定理

【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，

∵弦AB的长度等于圆半径的倍，

即AB＝OA，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，

∴∠ASB＝∠AOB＝45°．

故选：C．

14. （2019年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2

【考点】圆周角定理

【解答】解：连接CD，

∵BC是半圆的直径，

∴CD⊥AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴CD＝BD，

∴阴影部分的面积＝×22＝2，

故选：D．

15. （2019年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【考点】圆内有关性质

【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，

∴＝．

∴∠AOC＝∠BOC＝60°．

故选：D．

16. （2019年西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（　　）

A．1 B． C．2 D．2

【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理

【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，

∴＝，

∴∠E＝∠BOC＝22.5°，

∴∠BOD＝45°，

∴△ODB是等腰直角三角形，

∵AB＝2，

∴DB＝OD＝1，

则半径OB等于：＝．

故选：B．

17. （2019年海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°

【考点】圆内有关性质

【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，

∴AC＝AB，

∴∠CBA＝∠BCA＝70°，

∵l1∥l2，

∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

故选：C．

二、填空题

1. （2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，8bcc1a0cc91e2f7f3e9c9f34c946b0cc.png=19e8b36888d80f065e9f1996ca52c37d.png，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为______．

【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理

【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAB=3，
设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，
在Rt△OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，
∵=，
∴OB⊥AF，AG=FG，
在Rt△OAG中，AG2+OG2=52，①
在Rt△ABG中，AG2+（5-OG）2=62，②
解由①②组成的方程组得到AG=25e59e87828da83e2d2fa52c1d17cead.png，
∴AF=2AG=80723127c8db32a4f2e4cf31c0d03af8.png．故答案为80723127c8db32a4f2e4cf31c0d03af8.png．
2. （2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧8bcc1a0cc91e2f7f3e9c9f34c946b0cc.png上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______．
【考点】圆周角定理

【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，
∴∠C=∠AOB=40°．
故答案为40°．

3. （2019年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　 　．

【考点】圆周角定理

【解答】解：∵OA⊥BC，

∴＝，

∴∠AOB＝2∠ADC，

∵∠ADC＝30°，

∴∠AOB＝60°，

故答案为60°．

4. （2019年江苏省泰州市）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB=,PC=y,则y与的函数表达式为　 　．

【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质

【解答】如图，连接PO并延长交⊙O于点N，连接BN，

∵PN是直径，∴∠PBN=90°.

∵AP⊥BC,

∴∠PAC =90°，

∴∠PBN=∠PAC，

又∵∠PNB=∠PCA，

∴△PBN∽△PAC，

∴8a4982410c7be0ae4f8a86a2c40c9140.png=d2b4494fa4760ef1406b51ea7a54fb0e.png,

∴d6bd4e0152a8ac6ea029a4a169dc9b0a.png=ca130444997d827928ba3f26a6329831.png

∴y=bdf73028981487bd3bb2344c4a21ef6d.png.

故答案为：y=bdf73028981487bd3bb2344c4a21ef6d.png.

三、解答题

1.（2019年上海市）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．

（1）求证：BD＝CD；

（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定

【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，

∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，

∴A在BC的垂直平分线上，

∵OB＝OA＝OD，

∴O在BC的垂直平分线上，

∴AO垂直平分BC，

∴BD＝CD；

（2）如图2，连接OB，

∵AB2＝AO•AD，

∴32245e1705bb57a251fb1203d4d7456d.png，

∵∠BAO＝∠DAB，

∴△ABO∽△ADB，

∴∠OBA＝∠ADB，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∴∠OAB＝∠BDA，

∴AB＝BD，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝AC＝BD＝CD，

∴四边形ABDC是菱形．

2. （2019年江苏省苏州市）如图，AE为f0e4599afba2421520937491613e682d.png的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：7d782c907df85124ea5329daf34f9912.png；

（2）求证：8176a90950c924f9aa2026cb320f63ef.png;

（3）若bd3888a1d2f305b260132a43a3d52d34.png,求92a98e4895d9fdf60233107c463c318f.png的值.

word/media/image70_1.png

【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数

【解答】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为f0e4599afba2421520937491613e682d.png的半径

∴783878cdc999986bd1df12847e1ad8de.png

又∵AB为f0e4599afba2421520937491613e682d.png的直径

∴52f4c087296260b9cf32142373cb45e1.png

∴2fb559a248db0b174ea18cd5962ec6ff.png

（2）证明：∵D为弧BC的中点

∴03422211947d6bbe1628842000051ef6.png

∴3a2cb20cfb596aa92e67866e53d6909a.png

∴cd8b4a25143927c9eaa35ffcf4db3e3e.png

∴dd7a74bdff6ed77ee09e98123a6257c0.png

即8176a90950c924f9aa2026cb320f63ef.png

（3）解：∵cd8b4a25143927c9eaa35ffcf4db3e3e.png，bd3888a1d2f305b260132a43a3d52d34.png

∴17dacb517e2974c5ebe45ec443526cf7.png

设CD=e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png，则DE=，3b4220e0a0b52c2f314453f49c22719d.png

