2018-2019学年河南省天一大联考高二下学期期末测试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省天一大联考高二下学期期末测试数学（理）试题

一、单选题

1．8b086557dd80fddc277868c4bbfd369d.png（ ）

A．dd4f466249a4326d1108ebd55a369f30.png B．eaa98950b2a6fabb3f4c4c90311d8d45.png C．d661b253de507eb527451112eb35fcf8.png D．ddd043ac98dab5ecf9743144b1fddce0.png

【答案】A

【解析】根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】

036e3605d02fdd06df481b8dcf945f93.png.

故选：A

【点睛】

本题考查复数的代数运算，属于基础题.

2．已知集合53acd94d1c1619520dfc3725c21faa3a.png，75c8e6883357148c4413f8c1a2440eb5.png，且8222227339e31b091463424292a35628.png，则实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的值是（ ）

A．768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png B．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png C．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png D．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png

【答案】B

【解析】根据已知，将选项代入验证即可.

【详解】

由8222227339e31b091463424292a35628.png，知c26c9d843031588bee9bcd7b70e95c7e.png且e772b3e683eaf655877618b164c1b61e.png，

经检验a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png符合题意，所以a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png.

故选：B

【点睛】

本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.

3．给定下列两种说法：①已知8a435ca3f0a45173984847eaadccf8e0.png，命题“若9fa09ff69ef9c8716945a7e3f3bc0502.png，则12166eaa1e513c50aa40caf232e740de.png”的否命题是“若437fa17b8f4da3f2a4d3c691c2fc384c.png，则85b9f2b81908551ab0a0155f10ed8c32.png”，②“8803b8fd62cca48e70f3c918de437558.png，使53bcd20fb8f111af97f23b7518f8a831.png”的否定是“b9e9d4f269543a3b4fe2f566494af63e.png，使b23db48f1107a994ecfb07c3e4d3077f.png”，则（ ）

A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确

【答案】D

【解析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假.

【详解】

①中，同时否定原命题的条件和结论，

所得命题就是它的否命题，故①正确；

②中，特称命题的否定是全称命题，

所以②正确，综上知，①和②都正确.

故选：D

【点睛】

本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.

4．已知cdcadd3477fc9e75a5a8d0b5abdd3ed0.png，则28aebf4f963f3de90b8e762c1dc75016.png（ ）

A．fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png B．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png C．9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png D．6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png

【答案】A

【解析】根据已知结合二倍角的正弦，求出ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png，再由二倍角的正切公式，即可求解,

【详解】

由16faf407e9eb16a49baa80117e10f3ba.png，得1319689460f543a08132520ca2f0763b.png.

又因a3488bfe51c7204de264640cae6b9b6a.png，得23bcaccb497d6c8d1157c6e01ea4f58b.png.

所以cf9ee70d9229d0858d30b819247f761a.png.

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题.

5．过抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png的焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png交抛物线于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，其中点2f45443fd49e5276f4e3529b89e0038a.png，且e4f555810a457b7030eb70f4775c5143.png，则8a3692ef966ec7d03a02c73291943a0b.png（ ）

A．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png B．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png C．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png D．c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png

【答案】C

【解析】由已知可得08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png，再由7e461b65a15e37c7dd8377678a17bcf4.png，即可求出结论.

【详解】

因为抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png的准线为4e6606ede92d865fb30af080f1db42e2.png，

点2f45443fd49e5276f4e3529b89e0038a.png在抛物线上，所以08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png，

69d0de519c3fe7d2161807cfb8385b55.png.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题.

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．8d4c559866def6a03270d9c7dc645e28.png B．4c1142fed80451fdbf8cde493f60ecae.png C．72f64f49f02c97a3a50c4f81bab71e68.png D．280e7c7922acbcdce67a6d9943698d1f.png

【答案】B

【解析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解.

【详解】

该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．

∴该几何体的体积Vb79ebb7c312a98b5f7545fdbed16763e.png641cd7376859724be8808671f1680855d9.png．

故选：B．

【点睛】

本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布14e9f52a1a515ddb9996e9d5f24a6d5c.png，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间0550614125e4fa5727d8ccf79d54ee91.png内的概率为（ ）

（附：若随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从正态分布57fdc74864cca41df3aa3e5d7dd2786c.png，则7794875935eb0fa5772cb7ed7d53f6c9.png，fc589e70bbd8cb97c9935e97398c2a68.png）

A．43738f7372c8ba786428bab8d29b09ba.png B．966d010d95598a5d71369c205066608b.png C．f155be969fb885b6c522c2d0633b0f1e.png D．cae412a5535327fe778860aa7399e402.png

【答案】C

【解析】根据已知可得eeeabe7e885200ce47559a230fd93832.png，结合正态分布的对称性，即可求解.

