2017年高考真题海南卷理科数学（解析版）

2017年高考真题海南卷理科数学（解析版）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（）

A． B． C． D．

2.设集合，．若，则（）

A． B． C． D．

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

5.设，满足约束条件，则的最小值是（）

A． B． C． D．

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）

A．2 B．3 C．4 D．5

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2 B． C． D．

10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

11.若是函数的极值点，则的极小值为（）

A. B. C. D.1

12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．

14.函数（）的最大值是．

15.等差数列的前项和为，，，则．

16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角的对边分别为 ,已知．

(1)求

(2)若 , 面积为2,求

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面三角形BCD， E是PD的中点

（1）证明：直线平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值

20. （12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

参考解析

1．D

【解析】

2．C

【解析】1是方程的解，代入方程得

∴的解为或，∴

3．B

【解析】设顶层灯数为，，，解得．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】，，代入循环得，时停止循环，．

9．A

【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为

得，，．

10．C

【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）

可知，，

作中点，则可知为直角三角形．

，

中，

，

则，则中，

则中，

又异面线所成角为，则余弦值为．

11．A

【解析】，

则，

则，，

令，得或，

当或时，，

当时，，

则极小值为．

12．B

【解析】几何法：

如图，（为中点），

则，

要使最小，则，方向相反，即点在线段上，

则，

即求最大值，

又，

则，

则．

解析法：

建立如图坐标系，以中点为坐标原点，

∴，，．

设，

，，，

∴

则其最小值为，此时，．

13．

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，

则

14．

【解析】

令且

则当时，取最大值1．

15．

【解析】设首项为，公差为．

则

求得，，则，

16．

【解析】则，焦点为，准线，

如图，为、中点，

故易知线段为梯形中位线，

∵，，

∴

又由定义，

且，

∴

17.

【解析】（1）依题得：．

∵，

∴，

∴，

∴，

（2）由⑴可知．

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件

“新养殖法的箱产量不低于”为事件

而

（2）

由计算可得的观测值为

∵

∴

∴有以上的把握产量的养殖方法有关．

（3），

，

，∴中位数为．

19．【解析】

（1）令中点为，连结，，．

∵，为，中点，∴为的中位线，∴．

又∵，∴．

又∵，∴，∴．

∴四边形为平行四边形，∴．

又∵，∴

（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，，

．

在底面上的投影为，∴．∵，

∴为等腰直角三角形．

∵为直角三角形，，∴．

设，，．∴．

．∴．

∴，

，．设平面的法向量．

，∴

，．设平面的法向量为，

．

∴．

∴二面角的余弦值为．

20．

【解析】 ⑴设，易知

又

∴，又在椭圆上．

∴，即．

⑵设点，，，

由已知：，

，

∴，

∴．

设直线：，

因为直线与垂直．

∴

故直线方程为，

令，得，

，

∴，

∵，

∴，

若，则，，，

直线方程为，直线方程为，

直线过点，为椭圆的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为，，所以．

令，则，，

当时，，单调递减，但，时，；

当时，令，得．

当时，，单调减；当时，，单调增．

若，则在上单调减，；

若，则在上单调增，；

若，则，．

综上，．

⑵，，．

令，则，．

令得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以，．

因为，，，，

所以在和上，即各有一个零点．

设在和上的零点分别为，因为在上单调减，

所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．

因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．

所以，有唯一的极大值点．

由前面的证明可知，，则．

因为，所以，则

又，因为，所以．

因此，．

22．

【解析】⑴设

则．

解得，化为直角坐标系方程为

．

⑵连接，易知为正三角形．

为定值．

∴当高最大时，面积最大，

如图，过圆心作垂线，交于点

交圆于点，

此时最大

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：

当且仅当，即时取等号．

⑵∵

∴

∴

∴

∴

由均值不等式可得：

∴

∴

∴

∴ 当且仅当时等号成立．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7802235324c52cc58bd63186bceb19e8b8f6eceb.html