2018-2019学年河南省洛阳市智学大联考九年级（上）期中数学试卷

2018-2019学年河南省洛阳市智学大联考九年级（上）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 方程x（x-5）=0化成一般形式后，它的常数项是（　　）

A. -5 B. 5 C. 0 D. 1

2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

3. 如果方程（m-3）x2-（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m不能取的值为（　　）

A. ±3 B. 3 C. -3 D. 都不对

4. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则该函数图象的对称轴是（　　）

A. x=-3 B. x=-2 C. x=-1 D. x=0

5. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A.  x（x-1）=45 B.  x（x+1）=45
C. x（x-1）=45 D. x（x+1）=45

6. 若关于x 的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（　　）

A. m＞ B. m≥ C. m＞且m≠2 D. m≥且m≠2

7. 下列命题中是真命题的有（　　）
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

8. 如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则∠ACD的度数为（　　）

A. 46°
B. 23°
C. 44°
D. 67°

9. 将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（　　）

A. y=2x2+1 B. y=2x2-3 C. y=2（x-8）2+1 D. y=2（x-8）2-3

10. 如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=2，则代数式2a+b+6的值为______．

12. 已知抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．

13. 两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．

14. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，①abc＜0，②2a+b＞0，③a-b+c＜0，④b2＞4ac，⑤关于x的方程ax2+bx+c-2=0没有实数根．
则下列结论正确的有______．（填序号）

15. △ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于______．

三、计算题（本大题共3小题，共27.0分）

16. 先化简，再求值：（-）÷-+x，其中x满足方程x2-5x+2=0

17. 在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；
（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为______；此时，∠POQ的度数为______．

18. 为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？

四、解答题（本大题共5小题，共48.0分）

19. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△A1B2C，画出旋转后的△A1B1C，并写出A1，B1的坐标．

20. 已知二次函数的图象经过最高点（2，5）和点（0，4）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你用图象法判断方程-x2+x+1=0的根的情况．（画出简图）

21. 已知关于x的一元二次方程-x2+（3-k）x+k-1=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，求k的取值范围．

22. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

23. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，-3），且与x轴交点坐标为（-1，0），（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】C
【解析】

解：∵x（x-5）=0
∴x2-5x=0，
∴方程x（x-5）=0化成一般形式后，它的常数项是0，
故选：C．
根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
本题考查一元二次方程的一般形式，解答本题的关键是明确题意，可以将方程化为一般形式．

2.【答案】B
【解析】

解：A、图形不是中心对称图形；
B、图形是中心对称图形；
C、图形不是中心对称图形；
D、图形不是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．

3.【答案】B
【解析】

解：∵方程（m-3）x2-（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m-3≠0，即m≠3，
则m不能取的值是3，
故选：B．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

4.【答案】B
【解析】

解：∵当x=-3与x=-1时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==-2．
故选：B．
由当x=-3与x=-1时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x=-2，此题得解．
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键．

5.【答案】A
【解析】

解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）=45，
故选：A．
先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45．
此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．

6.【答案】D
【解析】

解：∵关于x 的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，
∴，
解得：m≥且m≠2．
故选：D．
根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数不为0得出关于m的不等式组是解题的关键．

7.【答案】D
【解析】

解：能够重合的弧是等弧，①是假命题；
圆的任意一条不是直径的弦把圆分成优弧和劣弧两部分，②是假命题；
长度相等的弧不一定是等弧，③是假命题；
半径相等的两个圆是等圆，④是真命题；
直径是圆中最长的弦，⑤是真命题；
故选：D．
根据等弧的概念，弦的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8.【答案】D
【解析】

解：连接OD，

∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是46°，
∴∠BOD=46°，
∴∠BCD=∠BOD=23°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=67°．
故选：D．
首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是46°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

9.【答案】A
【解析】

解：抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；
故选：A．
根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．

10.【答案】D
【解析】

解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为，
∵点F是抛物线y=x2上的点，
∴点F横坐标为x==，
∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，
∵点D是抛物线y=上的点，
∴点D横坐标为x==2a，
∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，
∴==×=．
故选：D．
可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．
本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E、F、D的坐标是解题的关键．

11.【答案】3
【解析】

解：把x=2代入ax2+bx+6=0得4a+2b+6=0，则2a+b=-3，
所以2a+b+6=-3+6=3．
故答案为3．
根据一元二次方程的解，把x=2代入ax2+bx+6=0可得到2a+b=-3，然后利用整体代入的方法计算代数式2a+b+6的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】4，-8，-2
【解析】

解：当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2-4×9=0，解得k=4或k=-8；
当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=-==0，解得k=-2．
故答案为：4，-8，-2．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

13.【答案】2
【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．

【解答】

解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC=AC，∠D=∠CAB，
∴∠D=∠DAC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，
∴∠D=∠CAB=60°，
∴∠DCA=60°，
∴∠ACF=30°，
可得∠AFC=90°，
∵AB=8cm，∴AC=4cm，
∴FC=4cos30°=2（cm）．
故答案为：2．