【详解】

52113246d2a0fc94328ecfc08156aa61.png

2095fc981081494eafdd2c4e2fdd06ef.png.

故选：C

【点睛】

本题考查正态分布中两个量a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png和3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.

8．已知b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png为两条不同的直线，5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png为两个不同的平面，则（ ）

①若44b2a9a58f4915c0e3613fc771547961.png，9e5f285fc817705360d4fea2fe172ce8.png，且ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png∥dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png∥92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；

②若44b2a9a58f4915c0e3613fc771547961.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png∥dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，且ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png∥dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，则166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.png；

③若0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png∥ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，9e5f285fc817705360d4fea2fe172ce8.png，且31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png∥92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；

④若44b2a9a58f4915c0e3613fc771547961.png，9e5f285fc817705360d4fea2fe172ce8.png，且31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png，则166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.png.

其中真命题的个数是（ ）

A．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png B．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png C．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png D．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png

【答案】B

【解析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.

【详解】

由9e5f285fc817705360d4fea2fe172ce8.png且dac87ce23f58f8d3aaabc2785ff234ea.png，可得f1819294f2f898c2a704e2e0cbe4d8c9.png，

而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；

由于dac87ce23f58f8d3aaabc2785ff234ea.png，44b2a9a58f4915c0e3613fc771547961.png，所以01a05d341cde5316f3ee1560ff408ccc.png，则166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.png，故②正确；

若0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与平面5f2abeeac98cd1096d5658f9f306e651.png的交线平行，则166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.png，

故不一定有151729db6910a7462774da4c7dfab5b3.png，故③错误；

设d29c2722e38929bb69dca020e12397af.png，在平面dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png内作直线c963612bc4e86b55f2fd11cbd7b5ced4.png，

31d9b614d5dd01d906e153e85b0df940.png，则919cb3c103323c1a9df5a94cece929c7.png，又44b2a9a58f4915c0e3613fc771547961.png，所以9767dc0d5be624508745b9d33cf853a3.png，

4f4b8a61bac02c39a074e865cb2eaf30.png，所以d1ff44ecc164b6de6256d6c5b6720d2a.png，从而有3dbf4fb5fb70dc50a14ed584f26815f4.png，

故④正确.

因此，真命题的个数是eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png.

故选：B

【点睛】

本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.

9．函数9d931719e47a9e339f6fe6fc2ff959da.png的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png图象是由函数3233e1859b1598fc57bf952c7e4e728b.png图象向左平移1个单位，做出函数3233e1859b1598fc57bf952c7e4e728b.png的图象，即可求解.

【详解】

作出函数55cbb12d628b83be5ea29697003ae13c.png的图象，如下图所示，

将3233e1859b1598fc57bf952c7e4e728b.png的图象向左平移c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个单位得到9d931719e47a9e339f6fe6fc2ff959da.png图象.

故选：B

【点睛】

本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题.

10．已知双曲线2fd20d35df801b1834efd73a88ee9ef7.png的一条渐近线方程为646b34b0c029d23601db9781b7cc017c.png，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为该双曲线上一点，8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png为其左、右焦点，且90afc094c54cd97d8839e6391e7c1020.png，ee1fa397244d6fe4d6eb44a57bab88b4.png，则该双曲线的方程为（ ）

A．7867d94b109b02b45160804a955a30e6.png B．c45a4faa0bc8dda43c319cace375b007.png C．c8783276562fbd5336d0fbcbf93c1dda.png D．31c6d0621f77b8f73a33b3d7d6d7b2ed.png

【答案】D

【解析】设5211521390df1d0907686f0f2b488a10.png，根据已知可得ba4cfd389678a9cf0db9e89eaaa5da49.png，由90afc094c54cd97d8839e6391e7c1020.png，得到9ecc0e27afdbffef170196db32739c10.png，结合双曲线的定义，得出885bb818dd46702aecf315f0d71cb559.png，再由已知求出92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，即可求解.

【详解】

设4cc866ca476de9f41dc284d73b9c5904.png，则由渐近线方程为646b34b0c029d23601db9781b7cc017c.png，ba4cfd389678a9cf0db9e89eaaa5da49.png，

又efff79e8b72fd763f236b67907b8a013.png，

所以6c9dc2e9fc7fcd55f455482919fc36dc.png

两式相减，得d16c3ef36f0f5a02fcebc405f4e15128.png，

而ee1fa397244d6fe4d6eb44a57bab88b4.png，所以39f591a63453c2f6f3fae16c233d778e.png，

所以55a126c3d77ecdcb094e57308188d40d.png，所以6882b97f99ae605d5b88d7302c39e8a6.png，3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png，

故双曲线的方程为31c6d0621f77b8f73a33b3d7d6d7b2ed.png.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.

