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2021年内蒙古满洲里市中考数学一模试题

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2021年内蒙古满洲里市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．4的算术平方根是（）A．-2
B．2
C．2
D．2
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（）A．3xx＝3
C．x1＝x22x1
2
B．aaD．2a2
34
1
a

3
6a6
4．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）

A．B．C．D．
5．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根C．有且只有一个实数根
B．有两个相等实数根D．没有实数根
6．一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（）A．4，1
B．4，2
C．5，1
D．5，2
7．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为(

A．60(3+1米B．30(3+1米C．(90﹣303米D．30(3﹣1米

8．某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为(A．
300200

xx30
B．
300200

x30x
C．
300200

x30x
D．
300200

xx30
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（）

A．10°B．20°C．30°D．40°
10．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过911．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴，CA⊥x轴，点C在函数y=的正半轴上，∠ABC=90°则k的值为（）
k
（x＞0）的图象上，若AB=2，x

A．4
B．22
C．2
D．2

12．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中CD与BE、AE分别交于点P、M．∠ABC=∠AED=90°，对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（）

A．①②
二、填空题
B．①②③C．①②③④D．①③④
13．因式分解：x3-25x______．
14．半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是__cm．15．当x2时，代数式
2x1x1
x的值是______．xx
16．直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则此三角形周长为_____．17．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a11，a23，a36，a410，…，那么
a4a112a1010的值是__________．


三、解答题
18．计算：（﹣1）2018﹣8+（π﹣3）0+4cos45°
2x1x

19．解不等式组：x5，并把解集在数轴上表示出来．
x12

20．已知直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，且过点（1，﹣3）．


（1）求这个一次函数的关系式？（2）画出函数图象．
（3）该函数图象与两个坐标轴围成的三角形的面积？
21．完全相同的四张卡片，上面分别标有数字1，2，﹣1，﹣2，将其背面朝上，从中任意抽出两张（不放回），把第一张的数字记为a，第二张的数字记为b，以a、b分别作为一个点的横坐标与纵坐标；求点（a，b）在第四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
23．今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年.某校对全校学生进行了中期检测评价,检测结果分为A(优秀、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级.并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理,制作了如下所示不完整的统计表（图1）和统计图（图2）．


请根据图1、图2提供的信息，解答下列问题：（1）本次随机抽取的样本容量为；（2）a；b；（3）请在图2中补全条形统计图；
（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A(优秀”等级的学生人数为人．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．(1求证：∠CBF=
1
∠CAB；2
(2若CD=2，tanCBF
1
，求FC的长．2

25．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;

（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．



参考答案
1．B【解析】
试题分析：因224，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B．考点：算术平方根的定义．2．C【解析】【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】
解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C.【点睛】
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键.3．B【解析】【分析】
根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】
A.原式=2x，故A错误；
aaB.
34
1
,故B正确;a
C.原式=x2-2x+1，故C错误；D.原式=-8a6，故D错误；故选：B．【点睛】
考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

4．C【分析】
由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【详解】
由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，所以其主视图为：

故选C．【点睛】
考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．A【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
（1）×（﹣3）=13＞0，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6．B【解析】【分析】
根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题．【详解】
数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，

x
13444556
4，
8
2
2
2
2
2
2
2
2
1434444444545464则s2＝
8
=2，故选B．【点睛】
本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．7．B【分析】
作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】
作BD⊥CA交CA的延长线于D，

设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD
BD
3x，
tan30
∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则3x﹣x＝60，解得x
60
30(31，31
答：这段河的宽约为30(3+1米．故选B．【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键．8．C【分析】
乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运x30件电子产品，根据300甲的工效200乙的工效，列出方程即可．【详解】
乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运x30件电子产品，依题意得：故选C．【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键
错因分析：中等题.选错的原因是：未能读懂题意导致不能列出正确的等量关系.
300200
，
x30x
.
9．B【分析】
根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论.【详解】
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，∴∠AB1B＝80°，∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，∴∠BAB1＝20°，∴∠CAC1＝20°，故选：B．

