数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十六章

第十六章 多元函数的极限与连续

一、 证明题

1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{pn}E,p≠p0. Pn=P0时P0是E的聚点.

2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.

3. 证明:点列{pn(xn,yn)}收敛于p0(x0,y0)的充要条件是xn=x0和yn=y0.

4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E为开集,则Ec为闭集;若E为闭集,则Ec为开集.

5. 证明:

(1) 若F1,F2为闭集,则F1∪f2与F1∩F2都为闭集;

(2) 若E1,E2为开集,则E1∪E2与E1∩E2都为开集;

(3) 若F为闭集,E为开集,则F\F为闭集,E\F为开集.

6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.

7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):

8. 证明: 若1°存在且等于A;

2°当y在b的某邻域内时,存在有,则.

9. 试应用ε-δ定义证明:.

10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.

11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

12.设f(x,y)=

试讨论它在(0,0)点的连续性.

13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f对y在[c,d]上处处连续.对x在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f在S上处处连续.

14. 证明:若DR2是有界闭域,f为D上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.

15. 若一元函数(x)在[a,b]上连续,令

f(x,y)= (x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?

16. 设(x,y)=,(x,y)∈D=,证明f在D上不一致连续.

17. 设f在R2上分别对每一自变量x和y是连续的,并且每当固定x时f对y是单调的,证明f是R2上的二元连续函数.

二、计算题

1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。

(1); (2) {(x,y)|xy≠0};

(3) {(x,y)|xy=0}; (4) {(x,y)|y>x2};

(5) {(x,y)|x<2, y<2, x+y>2}; (6) {(x,y)|xy≥0};

(7) {(x,y)|y=sin, x>0};

(8) {(x,y)|x2+y2=1,或y=0, 0≤x≤1};

(9) {(x,y)|x2+y2≤1,或y=0, 1≤x≤2};

(10) {(x,y)|x,y均为整数}.

2. 试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ,0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ,(x,y)≠(a,b)}是否相同?

3. 求下列各函数的函数值:

(1),

求;

(2),求;

(3) f(x,y)=x2+y2 - xytg, 求f(tx, ty)

4. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5)

(6);

(7) f(x,y)=ln(y-x);

(8);

(9);

(10)

(R>r)

5. 试求下列极限(包括非正常极限):

(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6);

(7);

6. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6);

(7).

7. 试写出下列类型极限的精确定义:

(1);

(2)

8. 试求下列极限:

(1);

(2);

(3);

(4).

9. 试作一函数f(x,y)使当x→+∞,y→+∞时,

(1) 两个累计极限存在而重极限不存在;

(2)两个累次极限不存在而重极限存在;

(3)重极限与累次极限都不存在;

(4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在.

10. 讨论下列函数的连续性:

(1) f(x,y)=tg(x2+y2); (2) f(x,y)=[x+y];

(3)

(4)

(5)

(6)

(7);

(8).

三、考研复习题

1. 设ER2是有界闭集,d(E)为E的直径,证明:存在p1,p2∈E,使ρ(p1,p2)=d(E).

2. 设f(x,y)=,r=,k>1,D1={(x,y)| x≤y≤kx},D2={(x,y)|x>0,y>0}试分别讨论i=1,2时极限f(x,y)是否存在?为什么?

3. 设,且在(x0,y0)附近有|f(x,y)-| (y)|≤(x),证明f(x,y)=A.

4. 设f是定义在R2上的连续函数, α是任一实数,

E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R2}

F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R2}

5. 设F在有界开集E上一致连续,证明:

(1) 可将f连续延拓到E的边界.

(2) f在E上有界.

6. 设u= (x,y)与V= (x,y),在xy平面中的点集E上一致连续;与把点集E映射为uv平面中的点集D,f(u,v)在D上一致连续,证明:复合函数f[(x,y), (x,y)]在E上一致连续.

7. 设f(t)在区间(a,b)内连续可导,函数f(x,y)= (x≠y)F(x,x)= (x),定义在区域D=(a,b)×(a,b)内,证明:对任何C∈(a,b)有f(x,y)= (c).

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