11．已知函数902776454aaf53349aa759d00c767eec.pngf2c87e812015ee471ad38b17aec13cde.png在区间91754c9e2b8742dab044b8df1d95b941.png上为单调函数，且c192f476f1dcbd9c7b52ccfe452dc73e.png，则函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的解析式为（ ）

A．deb75401d61dd13458f3939f7b8713bc.png B．5e8a613305c2c5260683cb5a5c0a1bfc.png

C．73829d2822abf6adc87d64eb72a5bc1f.png D．e43e560d8ff9d876b8fc26633ce3ef7d.png

【答案】C

【解析】由函数在区间91754c9e2b8742dab044b8df1d95b941.png上为单调函数，得周期24de48e923a9405b4e31dcfbe43ea698.png，687df43384dc25c607cdd1a1c12ddbad.png，得出图像关于4fac1708bdf0e88ef48ef1219f0a215d.png对称，可求出6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png，3e75bea38eb05fc33d5987c52ced43a8.png，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.

【详解】

设ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最小正周期为b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间91754c9e2b8742dab044b8df1d95b941.png上具有单调性，

则76b82d6a4e1a1f1d513169e8317c3cab.png，即24de48e923a9405b4e31dcfbe43ea698.png，由687df43384dc25c607cdd1a1c12ddbad.png知，

ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有对称中心4fac1708bdf0e88ef48ef1219f0a215d.png，所以577badb1a3806e3e9248e73b28a1d79b.png.

由3e75bea38eb05fc33d5987c52ced43a8.png，且24de48e923a9405b4e31dcfbe43ea698.png，

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有对称轴b4eabec076dcf160a56a5bbd8a960292.png.

故e8765014577ea83073183edc453edfee.png.解得db6ad471a30860374f0913776190eacb.png，于是15eaca4a440c0fb64f11105056eb3d64.png，

解得486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png，所以73829d2822abf6adc87d64eb72a5bc1f.png.

故选：C

【点睛】

本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.

12．若函数660ac0937c40055fe6f88f6ad2d3f196.png在区间13228d9205fb6a8141ee0b78025764fa.png上的最小值为eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png，则实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为（ ）

A．11bf4aa6706937636de8b6ebb7fc3a92.png B．bba19fea927b71d74e753f2487e107fd.png C．7b41f29ad6d7ae06b9db01376d8c9457.png D．e829777ab97c93ef78b95b37ec071e96.png

【答案】A

【解析】求出37b36ce6a38cafd5a171742a9b19b8c6.png，717de09c44fdd5a9db6b06fca60ea158.png（或50aa9ceb3f0f0285fb6751074e33e726.png）是否恒成立对0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的关系式，求解即可.

【详解】

14d17515790fa64851bab2dce86a874b.png.

（1）当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在13228d9205fb6a8141ee0b78025764fa.png上单调递减，a632cd39848618d98b0b4f438a6d70ae.png，2aa02c7c4aa11dfb99c4e5f5266f935c.png（舍去）.

（2）当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，a5b33553c80c7ba7ec72b2c389f4dc4c.png.

①当e619911332f9ac7e37c6412fcd32a7f8.png时，f5b7a1d52d81ba5709cd649ebcd1a339.png，此时ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png在13228d9205fb6a8141ee0b78025764fa.png上恒成立，

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在13228d9205fb6a8141ee0b78025764fa.png上单调递减，

a632cd39848618d98b0b4f438a6d70ae.png，解得2aa02c7c4aa11dfb99c4e5f5266f935c.png（舍去）；

②当574f9e50879139d40732464bf6f28a4a.png时，18a63b967773b4ef782b8f3c5a74db1b.png.当ae465866d853cb47a727933a4d763495.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在c488f46140b1f90f6869b16c188caaf4.png上单调递减，

当356ce8eaf03d99fce32cd1a2ac09c5b5.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1bcdf9d1b7483ca36457ac9108f067d4.png上单调递增，

于是ac70f25628126066c6d4960e9525705d.png，解得e1ee1444be4895fe96a6e22e1ca49783.png.

综上，e1ee1444be4895fe96a6e22e1ca49783.png.

故选：A

【点睛】

本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.

二、填空题

13．已知非零向量d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png满足122805d36897ada6c9276f03a8c8c141.png，bdd50184e4c3a7d644f56e329b1062b7.png，且afdd6524a72274834c043ee4319629a7.png，则实数e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png的值为______.