【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.10．D【解析】【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】
解:根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为
3
，不符合题意；5
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为
1
，不符合题意；2
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为
1
，不符合题意；4
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为
1
，符合题意，3
故选D．【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．A【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=2，然后根据反比例函数图2，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C（2，22）象上点的坐标特征计算k的值．【详解】作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=2AB=22，∴BD=AD=CD=2，∵AC⊥x轴，∴C（2，22），把C（2，22）代入y=故选A．
k
22=4，得k=2×
x

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=
k
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的x
横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.
12．D【解析】【分析】
①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=2AB代入，即可求出答案；③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【详解】
∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，-45°-45°=90°∴∠CAE=180°，即∠CAM=∠DEM=90°，∵∠CMA=∠DME，

∴△CAM∽△DEM，故①正确；由已知：AC=2AB，AD=2AE，∴
ACAD
，ABAE
∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD，∴
BEBABABE
，即，即CD=2BE，故②错误；CD2BAACCD
∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴
MPME
，MAMD
∴MP•MD=MA•ME，故③正确；由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°
-∠BAC-∠EAD=90°∵∠CAE=180°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=2AB，
∴2CB2=CP•CM，故④正确；即正确的为：①③④，故选D．【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．

13．x（x+5）（x-5）【解析】【分析】
首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．平方差公式为ababab
2
2
【详解】
解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）．故答案为：=x（x+5）（x-5）．【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．14．53【分析】
由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．【详解】
设底面圆的半径为r．
∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，∴r=5（cm），∴圆锥的高hl2r253（cm）．故答案为53．
18010
2r，解得：
180

【点睛】
本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．15．3【解析】【分析】
括号内先通分进行分式加法运算，然后进行分式乘除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得．【详解】

2x1x2x
解：原式xxx1
(x12x
=
xx1
x1，
当x2时，原式213，故答案为3．【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．16．24．【分析】
⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出四边形CDIF是正方形，则CD＝CF＝2，根据切线长定理，得到AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，然后根据线段的和差关系，即可得到答案.【详解】
解：⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，

则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝2，∴四边形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝2，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，∵直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，∴AB＝10＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝10+2+2+10＝24，故答案为：24．【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆与外心，内切圆与内心，正方形的判定和性质，切线的性质，切线长定理等知识点的综合.解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.17．11【解析】
n(n1
，再求出a10、a11的值，代入计算可得．2
n(n1
，详解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=
2
10111112
=55、a11==66，∴a10=22
分析：由已知数列得出an=1+2+3+…+n=55+10=-24，则a4+a11-2a10+10=10+66-2×故答案为-24．
点睛：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=1+2+3+…+n=
n(n1．2
18．2【解析】【分析】
本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】
解：原式=1-22+1+4×=1-22+1+22，=2．【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．19．则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.【分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【详解】
2
，2

2x1x①
，x5
x1②2
解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：
.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.
20．（1）y＝2x﹣5；（2）如图所示，见解析；（3）该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是【分析】
（1）利用两直线的平行确定比例系数k，再将点（1，3）代入，即可确定解析式；（2）分别求出该直线与两坐标轴的交点坐标，再过这两个交点画直线即可；（3）利用三角形的面积公式，即可求得面积.【详解】
解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，∴k＝2，
∵直线y＝2x+b过点（1，﹣3），∴2+b＝﹣3，∴b＝﹣5，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；（2）∵y＝2x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5；当y＝0时，x＝2.5，过（0，﹣5）、（
25
．4
5
，0）画直线，得到函数y＝2x﹣5的图象，如图所示：2


（3）如图，该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是：【点睛】
1525
.5
224
本题考查了两条直线的平行问题，若两直线平行，则k1k2，也考查了一次函数的图像和性质，以及三角形的面积.解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，正确画出一次函数的图像.21．
1
3
【分析】
列举出所有情况，看横坐标为正，纵坐标为负的情况占所有情况的多少即可．【详解】
解：共有12种情况

