同角三角函数基本关系教学设计

同角三角函数的教学设计

华南师范大学附属中学南海实验高级中学 蓝美健

教学目标

（一） 知识目标

1、 已知某角的正弦、余弦、正切中的一个,根据同角关系式，求其余两个三角函数值

2、 利用同角三角函数关系化简三角函数式

3、 利用同角三角函数关系证明三角恒等式

（二） 能力目标

1、 通过同角三角函数的基本关系的推导，培养学生的探究研究能力。

2、 运用同角三角函数关系，求解三角函数值，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。

3、 熟练运用同角三角函数关系巧化和证明三角恒等式，培养学生的化归思想。

（三） 德育目标

通过求解、化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩证唯物主义观。

教学重点：求解各三角函数值，三角函数式的化简，三角恒等式的证明

教学难点：求解各三角函数值时，正负符号的选取，三角函数式的巧化，三角恒等式的证明

教学方法：问题法，学生自主探索完成。

        这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式:；,并进行初步的应用.由于该节内容比较容易,所以,同角三角函数的基本关系式的探索以及习题的解决，甚至是一题多解都可以放手让学生独立探究完成，即由学生自己把要学的知识发掘出来,并用以解决新的问题。必要时,教师可以强调以下几点:(1)"同角"是前提.(2)关系式的适用条件.(3)化简题的常用方法.(4)怎样优化解题过程.  

教学设计

一、 问题情境

教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的三个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,你知道它们之间有什么联系吗?你能得出它们之间的直接关系吗?

二、建立模型

1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数,并探索它们之间的关系

在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>0),如 图1：则角α的三个三角函数值是

。

2. 推导同角三角函数关系式

引导学生通过观察、分析探究：由勾股定理知，即；

从而获取下述基本关系： (1)平方关系: (2)商数关系:

3. 探究同角三角函数关系式的适用条件

问题1：成立吗？

问题2：在商数关系中，是任意角吗？为什么？

引导学生在模型中找反例，学生很容易举出，例如，则

，问题1不成立。在问题2中，x不能为0，则模型中，p点不能在y轴上，故。

自然界的万物都有着千丝万缕的联系,只要有一颗善于发现的心，也许每天都会有新的发现。刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢?

三、 同角三角函数的运用

同角三角函数的依据就那么两条公式，但公式的运用就非常丰富多彩，所以，我们要通过做一道题就会做同一类型的题，学会对问题的反思。通过改变题目的条件，培养学生的数学思维能力，可以使学生充分发挥自己的潜能；创造性地解决新情境下的问题，使学生在实际情境中获取和构造数学，而不是机械地去复述数学。

例1：已知，且是第二象限角，求角α的余弦值和正切值。

解：由求得，则。又是第二象限角，所以，，.

有部分学生在“，则”中很容易直接开方，忽略了负数的情况。在求值过程中,若能避免直接开方的应尽量避免。这问题是基本关系的简单运用，可让学生独立去完成并在黑板板书，以便规范解题步骤，更重要的是要引导学生题后反思。

反思1：若没有条件“是第二象限角”，怎么做？这时候就要对分第一，二象限讨论了。

反思2：已知，求角α的正弦值和余弦值。这时候，问题就没那么好解了。

由得，。代入，得5， 。若是第一象限角时，，；若是第三象限角时，，。

由平方关系求值时,要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题。如果题目没有具体指明α是第几象限角，一定要对α可能所处的象限，分类讨论。

例2：已知，求。

有了对上述反思2的认识后，学生逐渐对题目“已知”产生了条件反射。学生不难得出以下两种解法：

解法1：已知， ，得，则

=3.

解法2：已知，当为第一象限角时，如图2，

由三角形可得， ；同理当为第三象限角时，。

引导学生思考，出了这两种解法还有更简便的解法吗？关于与的一次式之值的问题，能不能化成来解答？

解法三： .

问题提供的仅仅是一种情景，可以引导学生从不同角度去理解和思考。若问题改成如下，反思1：；反思2：；反思3： +1

这时候，化归思想就显得特别重要。反思（1）中，学生首先想到的是如何把式子化成与有关，分子分母同除？那分式的1怎么办？联想到刚学过的，他们得出

==.

反思（2）中，学生第一反应是“怎么样子和前几道小题的不对？”分母怎么凑出来？分母是什么？学生又马上想到把1化成， =

=.反思（3）中，学生条件反射，又会把1化成，然后根据反思（2）的做法解答，但实际上，这个1并不需要化归，

+1=.这时候，我们又得到反思（4）

+2010，解法如反思（3）。

对于这种关于和的一次或两次（齐次）式的问题，要注意以下几点：（1）一定是关于和的齐次式，或能化成齐次式的三角函数；（2）解决此类问题的策略是利用，可用（）去除原式分子、分母的各项，将原式先化成的表达式，再整体带入求值。

例3：求证：

证法1：左边==右边。证毕

对于三角恒等式的证明题，要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便。引导学生寻找更多的证明方法。例如从右边能证到左边吗？

证法2：右边==左边。证毕

证明题除了从左边证明到右边，或从右边证明到左边外，还有其他的证明方法吗？观察证明题的两边，十字相乘法后，式子旨在证，但这是个恒等式。于是我们发现另一种证明方法。

证法3：，

证毕

四、 作业布置

1.已知，求。

2.已知，求 。

3.已知，求。

4.证明：

通过题后反思和一题多解，激发学生的探究欲望，调节学生的自主性心理特征，即自尊、自信、自律和自我激励，培养学生对数学的兴趣。总为言之，课堂已不仅仅局限于讲解新课和解答问题，而是一种全新的数学教育观念。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7a2137dbf11dc281e53a580216fc700aba6852d3.html