【答案】6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png

【解析】由已知afdd6524a72274834c043ee4319629a7.png，根据垂直向量的关系和向量的数量积公式，建立关于8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的方程，即可求解.

【详解】

由122805d36897ada6c9276f03a8c8c141.png，又由afdd6524a72274834c043ee4319629a7.png，

得0167f7b813ebc7911ed45d71ff56cad8.png.

f00cafbf07c7b1371a3cc4d68502073d.png，解得6778709e2e310ad5c7d003349fd62ebc.png.

故答案为：6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png

【点睛】

本题考查向量垂直、向量的数量积运算，属于基础题.

14．若6474eb6d5741de5fe7d5d25aff02b6c0.png的展开式中的常数项为335f5352088d7d9bf74191e006d8e24c.png，则实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为______.

【答案】c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png

【解析】求出6474eb6d5741de5fe7d5d25aff02b6c0.png的展开式的通项，令9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的指数为0，求出常数项，建立0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的方程，即可求解.

【详解】

依题意6474eb6d5741de5fe7d5d25aff02b6c0.png展开式的通项公式为0cc2b6fc97e74cebd0d09aa69a5fbf49.png.

令d21a7db3194089667c5232042347b3e2.png，得654f1c34870e04e1e4bf6b9b43ca4ac0.png，

所以展开式中的常数项为93b89099e8f18d0f40b8abb41ace11f9.png，解得6b66d1548863e49392fd01c2d8ae2f56.png.

故答案为：c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png

【点睛】

本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.

15．已知f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png满足约束条件cc99959289ed07fb95854828135ab64b.png则ce7d992f1195c596cc2a2ce628c16d66.png的最大值为______.

【答案】1

【解析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

约束条件c324a8f19ddcb1572f32620f9b7402b1.png表示的可行域如图中阴影部分所示.

由259e66491bc0ed91ad7f22dc3488d5bf.png得66546f0cdfec06dafd14f7fc1739c87d.png，

则目标函数ce7d992f1195c596cc2a2ce628c16d66.png过点66546f0cdfec06dafd14f7fc1739c87d.png时，

fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png取得最大值，fd76621b117c5b8c42d4d31c4635d206.png.

故答案为：1

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

16．在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，内角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png的对边分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，已知bde97be775f5ba63df44a5ca8c2bb601.png，8c4b84baf4122288148504a762e5b37a.png，则b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png的取值范围为______.

【答案】a6f1e7c485ac1ef0401b58ce0cda57ab.png

【解析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，已知92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，由余弦定理和基本不等式，求出b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png的最大值，结合fc6bdd1e2f6c337009bee26eba6bfc92.png，即可求解.

【详解】

由正弦定理及8c4b84baf4122288148504a762e5b37a.png，

得762c1da5ba377801323f334e08adbfab.png.

因为fb6b960477aefc68b4b80ddc6efbdf40.png，所以f73978efd54081ae7e21fd5e755e9afd.png.

化简可得144fbdc3144d18a4da6d0d49e6d3d13c.png.因为1ea71b3b15773a60bd2c315871c3b146.png，所以97946c62ff40aafd372ff171d980c1e1.png.

因为c79e3da6e11f697c4b773a2c74de8b6d.png，所以e0ecd6e2eb1198b5edce1dba610e4857.png.

由已知及余弦定理，得30468c5cb10ca0c42e3f6f6b2302b4a4.png，

即a1a37f92ffaf354314328b4fc6089df2.png，因为323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，96df96dd95bbf61a8224853c7a06c48c.png，

所以729d86ead2582cd1611f7d70c83fb786.png，得7f2808725ba1bd3eebb8df7f511ab327.png，

所以75356de0e7993cb4c95639fff2c81e56.png，当且仅当823a24e8deec2fa477673a0d042997ec.png时，取等号.

又因三角形任意两边之和大于第三边，所以1e46359d3f615ab500c3008680d24785.png，

所以d9d1cdd004a194ab39c0239b33bc9fdd.png.故b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png的取值范围为12b8ea649d3069fd22ba25cf27551983.png.

故答案为：12b8ea649d3069fd22ba25cf27551983.png

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，7d4bf9d03df546c3833baf12afbd2c7b.png.

（1）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）设2712bba629eabb58747f201092124603.png，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，求0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值.

