（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量

§12.4　离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

3．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)

(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)

(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(　×　)

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)

(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)

(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)

题组二　教材改编

2．[P77T1]设随机变量X的分布列如下：

则p为(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，

∴p＝1－＝.

3．[P49T1]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．

答案　0,1,2,3

解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.

4．[P49A组T5]设随机变量X的分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________.

答案　

解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)

＝＋＝.

题组三　易错自纠

5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)

A．至少取到1个白球

B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数

D．取到的球的个数

答案　C

解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.

6．随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，则n＝________.

答案　10

解析　由P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)

＝＋＋＝＝0.3，

得n＝10.

7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．

答案　

解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，

故P(X＝4)＝＝.

题型一　离散型随机变量的分布列的性质

1．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A. B. C. D.

答案　D

解析　∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，

∴＋＋＋＝1，∴a＝，

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)

＝×＋×＝.

2．设离散型随机变量X的分布列为

求2X＋1的分布列．

解　由分布列的性质知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

列表为

从而2X＋1的分布列为

引申探究

1．若题2中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列．

解　由题2知m＝0.3，列表为

∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．

解　依题意知η的值为0,1,4,9,16.

列表为

从而η＝X2的分布列为

思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

题型二　离散型随机变量的分布列的求法

命题点1　与排列、组合有关的分布列的求法

典例 (2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝＝.

(2)由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

因此X的分布列为

命题点2　与互斥事件有关的分布列的求法

典例 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－－＝.

故X的分布列为

命题点3　与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法

典例 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．

(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；

(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．

解　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)方法一　他前两发子弹只命中一发的概率为

P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)

＝×＋×＝.

方法二　由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.

(2)X的所有可能值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(1 2)

＝×＋×＝，

P(X＝3)＝P(A12 3)＋P(1A2A3)

＝×2＋×2＝，

P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A23 4)

＝3×＋3×＝，

P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4)

＝2×2＋2×2＝.

故X的分布列为

思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的分布列．

求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

跟踪训练 (2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．

(1)求你的幸运数字为3的概率；

(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．

解　(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好为1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.

A1，A2，A3为互斥事件，则

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C3＋C··C··C·＋C2·＝.

(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，

P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝2＋2×C××＝，

P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.

故ξ的分布列为

题型三　超几何分布

典例 (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．

解　(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，

则P(A)＝＝.

(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

∴X的分布列为

思维升华 (1)超几何分布的两个特点

①超几何分布是不放回抽样问题；

②随机变量为抽到的某类个体的个数．

(2)超几何分布的应用条件

①两类不同的物品(或人、事)；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体．

跟踪训练 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

解　(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

离散型随机变量的分布列

典例 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．

错解展示：

现场纠错

解　由题意知ξ的取值为1,2,3,4,5，

P(ξ＝1)＝0.9，

P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，

P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，

P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9，

P(ξ＝5)＝0.14＝0.000 1.

∴ξ的分布列为

纠错心得　(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．

(2)验证随机变量的概率和是否为1.

1．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：

则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　)

A．x≤2 B．1≤x≤2

C．1<x≤2 D．1<x<2

答案　C

解析　由离散型随机变量的分布列知P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，

则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.

2．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.

3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q等于(　　)

A．1 B.±

C.－ D.＋

答案　C

解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0<q2<，∴q＝－.

4．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)

A．P(X＝3) B．P(X≥2)

C．P(X≤3) D．P(X＝2)

答案　D

解析　由超几何分布知P(X＝2)＝.

5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案　C

解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.

6．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　6名选手依次演讲有A种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为＝.

7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为______________________．

答案　

解析　X的取值为3,4,5.

又P(X＝3)＝＝0.1，P(X＝4)＝＝0.3，

P(X＝5)＝＝0.6.

所以X的分布列为

8.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.

答案　

解析　P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.

9．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．

答案　　

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

又a＋b＋c＝1，∴b＝，

∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.

又a＝－d，c＝＋d，

根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，

∴－≤d≤.

10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为

________________________________________________________________________．

答案　

解析　∵η的所有可能值为0,1,2.

P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，

P(η＝2)＝＝.

∴η的分布列为

11.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．

解　(1)由已知，有P(A)＝＝.

所以，事件A发生的概率为.

(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.

所以，随机变量X的分布列为

12．(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.

(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；

(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列．

解　(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，

∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，∴P(A)＝＝，解得n＝2，∴m＝4，

用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P(B)＝1－＝.

(2)随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2.

∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名，

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

13．(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：

如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．

现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为____________．

答案　

解析　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝0.3，

P(X＝1)＝＝0.6，

P(X＝2)＝＝0.1.

∴优等品数X的分布列为

14.(2017·长春模拟)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8，且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．

(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；

(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求随机变量X的分布列．

解　(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为

＝，

则≥.

化简得n2－25n＋144≤0，

解得9≤n≤16，

故n的最大值为16.

(2)由题意可得，X的可能取值为0,1,2.

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________．

答案　

解析　ξ的可能取值为0,1，.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.

16．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．

(1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率；

(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．

解　(1)P＝1－＝.

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.

(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以

P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.

故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

所以ξ的分布列为

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