14.【答案】②③④⑤
【解析】

解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-＞1，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-＞1，a＜0，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0，所以②正确；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴b2＞4ac，所以④正确；
∵函数的最大值为1，
∴y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y=2没有交点，
∴方程ax2+bx+c-2=0没有实数根，所以⑤正确．
故答案为②③④⑤．
由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对②进行判断；根据函数的图象可对③进行判断；根据判别式的意义可对④进行判断．利用二次函数的最大值为1可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

15.【答案】
【解析】

【分析】
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．
​连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，
∵•BC•AH=•AB•AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC==，
故答案为：．

16.【答案】解：原式=•-+x
=•-+x
=-+x
=，
∵x2-5x+2=0
∴x2+2=5x，
∴原式==5．
【解析】

先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分后通分得到原式=，再利用满足方程x2-5x+2=0得到x2+2=5x，然后利用整体代入的方法计算原式的值．
本题考查了分式的化简求值：化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了一元二次方程的解．

17.【答案】   60°
【解析】

解：（1）解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ==；

（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ==，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=，
在Rt△QPO中，tan∠POQ===，
则∠POQ=60°，
故答案为：，60°．
（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理求出PQ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ的长，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，再求出即可．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．

18.【答案】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG=2GE=BC，
∴BC×DF=BC×FC，
∴2FC=DC，
2BC+8FC=120，
∴FC=，
∴y与x之间的函数关系式为y=3FC×BC=x2（120-2x），
即y=-x2+45x，（0＜x＜60）；
（2）y=-x2+45x=-（x-30）2+675
可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．
【解析】

（1）三个矩形的面值相等，可知2FG=2GE=BC，可知：2BC+8FC=120，即FC=，即可求解；
（2）y=-x2+45x=-（x-30）2+675即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大值的问题常利函数的增减性来解答．

19.【答案】解：（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：（-1，2），（-3，1），（0，-1）；
（2）△A1B2C如图所示，A1，B1的坐标分别为（3，0），（2，2）．

【解析】

（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；
（2）分别画出A，B的对应点A1，B2，写出A1，B1的坐标即可．
本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20.【答案】解：（1）∵二次函数最高点也是函数的顶点（2，5），
∴函数的表达式为y=a（x-2）2+5，
把（0，4）代入上式，解得：a=-，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）原方程变形为：-x2+x+4=3，
∴上述问题转化为-x2+x+1=0根的情况，
∴函数值为3的点由2个，
因此方程-x2+x+1=0由两个不相等的实数根．

【解析】

（1）二次函数最高点也是函数的顶点（2，5），函数的表达式为y=a（x-2）2+5，把（0，4）代入上式，即可求解；
（2）原问题转化为-x2+x+1=0根的情况，函数值为3的点由2个，因此方程-​+x+1=0由两个不相等的实数根．
本题主要考查的是二次函数表达式的求法，涉及到根的判别式，这是一道基本题．

21.【答案】（1）证明：∵△=（3-k）2-4×（-1）（k-1）=k2-2k+5=（k-1）2+4＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）解：∵二次函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，二次项系数a=-1，
∴抛物线开口方向向下，
∵△=（k-1）2+4＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=3-k＞0，x1•x2=-（k-1）≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1．
【解析】

（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，又=（k-1）2+4＞0，所以抛物线的顶点在x轴的上方经过一、三、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向下，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．

22.【答案】相等   垂直
【解析】

（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为：相等，垂直．

（2）答：成立，
证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．

（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同（1）可证
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°-90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG
（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．
本题主要考查对等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．

23.【答案】解：（1）把交点坐标为（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式：
解得：a=1，b=-2，
故：二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，

把A（2，-3），B（-1，0）代入一次函数表达式得直线AB的方程为：y=-x-1，
设：D（m，m2-2m-3），E（m，-m-1），
∴DE=-m-1-（m，m2-2m-3）=-m2+m+2，
S△ABD=DE×（xA-xB）=-（m-）2+，
∴当D坐标为（，-）时，△ABD的面积最大；
（3）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，

∵四边形ANM1B为平行四边形，
∴△ANH≌△BM1G，
则M1的横坐标为：-2，代入二次函数表达式，
解得：M1坐标为（-2，5）；

∵四边形ANM2B为平行四边形，
∴△ABG≌△NHM2，
则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，
解得：M2坐标为（4，5）；
当AB时平行四边形的对角线时，下图所示，

M3与点C重合，
故M3（0，-3）；
故M点的坐标为：（0，-3）、（4，5）、（-2，5）．
【解析】

（1）把交点坐标为（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式，即可求解；
（2）用S△ABD=DE×（xA-xB）即可求解；
（3）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，当AB时平行四边形的对角线时，M3与点C重合，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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