【答案】（1）d414fe186a1e344bb7bbdfe41facf986.png；（2）491d7f65f4a6a5115d9ef36c549e0692.png

【解析】（1）求出公差8277e0910d750195b448797616e091ad.png，根据通项公式即可求出d414fe186a1e344bb7bbdfe41facf986.png；

（2）由（1）可写出d68c95b62e54b143ebddb4b9547bc6c4.png，则数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是等差数列.根据通项公式求出使得c864ed88353e27568c053dd2c46d1087.png的7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的最大值，再根据前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式求出0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png（或根据前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式求出0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，再根据二次函数求最值，求出0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值）.

【详解】

（1）方法一：由ddfa03a641501aaa46d65e4841a32caa.png，

又因为4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，所以1b47cf9b9f7232ecadb3abba46bc224f.png.

所以数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差3830ffcf98d27fffa7524b3f6f3b62ce.png，

所以253f8c8685e6bd8d175620381babaf08.png.

方法二：设数列的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png.

则e5d0e58becfbc5548f6e90325ba0a704.png.

a32bd90ad5beb7523a3d2aa7d0666a75.png.

得cdf729c03df18f46e35e8fb096a71c43.png.

所以253f8c8685e6bd8d175620381babaf08.png.

（2）方法一：由题意知d0cdbcbd9619f903fc0693065d64da06.png.

令70ce98f99452789db95280fb20c3425a.png得cecb3c56740d66ed4814d4b101d6745b.png解得bb643a86a41153926aa2fe34ec440ec3.png.

因为f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png，所以a6d1bf1f6ad56b6b9592a1078d560d7d.png.

所以0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值为

56f6c6e418b04b3c0ecaba43603d9321.png.

方法二：由题意知d0cdbcbd9619f903fc0693065d64da06.png.

因为9b49db90c720952bf2e1d1a88901f246.png，

所以数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是首项为d9042c9256be5f5aa35097e4971f22f3.png，公差为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png的等差数列.

所以f6f6aa7514258bef2401f3ff4dd41cec.png.

所以当a6d1bf1f6ad56b6b9592a1078d560d7d.png时，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png取得最小值，

最小值为a85a9fba9b4fbc7076792614b45e94c7.png.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式，考查学生的运算求解能力.

18．“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png三种品牌的店，其中7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png品牌店c0c7c76d30bd3dcaefc96f40275bdc0a.png家，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png品牌店34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.png家，92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png品牌店98f13708210194c475687be6106a3b84.png家.

（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这f899139df5e1059396431415e770c6dd.png家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有98f13708210194c475687be6106a3b84.png家，则4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png品牌的店各应抽取多少家？

（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个白球和1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个红球.顾客可以一次性从盒中抽取eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个球，若是eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个红球则打六折（按原价的e2120c5eb916dba450340fc8d63df4bd.png付费），c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个红球c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个白球打八折，c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个红球c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个白球则打九折，eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个白球则打九六折.小张在该店点了价值f899139df5e1059396431415e770c6dd.png元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列与数学期望.

【答案】（Ⅰ）9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png品牌店1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png家，应抽查92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png品牌店a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png家；（Ⅱ）分布列见解析，fe8ea23bc5727c8771b74076c279d6c5.png

【解析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；

（2）求出随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.

【详解】

（Ⅰ）由题意得，应抽查9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png品牌店2dbec36d80f2213bea5e8fe0bc22f7d0.png家，

应抽查92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png品牌店1b29a3f3ed431912a736d67ecd8efb6c.png家；

（Ⅱ）离散型随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值为de2a34fa8e9179b423427bc4f4afacc7.png.

于是41bc384577b690cd17720f1f359c54ad.png，751bf49ddb4c66c9a2b216c3e5c7dad7.png，

b97fe502b5578804c1c625d89ca4ace5.png，e07100302ab4e59b5cb38b8cf8922196.png.

02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列如下

所以fd32452f1eb799cd64e06305fea5bd16.png

【点睛】

本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.

19．如图所示，在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为直角梯形，其中ced3ee97e33686812109075e4345e484.png，且dda03863cd4e617711bb1dd8fee862b8.png，c35e42752132cf7a443d853ea352cc3b.png，c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png是adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png的中点.

