北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）已知集合，
，那么
（A）
（B）
（C） （D）
（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是
（A） （B）
（C）
（D）
（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知，
为圆
上关于点
对称的两点，则直线
的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（5）设，
为实数，则“
”是“
”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）已知函数是偶函数,且
，则
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知向量，将向量
绕坐标原点
逆时针旋转
角得到向量
，则下列说法不正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（8）如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆
，
，
，它们的离心率分别为
，
，
，则
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数
．
（10）若函数在区间
上有且只有一个零点，则实数
．
（11）已知双曲线的虚轴长是实轴长的
倍，则实数
.
（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.
（13）已知数列满足
,
，且
，
，则
；数列
的前
项的和为________．
（14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的
；
优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免
元；
优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过
元部分的
．
某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该 使用优惠劵 （填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多， 则他购买的商品的标价应高于________元．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在△中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，且
．
（Ⅰ）若，求
；
（Ⅱ）若，且
，求△
的面积．
（16）（本小题共13分）
已知等差数列满足
，
，其前
项和为
.
（Ⅰ）求的通项公式及
；
（Ⅱ）令，求数列
的前
项和.
（17）（本小题共14分）
在梯形中，
，
，
.平面
⊥平面
，四边形
是矩形，
，点
在线段
上．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）试问当为何值时，
平面
？证明你的结论．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
（18）（本小题共13分）
某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数
（单位：公里）分为
类，即
类：
，
类：
，
类：
．该公司对这
辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
（Ⅰ）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过
万公里的概率；
（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从
类车中抽取了
辆车．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过
万公里的概率．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆与
轴交于
两点，
为椭圆
的左焦点，且△
是边长为
等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），则直线
与
轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
（20）（本小题共14分）
设函数，
．
（Ⅰ）若，求
在区间
上的最大值；
（Ⅱ）设，求证：当
时，过点
有且只有一条直线与曲线
相切；
（Ⅲ）若对任意的，均有
成立，求
的取值范围．
北京市东城区2015-2016学年第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）C （3）D （4）A
（5）B （6）B （7）C （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11） （12）
（13）
（14）B
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由，得
.
又，所以
．
由余弦定理可得． ……………………6分
（Ⅱ）由已知，且
,
所以．
故△的面积
． ………………… 13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为
，
由，得
，
又，解得
．
所以．
所以． ……………………6分
（Ⅱ）由，得
．
设的前
项和为
，
则．
故数列的前
项和为
． ………………… 13分
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）由题意知，梯形为等腰梯形，且
，
，
由，可知
.
又平面平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以平面
.
又平面
，
所以. ……………………5分
（Ⅱ）当时，
平面
.
证明如下：
当，可得
，故
在梯形中，设
，连结
，由已知可得
，
所以
.
所以.
又,
所以四边形为平行四边形.
所以.
又平面
，
平面
，
所以平面
.
当时，
平面
. ………………… 11分
（Ⅲ）由已知可得△的面积
，
故.
…………… 14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为
． ……………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）依题意． ……………………6分
（ⅱ）辆车中已行驶总里程不超过
万公里的车有
辆，记为
；
辆车中已行驶总里程超过
万公里的车有
辆，记为
．
“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共
种：
．
“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过
万公里”的选法共
种：
．
则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率
．………………… 13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）依题意可得，且
，
解得．
所以椭圆的方程是
． ………………… 5分
（Ⅱ）由消
，得
．
设，
，则
．
且，
．
经过点，
的直线方程为
令，则
又
故当时，
．
即直线与
轴交于定点
． ………………… 13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）当时，
．
．
令，得
或
．
当，有
，所以
在区间
上是增函数；
当时，有
，所以
在区间
上是减函数；
所以在区间
上的最大值为
． ………………… 5分
（Ⅱ）设过点的直线与曲线
相切于点
，
则，且切线斜率为
．
所以，即
．
所以，解得
．
即存在唯一的切点．
所以过点有且只有一条直线与曲线
相切． ………………… 9分
（Ⅲ）当时，对任意
，不等式显然成立；
当时，不等式等价于
．
当时，不等式等价于
恒成立．
令，
，
则，当
时，显然
，
所以在区间
上单调递增，
所以在区间
上有最小值
．
所以．
当时，不等式等价于
恒成立．
令，
，
当时，
，
所以，当时，不等式
对
恒成立．
综上，实数的取值范围是
． ………………… 14分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/76bd8be5453610661fd9f46e.html
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