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1990考研数学三真题及解析

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.
(1极限lim(n3nnn___________________.
n
(2设函数f(x有连续的导函数,f(00,f(0b,若函数
f(xasinx
F(xx
A,x0
,x0,
在x0处连续,则常数A=__________
y2x2所围成的平面图形的面积为(3
曲线yx2与直线_______________________________________

x1x2x3
a1,
a,
(4若线性方程组

x2
2
2
x3

x4x1
a3,
a4
有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件
x4
(5一射手对同一目标独立地进行四次射击

,若至少命中一次的概率为
中率为_______
81,则该射手的命
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内.
sinx
(1设函数f(xx

sinx
tanxe,则f(x是
(

(A偶函数(B无界函数(C周期函数(D单调函数
,且有f(0


(2设函数f(x对任意x均满足等式f(1xaf(x

b,其中a,b为非零常

数,则

(
(Af(x在x

1处不可导
(B
f(x在x
1处可导,且f(1
aab
(Cf(x在x(3

1处可导,且f(1b(D
,s线性无关的充分条件是
f(x在x1处可导,且f(1

向量组1,2,L
(A
(



1,2,L,
s
均不为零向量




(B1,2,L,

ss
中任意两个向量的分量不成比例

(C1,2,L,
中任意一个向量均不能由其余s1个向量线性表示



(D1,2,L,s中有一部分向量线性无关(4设A,B为两随机事件,且B
(APABPA(B
(CPBAPB(D

A,则下列式子正确的是
PABPAPBAP(BPA

(5设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为
m
-11
m
12

-11
PXm


12
PYm
12
12
则下列式子正确的是
(AXY(B(CPXY(D
12
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.
(1求函数I(x(2计算二重积分
lnt2
1dt在区间[e,e]上的最大值2e12
t2t
2
xeydxdy,其中D是曲线y4x2和yD
x
9x在第一象限所围成的
22
域.
(3求级数

(x3的收敛域.21n
n
n
(4求微分方程yycosx(lnxesinx的通解.
四、(本题满分9分
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告
,根据统计资料,销售收入
R(万元与电台广告费用x1(万元及报纸广告费用x2(万元之间的关系有如下经验公式
R1514x132x8xx2x1210x22.

22212

2若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分6分
设f(x在闭区间[0,c]上连续,其导数f(x在开区间(0,c内存在且单调减少；



f(00,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(abf(af(b,其中常数a、b
满足条件0ababc.
六、(本题满分8分已知线性方程组
x1x2x3x43x12x2x3

x4
x5
a,3x50,b,
x52,
x22x32x45x14x23x3
6x5
3x4
(1a、b为何值时,方程组有解?
(2方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；(3方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、(本题满分5分
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak0,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵.八、(本题满分6分
设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于1和2的特征向量.试证明X1X2不是A的特征向量.
九、(本题满分4分
从0,1,2,L,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：
A1｛三个数字中不含0和5｝；A2｛三个数字中不含0或5｝.
十、(本题满分5分一电子仪器由两个部件构成X和Y的联合分布函数为:
F(x,y

0.5x0.5(xy
X和0.5y1-e,以Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时,已知x0,y0,
ee
若
0,
其他.
(1问X和Y是否独立?
(2求两个部件的寿命都超过100小时的概率十一、(本题满分7分
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.




[附表]
x

00.51.01.52.02.53.0
(x0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999
表中(x是标准正态分布函数



1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.
(1【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n3nnn.
lnim(n3nnnn1

再分子分母同时除以n,有
因为lim
n
11
(2【答案】ba
【解析】由于F(x在x0处连续,故AF(0limF(x.x0
lxim0F(x为“0
0
型的极限未定式,又f(x在点0处导数存在,所以
limf(x
asinxx
limf(xacosxbax01
相关知识点】
如果
f(x在点x0连续：设函数yf(x在点x0的某一邻域内有定义

limf(xf(x0,则称函数f(x在点x0连续.xx01
(3【答案】4
2
1
解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x2解得x1和x2,故所围成的平面图形如右图所示

22

所求面积为



S
1
x2xdx
2

12
x2
32xx
133

1
142
(4【答案】a1a2a3a40



解析】由于方程组有解r(Ar(A,对A作初等行变换第一行乘以1加到第四行上,有
1100a10110
a2
1000
100110011101a1
a1
a2



0011a31001a4
第二行加到第四行上,再第三行乘以

a3

a4


1加到第四行上,有a1

11000110

110011011

a1a2a3
a2a3a4
a2
a3
0011
0011a1a2a4
为使r(Ar(A,常数
0a1
a1,a2,a3,a4应满足条件:a1a2a3a40.
相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAMb的秩,即是r(A亦等同于
2,L,n与1,2,L
r(A(或者说,b可由A的列向量1,2,L
n
n
线表出,
,b是等价向量组.
设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则
1有唯一解
r(A
r(An.n.
12
2有无穷多解3无解

r(Ar(A
r(A
2

1r(A.b不能由A的列向量
,,L
n
线表出.
(5


解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n4,p
2答案】
3
p,则进行8081
的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1p4,它是至少命中一次的对立事件.依题意
(1p4
8081
p表
本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数

示一次射击的命中率,则XB(4,p,依题意



PX0


4
1PXk1

k
81,
即(1p41p2.
813
【相关知识点】二项分布的概率公式：
kn
若YB(n,p,则PYkCnkknkpk(1pk0,1,L,n,二、选择题(本题满分15分,每小题3分.
(1【答案】(B




以下证明其他结论均不正确由f【解析】由于limxesinx
sin
e4
4
4e,知(A不正确；,e,而limtanx,所以
44x
2
sin
x
sinx
2
2
limxtanxex
2
,故f(x无界.
2

,可见
或考察f(x在xn2n(n1,2,L


的函数值,有limf(xnlimxne2
nn
4
f(x是无界函数.应选(B.