（Ⅰ）求证：429252b3460ef201b1c7e217c283268e.png；

（Ⅱ）求b78cc6909042016daaa04d83bac97e90.png与平面1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png

【解析】（1）根据已知可得28cf4fdcd508b461ae5c4ca31206a15a.png，可证9efeaea4019f6bf21848a8efe214850c.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，从而有69881266d9fe50a73488f5516f90e370.png，再由已知可得19de0c72e52297ad5f0dbf49c710530f.png，可证140814ee6b7f8fc47c9b628353dce198.png平面7e71b13908a9f0763c0ae54af9062080.png，即可证明结论；

（2）以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为坐标原点建立空间直角坐标系，求出558f6f2dfb07925d33a805ead7d808d9.png坐标，再求出平面1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）因为ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，8ae52783346a6e4d453a084bc4266b01.png底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，

所以28cf4fdcd508b461ae5c4ca31206a15a.png.又因为e272a121bb13318fb90eb2e84b2788f0.png，c29dd3cd8f505295f7c8a2e3e47f9dc3.png，

所以9efeaea4019f6bf21848a8efe214850c.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png.又因为829301c77917cebe3a62c7a37581f5bd.png平面9a91e423233cb015d469d42c56b20baa.png，

所以69881266d9fe50a73488f5516f90e370.png.

因为789a3ba6724cdcb8254431df2ea552c5.png，c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png是adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png的中点，所以19de0c72e52297ad5f0dbf49c710530f.png.

又因为bdf2b319786ceb5a98ebab0d7a595136.png，所以140814ee6b7f8fc47c9b628353dce198.png平面7e71b13908a9f0763c0ae54af9062080.png.

而48ee20602fc2377ed314c9ddd7175564.png平面7e71b13908a9f0763c0ae54af9062080.png，所以429252b3460ef201b1c7e217c283268e.png.

（Ⅱ）因为04bd1558bce99241313a6a291b9ee412.png两两垂直，所以以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为原点，

0ee3856dccc35c9e179ce2c6ea3b4bda.png所在直线分别为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，415290769594460e2e485922904f345d.png轴，

fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则a5f9b3595bb15f708b2604a679f1a7b8.png，ee2ec30ca6d164daee1e79078650d83c.png，ea0839ea95d860bcc0da00edd426aa31.png，1203387fc91160658df5699ead560c5c.png，

e35c1bbaf13af24f7decbc084171ffa7.png，于是1b10febdce0207505030780ac5976480.png.

设平面1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png的一个法向量为71a33c03cdabea7688fedf81b966a397.png.

a7ce60306b6c71135e865ea3d5debccf.png，6313ab3b3e1a5b12d959c9a6698f2129.png.

由c7a173a0ec7077d37a08d019f1eeb3d1.png得57eddd652c0533bf0451281d8a4f899a.png，

令9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png，则fbf271d5ba107a3577f328fb141b98b9.png，得1c6fe14a9de0b1f2b9cf9395e00048d6.png.

设b78cc6909042016daaa04d83bac97e90.png与平面1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png所成的角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，则

a399a1e845f160deafff79e46bcc25f7.png

cf035312e2b5a6a0aa91a724752132b8.png

e915b3d3e58b48820ecc7a79f832514e.png.

故b78cc6909042016daaa04d83bac97e90.png与平面1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png所成角的正弦值是7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png.

【点睛】

本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

20．已知椭圆449578967f60db3aa3ece6d138024240.png的右顶点为99c6163231b25562858c2457b560e5e2.png，定点5f11f29c939c066974651e8fc9cf4918.png，直线06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png与椭圆交于另一点56744544f4ca7660294697c4ed8425d4.png.

（Ⅰ）求椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的标准方程；

（Ⅱ）试问是否存在过点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png交于c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png两点，使得d9c8e6c9440722ae01ad000a6348df9a.png成立？若存在，请求出直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png；（Ⅱ）存在，bd9d4289751e306bf092f5ad2ba41b61.png或01f344feccd27f0e7da1ac8856dd2ed3.png

【解析】（1）由已知可得83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，再将点56744544f4ca7660294697c4ed8425d4.png代入椭圆方程，求出92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png即可；

（2）设7517ac5b6431ac7be99eaeb73d6969fe.png，由已知可得61706fc17eefc3f1ecf9e7bc995c00ab.png，结合d9c8e6c9440722ae01ad000a6348df9a.png，可得0d2d5cec14590bad7ef9b98d28b54ffc.png，从而有998e1d018c7814f7f5b1f806d7fe9a22.png，验证943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png斜率不存在时是否满足条件，当943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png斜率存在时，设其方程为3c1bc4477714edd19fb0d24e4540ae2d.png，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出49fbc9b977718bab7bc6faab5daf7c09.png关系式，结合998e1d018c7814f7f5b1f806d7fe9a22.png，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）由椭圆449578967f60db3aa3ece6d138024240.png的右顶点为99c6163231b25562858c2457b560e5e2.png知，

83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png.把9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点坐标04df3ccc6f1a0c6138f8fec6e9b0132f.png代入椭圆方程，得01fa5031eb9e6e881beb4913480af99c.png.

