配套K122018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线模拟演练 理

2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线模拟演练 理

[A级　基础达标](时间：40分钟)

1．[2017·唐山统考]“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

2．[2017·北京模拟]若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

答案　B

解析　由离心率为，可知＝.又c2＝a2＋b2，b＝a.因此双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.

3．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是(　　)

A．4 B.

C．－ D．－4

答案　C

解析　依题意得m<0，双曲线方程是x2－＝1，于是有＝2×1，m＝－.

4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　A

解析　圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近

线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝32－22＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.

5．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．(1，) B．(1，]

C．(，＋∞) D．[，＋∞)

答案　C

解析　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，∴e＝＝>＝.

6．[2017·海口调研]已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．

答案　2

解析　∵|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，∵△PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，∴＝2.

7．[2016·浙江高考]设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

答案　(2，8)

解析　由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．

8．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点为F1，F2，点P为左支上一点，且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．

答案　

解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

所以

所以mn＝4，所以S△F1PF2＝mnsin60°＝.

9．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．

解　(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，

由已知可得左、右焦点F1、F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，

又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.

(2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，

联立双曲线及直线方程消去y，得2x2＋4x－7＝0，

设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，

由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.

10．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.

(1)求双曲线Γ的方程；

(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．

解　(1)∵双曲线－＝1过点(2,1)，

∴－＝1.

不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝2，

∴所求双曲线的方程为－y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，

整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.

∴x1＋x2＝，①

x1x2＝.②

∵·＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，

∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③

将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，

∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.

而P∉AB，∴m＝－6k－3，

从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.

将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，

判别式Δ＝8(34k2＋36k＋10)>0恒成立，

∴y＝kx－6k－3即为所求直线．

∴P到AB的距离d＝＝.

∵2＝＝1＋≤2.

∴d≤4，即点P到直线AB距离的最大值为4.

[B级　知能提升](时间：20分钟)

11．[2016·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A. B.

C. D．2

答案　A

解析　∵sin∠MF2F1＝，∴|MF2|＝3|MF1|.

∵2c＝＝2|MF1|，

∴c＝|MF1|，

∵2a＝|MF2|－|MF1|，∴a＝|MF1|，∴e＝＝.故选A.

12．[2017·河北模拟]已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　B

解析　由已知kAB＝kFN＝＝1.

设E：－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴－＝1，－＝1，

则－＝0，

而∴＝＝1，

∴b2＝a2.①

又c2＝a2＋b2＝9，②

联立①②解得a2＝4，b2＝5，

∴E的方程为－＝1.

13．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________________．

答案　y＝±x

解析　设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，Q(c，－y0)，

代入双曲线方程，得y0＝±，

∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.

在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，

∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.

又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)．

∵a>0，b>0，∴＝.

故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.

14．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

解　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2，得b2＝1.

所以双曲线C的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，

整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由题意得

故k2≠且k2<1.①

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝.

由·>2，得xAxB＋yAyB>2.

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)·xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3.②

由①②得<k2<1，

所以k的取值范围为∪.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7310cdaa53d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f62.html