河南省南阳市第一中学届高三数学第三次模拟考试试题理讲解

2016年春期南阳市一中高三第三次模拟考试

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）

A. B. C. D.或

2.若复数是实数，则实数（）

A． B．1 C． D．2

3．利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）

A．584 B．114 C．311D．146

4．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若，则的值为( )

A．2 B． C． D．

5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )

A． B． C． D．

6.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为

A. B． C． D．

7.等比数列各项为正，成等差数列．为的前n项和，则=

A．2 B． C． D．

8．的展开式中，的系数为( )

A．110 B．120 C．130 D．150

9.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．12B．18C．24D．30

11．已知定义的上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

12.（高考题改编）N为圆上的一个动点，平面内动点M满足且(O为坐标原点)，则动点M运动的区域面积为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若向量a，b满足：a，(a＋2b)⊥a，(a＋b)⊥b，则|b| ．

14．已知，则 ．

15．（高考题改编）数列满足，则的80项和为 .

16．（周训练改编题）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设在数列中，,则实数的取值范围是

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.

（1）试求的值，并求出函数的单调增区间。

（2）先列表，再作出函数在区间上的图象.

18．（本小题满分12分）

某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；

（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，，，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知，是椭圆的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点．

（Ⅰ）当时，求直线l的方程；

（Ⅱ）求证：为定值．

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求线段AE的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；

（Ⅱ）若P是直线上的一点，Q是曲线C上的一点，当取得最小值时，求P的直角坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，，函数的最小值为2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：与不可能同时成立．

2016年春期南阳市一中第三次模拟考试

理数答案

答案：1-5 DB C C B 6-10 DCABC 11-12 BA

13. 14. 15. 16.

17.解：（1）∵点是函数图象的一个对称中心，∴，

∴，∵，∴，.增区间为

（2）由（1）知，，，列表如下：

则函数在区间上的如图所示.所以在区间上的最大值为,最小值为.

18.解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×＝4人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则P(A)＝1－＝．

故至少有一人来自甲部门的概率为．…5分

（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．…………………………12分

19.解：（Ⅰ）以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1,1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，∴＝(0，2，－2)，＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．设平面SBC的法向量为m＝(a，b，c)，

由m⊥，m⊥，得

∴取m＝(1，1，1)．

又设＝λ（λ＞0），则E(，，)，

∴＝(，，)．

设平面EDC的法向量n＝(x，y，z)，

由n⊥，n⊥，得∴n＝(2，0，－λ)．

由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，∴m·n＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．SE＝2EB．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知E(，，)，∴＝(，，)，＝(－，，－)，

∴·＝0，∴EC⊥DE．取DE的中点F，则F(，，)，∴＝(，－，－)，

∴·＝0，∴FA⊥DE．∴向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角．

而cos＜，＞＝＝－，故二面角A-DE-C的大小为120°．…12分

20.解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F(1，0)，

设直线l的方程为y＝k(x－1)（k≠0且k≠±1）．

由消去y并整理，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|CD|＝·＝·＝．

由已知，得＝，解得k＝±．故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0．………………………5分

（Ⅱ）由C(x1，y1)，D(x2，y2)，A(0，1)，B(0，－1)，得

直线AC的方程为y＝x＋1，直线BD的方程为y＝x－1，

联立两条直线方程并消去x，得＝，∴yQ＝．

由（Ⅰ），知y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，

∴x1y2＋x2y1＋x1－x2＝kx1(x2－1)＋kx2(x1－1)＋x1－x2

＝2kx1x2－k(x1＋x2)＋x1－x2＝2k·－k·＋x1－x2＝－＋x1－x2，

x1y2－x2y1＋x1＋x2＝kx1(x2－1)－kx2(x1－1)＋x1＋x2

＝k(x2－x1)＋x1＋x2＝k(x2－x1)＋＝－k(－＋x1－x2)，∴yQ＝－，∴Q(xQ，－)．又P(0，－k)，∴·＝(0，－k)·(xQ，－)＝1．故·为定值．…12分

21.解：（Ⅰ）记F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－．

当x∈(0，)时，F′(x)＞0，F(x)在[0，]上是增函数；当x∈(，1)时，F′(x)＜0，F(x)在[，1]上是减函数．∵F(0)＝0，F(1)＞0，∴当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥x．

记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cosx－1＜0，

∴H(x)在[0，1]上是减函数，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x．综上， x≤sinx≤x，x∈[0，1]．…4分（Ⅱ）∵当x∈[0，1]时，ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2≤(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)( x)2＝(a＋2)x．

∴当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立．

下面证明：当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．

ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2

≥(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)()2＝(a＋2)x－x2－≥(a＋2)x－x2＝－x[x－(a＋2)]．

∴存在x0∈(0，1)（例如x0取和中的较小者）满足ax0＋x＋＋2(x0＋2)cosx0－4＞0， 即当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cosx－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．…………………12分

22.解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB＝∠ADB，

同理∠ACB＝∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴＝，即AC·BD＝AB·AD．

∵AC＝BD＝3，∴AB·AD＝9．………5分

（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，∴△EAD∽△ABD，

∴＝，即AE·BD＝AB·AD．由（Ⅰ）可知，AC·BD＝AB·AD，∴AE＝AC＝3．

23.解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，从而有x2＋y2＝2x，

∴(x－)2＋y2＝3．∴曲线C是圆心为(，0)，半径为的圆．……5分

（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|＋|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|－，∴|PQ|min＝|PC|min－．设P(－t，－5＋t)，又C(，0)，

则|PC|＝＝＝．当t＝1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为(－，－)．

24.解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，

∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，

∴f(x)min＝a＋b．由题设条件知f(x)min＝2，∴a＋b＝2．……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a＋b＝2，∴ab≤1．

假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．10分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/721c03d1541810a6f524ccbff121dd36a32dc41c.html