解得fd2f10c828f1438c0a1ce5c8486f6bd3.png.所以椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的标准方程为9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png.

（Ⅱ）d0676337f93f3a6e97f98b2566a05e01.png，

所以61706fc17eefc3f1ecf9e7bc995c00ab.png.由d9c8e6c9440722ae01ad000a6348df9a.png，

得e2f03a126846cb715e0fb1753b048b61.png，

即0d2d5cec14590bad7ef9b98d28b54ffc.png，所以e2829bfc9f9d70842cfacdc03ba1fa03.png.

设fd13f0d1eafaf1f26bbc173dcc33ba94.png，03e29d9e06424071fe69339eb3bc0874.png，

则94c8983c4cf15671495faa3f5d1e6e8d.png，1da2f30dece1e038f55013cf67367560.png，

所以998e1d018c7814f7f5b1f806d7fe9a22.png.

①当直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png的斜率不存在时，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，

1749c2317c2796be0dbc69fc5b9d54f2.png，这与0d2d5cec14590bad7ef9b98d28b54ffc.png矛盾.

②当直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png的斜率存在时，设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为3c1bc4477714edd19fb0d24e4540ae2d.png.

联立方程1dcf4c5a18d4664cb161fec96ee53f78.png得0ea5d19501daf121dc3ad0962badc2da.png.

6779c2e615c1ce47bf0bc4abd6175e60.png，5090514a98ae103e8d815a8f1d8c332e.png.

由998e1d018c7814f7f5b1f806d7fe9a22.png可得e5cc3a7223696e9063dca150ec80c31b.png，c88dbc12b1f8e8c28b9e5e197060ecd2.png，

即821b1afd061995cf5f63c2d694f5174f.png.整理得7c979535c43136e0696486a1f0a665a5.png.解得7a98ae209ff14e8016c22779e5c37fca.png.

综上所述，存在满足条件的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，

其方程为bd9d4289751e306bf092f5ad2ba41b61.png或01f344feccd27f0e7da1ac8856dd2ed3.png.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.

21．已知函数447e251af89d10ccf38648b28c13f9bf.png.

（Ⅰ）若40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png，求函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调区间；

（Ⅱ）若83b124d4d0fb8362ef3b568d2a816d5c.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上恒成立，求实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围.

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png，单调递减区间为7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png；（Ⅱ）4510440cbc4a5ec0a4fce773ab1776ae.png

【解析】（1）求出37b36ce6a38cafd5a171742a9b19b8c6.png，当40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png时，求出6148c417c2d94aa5bbd38097a256fe5b.png的解即可；

（2）所求的问题为ee1dc073d164509cddf433725e720148.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上恒成立，设537e5555066281ba1979df3db333bb97.png，e8cc2b597df6e98b5a6763e2ee894acc.png，注意d642580786213a27e875423dca4c62c5.png，所以e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在e8cc2b597df6e98b5a6763e2ee894acc.png递增满足题意，若存在区间6914ea6ef29001fd35192e98c8a7c6ba.png递减，则不满足题意，对0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png分类讨论，求出e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png单调区间即可.

【详解】

（Ⅰ）当40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png时，aaac17be46e0797f6c47b9558dee9447.png，

则ac40a765dbff778de6c55c1863a745d4.png.

所以当3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png单调递增；

当aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png单调递减.

所以函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调递增区间为2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png，单调递减区间为7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png.

（Ⅱ）由83b124d4d0fb8362ef3b568d2a816d5c.png，得ee1dc073d164509cddf433725e720148.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上恒成立.

设537e5555066281ba1979df3db333bb97.png，则fa2d55d79de50920beb652f00dec614d.png.

设965c58d8dfe6e0203ba4f80bedd7b6e7.png，

①当f4a224066945027bd358c69715410c14.png时，1f2bce44c2cc1e21aa184fb6df44a0b9.png，则460db5a08dd0336a52047501c98ab468.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上恒成立，

e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上单调递增，1b6792937aa1ad6f4d329e81fe4a5daa.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png恒成立，

所以当f4a224066945027bd358c69715410c14.png时，ee1dc073d164509cddf433725e720148.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上恒成立；

②当b2ad3d92fdb22063d1eb100609ae29bd.png时，令d5d50a5af4ff198311be60b90db9b32d.png，

得88120c973fc984ee7fb07087e9e50797.png或5a06e7d948a0c8de72fe0c3cfa2af34d.png（舍去）.

所以当7710cfbf54b3d1a9c67f7e2467173617.png时，c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png，

则5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png是6230aec5dfb25b0784d2c036f81c916a.png上的减函数；

当319e605d09450af0da43fad8535d0179.png时，b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png，

则5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png是d12dc4c26743c7003ad5e1ff042dbce7.png上的增函数.