又∵2fb559a248db0b174ea18cd5962ec6ff.png

∴b2547a29f6bfa2adba4a3b5879cf210b.png

∴71488d1c4f13725ba7c7aaaaaa0836ad.png

所以715bac6fa72ccbb1e037b0fdc2c3e452.png

又f0d18f7363d3cc50765a0d456ac4a3bf.png

∴2c855f510716faf216018d7424804889.png

即9baeb0ebfa93fa25e47c1fafcfcec086.png

3. （2019年河南省）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．

（1）求证：△ADF≌△BDG；

（2）填空：

①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为　　；

②取的中点H，当∠EAB的度数为　　时，四边形OBEH为菱形．

【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值

【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°

∴∠DAF＝∠DBG

∵∠ABD+∠BAC＝90°

∴∠ABD＝∠BAC＝45°

∴AD＝BD

∴△ADF≌△BDG（ASA）；

（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，

∴∠BAE＝∠DAE

∵FD⊥AD，FH⊥AB

∴FH＝FD

∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，

∴，即BF＝FD

∵AB＝4，

∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2

∴FD＝＝4﹣2

故答案为．

②连接OE，EH，∵点H是的中点，

∴OH⊥AE，

∵∠AEB＝90°

∴BE⊥AE

∴BE∥OH

∵四边形OBEH为菱形，

∴BE＝OH＝OB＝AB

∴sin∠EAB＝＝

∴∠EAB＝30°．

故答案为：30°

4. (2019年浙江省温州市)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理

【解答】（1）证明：连接AE，

∵∠BAC＝90°，

∴CF是⊙O的直径，

∵AC＝EC，

∴CF⊥AE，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ACD+∠BAC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形DCFG是平行四边形；

（2）解：由CD＝AB，

设CD＝3，AB＝8，

∴CD＝FG＝3，

∵∠AOF＝∠COD，

∴AF＝CD＝3，

∴BG＝8﹣3﹣3＝2，

∵GE∥CF，

∴，

∵BE＝4，

∴AC＝CE＝6，

∴BC＝6+4＝10，

∴AB＝＝8＝8，

∴＝1，

在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，

∴CF＝＝3，

即⊙O的直径长为3．

5. （2019年湖北省宜昌市）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：点A　　（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；

（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．

【考点】圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数

【解答】解：（1）连接AO，

∵∠EAF＝90°，O为EF中点，

∴AO＝EF，

∴点A在⊙O上，

当＝时，∠AEF＝45°，

∴tan∠AEF＝tan45°＝1，

故答案为：在，1；

（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）延长EF交HD的延长线于点G，

∵F分别是边AD上的中点，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FG，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．

设AF＝，AE＝a，

∵FM＝FEEF⊥FH，

∴△EFM为等腰直角三角形，

∴∠FEM＝∠FMN＝45°，

∵FM＝FE，

∠A＝∠MQF＝90°，

∠AEF＝∠MFQ，

∴△AEF≌△QFM（ASA），

∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，

∵AE＝AD，

∴AF＝DQ＝QM＝，

∵DC∥QM，

∴，

∵DC∥AB∥QM，

∴，

∴，

∵FE＝FM，

∴，

∠FEM＝∠FMN＝45°，

∴△FEN～△HMN，

∴，

∴．

6. （2019年内蒙古包头市）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．

（1）求⊙O半径的长；

（2）求证：AB+BC＝BM．

【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质

【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，

∵∠ABC＝120°，

∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，

∴∠AOH＝∠AOC＝60°，

∵AH＝AC＝，

∴OA＝，

故⊙O的半径为2．

（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，

∵∠MBC＝60°，BE＝BC，

∴△EBC是等边三角形，

∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，

∴∠BCD+∠DCE＝60°，

∵∠∠ACM＝60°，

∴∠ECM+∠DCE＝60°，

∴∠ECM＝∠BCD，

∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，

∴∠ABM＝∠CBM＝60°，

∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，

∴△ACM是等边三角形，

∴AC＝CM，

∴△ACB≌△MCE，

∴AB＝ME，

∵ME+EB＝BM，

∴AB+BC＝BM．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7bfc1625b81aa8114431b90d6c85ec3a87c28b03.html