在第四象限的有4种情况，所以概率是【点睛】
1．3
本题考查列表法与树状图法；点的坐标．22．（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．【分析】
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，

即可求出∠BDF的度数.【详解】
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.23．（1）100；（2）30；0.31；（3）补图见解析；（4）240．【分析】
（1）根据统计图表中的数据可以求得本次的样本容量；
（2）根据（1）中的样本容量和表格中的数据可以求得a、b的值；（3）根据a的值可以将条形统计图补充完整；（4）根据统计图中的数据可以解答本题．【详解】
0.35=100，解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷故答案为100；（2）a=100×0.3=30，b=31÷100=0.31，

故答案为30，0.31；（3）由（2）知a=30，
补充完整的条形统计图如图所示；

（4）800×0.3=240（人），故答案为240．【点睛】
本题考查条形统计图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．（1）见解析；（2）FC=【分析】
（1）利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠EAC=∠BAE=∠CBF，即可证明.
（2）连接BD，由∠DBC=∠CBF.得到tan∠DBC=
10
.3
1
∠CAB，由弦切角定理可得2
1
.得出BD=4.设AB=x，则AD=x2，2
在RtΔABD中，根据勾股定理求得AB=5，证明ΔABD∽ΔAFB，根据相似三角形的性质即可求解.【详解】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，.∴∠AEB=90°
∴∠BAE+∠ABC=90°，∵AB=AC，∴∠BAE=∠EAC=
1
∠CAB.2
∵BF为⊙O的切线，

.∴∠ABC+∠CBF=90°∴∠BAE=∠CBF.∴∠CBF=
1
∠CAB.2
（2）解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，.∴∠ADB=90°∵∠DBC=∠DAE，∴∠DBC=∠CBF.
1.21
∴tan∠DBC=.
2
∵tan∠CBF=∵CD=2，∴BD=4.
设AB=x，则AD=x2，
在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5.∴AB=5，AD=3.
∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF.∴ΔABD∽ΔAFB.∴AB2ADAF.∴AF=
25
.3
10.3
∴FC=AF-AC=【点睛】
考查切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，难度较大.25．（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.

【解析】
【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；
（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x]=（50-x）盆，由题意得W1=(50+x(160-2x=-2x²+60x+8000，W2=19(50-x=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，∵-2＜0，-
41
=10.25，
2（-2）
故当x=10时，W总最大，
W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.
26．（1）CD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）1；（3）见解析；（4）t的值为
13
秒或秒
42
或
5
秒．4
【解析】
【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；
（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．
，AB=4，【详解】（1）在Rt△ABC中，∠A=30°
∴AC=23，∵PD⊥AC，
，∴∠ADP=∠CDP=90°在Rt△ADP中，AP=2t，

∴DP=t，AD=APcosA=2t×
3
=3t，2
∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，=∠A，∴∠PQD=30°∴PA=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，
∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；
（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=当1＜t＜2时，如图2，
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=23t﹣23=23（t﹣1），，在Rt△CEQ中，∠CQE=30°∴CE=CQ•tan∠CQE=23（t﹣1）×
1132
DQ×DP=×3t×t=t，222
3
=2（t﹣1），3
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=
11332×3t×t﹣×23（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣t+43222
t﹣23，
32
t0＜t1
2
；∴S=
33t243t230＜t＜2
2
（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，，PG=∴∠PGF=90°
111
PQ=AP=t，AF=AB=2，222

，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=
1
；2
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，，AN=∴∠QMN=90°
111
AC=3，QM=PQ=AP=t，222
MQ23
t，
cos303
在Rt△NMQ中，NQ=∵AN+NQ=AQ，∴3+
23
t=23t，3
∴t=
3，4
当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=
11
BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，22
，∵∠ABC=60°=∠H，∴∠BFH=30°∴BH=BF=1，
在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=
5，4
t的值为即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，
135
秒或秒或秒．
442


【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，根据题意准确作出图形、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/73bac3d5a01614791711cc7931b765ce04087a1a.html

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