所以当7710cfbf54b3d1a9c67f7e2467173617.png时，90c977a2f57c05809abac8434fe6f20b.png.

因此当b2ad3d92fdb22063d1eb100609ae29bd.png时，ee1dc073d164509cddf433725e720148.png不恒成立.

综上所述，实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是4510440cbc4a5ec0a4fce773ab1776ae.png.

【点睛】

本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.

22．在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的参数方程为737ae98ffce5c67d194db4c2dcdfdf54.png（6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为参数，7e670c394c1c4e04ac216cd3e98810b2.png）.以坐标原点为极点，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的极坐标方程为531f14d10469956725f7260237224ef6.png.

（Ⅰ）求曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的普通方程及直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上恰好存在两个点到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png，求实数4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的取值范围.

【答案】（Ⅰ）92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png，2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：cee2c0b3f471bfc830ec8767fff29141.png；（Ⅱ）eda546a0586f232c47f8cd072ef45a60.png

【解析】（1）利用acdc2bcbf2e97d03db7acb79c40a1727.png消去参数，得到曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的普通方程，再由1ab4631ff282cac6e3b66a1c22d2caae.png，b86f8149b896b56a8f1f0c337e66c5d7.png化直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png为直角坐标方程；

（2）与直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png的点在与2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png平行且距离为6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）由曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的参数方程737ae98ffce5c67d194db4c2dcdfdf54.png（6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为参数，7e670c394c1c4e04ac216cd3e98810b2.png）消去参数6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png，

可得曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的普通方程96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png.

86133ae5cd71a054fc78a23671c4e7e1.png，31b7146b874d03ca3ae858cf4795ece2.png代入531f14d10469956725f7260237224ef6.png，

得直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的直角坐标方程为cee2c0b3f471bfc830ec8767fff29141.png.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的直角坐标方程为cee2c0b3f471bfc830ec8767fff29141.png，

曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的直角坐标方程为96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png，

曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png表示以原点为圆心，以4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png为半径的圆，

且原点到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为dd4348015c1c4b7cc2c3c8ee31b32c4e.png.

所以要使曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上恰好存在两个点到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png，

则须9ad85a27b491e4fe3969017e1034683e.png，即e55687e7372fd652c6e1c5a150b299c0.png.

所以实数4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的取值范围是eda546a0586f232c47f8cd072ef45a60.png.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.

23．已知函数e277847ba7a13d1e037321ce5ae1bfd3.png.

（1）解关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式f8755fb2f45239837296f26c45375bd9.png；

（2）对任意的b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，都有不等式0a14e22e5a7abfb4b2bda5e55a51ec04.png恒成立，求实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围.

【答案】（1）7e1d16550879c3ce6224743b6651948c.png；（2）a60d1faf1abca4425f44c8b999051047.png.

【解析】（1）由题意557c767654d6d85dc6c2aac7cb9e67d9.png，分类讨论即可得解；

（2）利用绝对值三角不等式求出bfc124f2a29687a568cb2ee77cc67669.png，利用基本不等式求出dc00e571a69a6f7f8534ed78b5d5071e.png，利用恒成立问题的解决办法即可得解.

【详解】

（1）由题意6365de50fcb360a25a5c13db200de83f.png，

则不等式f8755fb2f45239837296f26c45375bd9.png可转化为

94b76f580b0127c661fa6a835b0f51f0.png或1813c90956e38512f8409d7a67f7b8dc.png或4708d470242047a232a86df771572b03.png，

整理可得01b065ad11432a96d92e65bcbdce4c35.png，

故不等式f8755fb2f45239837296f26c45375bd9.png的解集为7e1d16550879c3ce6224743b6651948c.png.

（2）由于89c64ddda2c2b1b06978c8dbe1a2d6b0.png，当5a1669f5615afdcec9b40a848476cfc6.png时，等号成立；

而430fdd27f784f6eacb8d20dbde0b71c2.png，

当且仅当58c5ee5a0a15d9f12231abf61b562212.png，即4e20dae88ec452e0e13390e12a017f05.png，63ce27acc1fa4074c5276a3f82e98e57.png时，等号成立.

要使不等式d5022c38f920a8a2287e5afb3f6acf9d.png恒成立，

则bd2f918831e9f994a57de4e02657444b.png，解得b12dc225f7351da07d9235355cab3944.png，

实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为a60d1faf1abca4425f44c8b999051047.png.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/728c1d5f12a6f524ccbff121dd36a32d7375c7fc.html