由f0,f0,而f00,知(D不正确.
44
证明(C不正确可用反证法.
设gxtanxesinx,于是gx的定义域为Dx|xk,k0,1,2,L,
2
且gx的全部零点为xnn,n0,1,2,L.若fxxgx以TT0为周期,则有
xTgxTxgx,xD.
令x0,有TgT0,即gT

0.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是
xgx的周期.代入即得,对xD有
x2kgx2k

x2kgxxgx.
这表明2kgx0在xD上成立,于是gx0在xD上成立,导致了矛盾.故



fxxgx不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:
xxxxxx
limf(xA,limg(xB,则有limf(xg(xAB.000
若
(2【答案】(D
解析】通过变量代换tx1或按定义由关系式f(1xaf(x将f(x在x1的可
导性与f(x在x0的可导性联系起来
令tx1,则f(taf(t1.由复合函数可导性及求导法则,知f(t在t1可导,且f(tt1af(t1(t
1t1af(0ab,
因此,应选(D.
【相关知识点】复合函数求导法则:如果ug(x在点x可导,而yf(x在点ug(x可导,则复合函数yfg(x在点x可导,且其导数为
dydx
(3【答案】(C
f(ug(x或.
dydydudxdudx
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A(B(D均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组1,2,L,s线性无关,可以推导出(A(B(D选项,但是不能由(A(B(D选项中的任意一个推导出向量组
1,2,L,s
线性无关.
例如:(1,0,(0,1,(1,1显然有(1,0(0,1(1,1(0,0,该向量组线性相关.但
(A(B(D均成立.
根据“1,2,L,s线性相关的充分必要条件是存在某
1
i
(i1,2,L,s可以由
,Li1,i1,L,s线性表出.”或由“1,2,L,s线性无关的充分必要条件是任意一个i(i1,2,L,s
均不能由1,Li1,i1,L,s线性表出.”故选(C.
(4【答案】A
【解析】由于BA,所以ABA,于是有PABPA.故本题选A.
对于B选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以PABPB,而不是PABPA,故B错.



对于C选项,因为BA,由条件概率公式PBA
P(AB
P(A,当B,A
是相互独立的事
件时,才会有PBAPB；所以C错.
对于D选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故PBA
0,所以(D错.
(5【答案】(C
解析】由离散型随机变量概率的定义
,有

PXYPX1,Y
1
PX1,Y11PX1}P{Y1


PX1}P{Y1111122222
故本题选(C.而(B、(D选项是错误的.
对于(A选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A错.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.
2
(1【解析】在x[e,e]上,
I(x
lnxx22x1
lnx
2
0,故函数I(x在［e,e2］上单
x1
调增加,最大值为I(e2.
由(1dxx2
d(1x
(1x2
e2e
d
(1x
e2
2
I(e
2
lnt
t1
e2
dt
e2
lntd
1t1
e2
lntt1dte
tt1
lntt1
1e(e
1
dt
t1t
2e1e1
(t
相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若F(t

1
ln(e2122
e1e1ln
e
ln(e11
f(xdx,(t,(t均一阶可导,则
(t
F(t(tf(t(tf(t



2.假定uu(x与vv(x均具有连续的导函数,则
uvdxuvuvdx,或者udv
(2【解析】区域D是无界函,设数0yb,3yxDbDI0b{x,y不难发现,当b时有DbD,从而
by2yyedy2yxdxxedxdylimb0xedxdyblim
3
DD
b
b
uvvdu.
2b
b2
b2y255limyedytylimb0572t144blimedt

144b5b2
(1eb1454n12(n(3【解析】因系数an1,2,L,故n1
22
n1ann1
2limlimlim1nnna2n1n
n

这样,幂级数的收敛半径
111y
lim(yyeydyb049
2
1,
1.因此当1x31,,即2x4时级数绝对收敛.
1

1
n1当x2时,得交错级数(12；当x2
nn1

数的收敛域为[2,4].
【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如
4时,得正项级数
1
2,二者都收敛,于是原级
2n1n
lim
n
an1
,其中an,an1是幂级数
n0
anxn的
an
果相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
1
0
0,
0,



2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1n1un满足：n1
(1unun1,n1,2,L;(2lnimun0.
n
则(1n1un收敛,且其和满足0(1n1un
n1n1
u1,余项rnun1.
3．p
1
级数：1p当p1
pn1n
时收敛；当p1时发散.
(4【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解

yeelnxedxC
cosxdxsinx
cosxdx

P(xdx
e
方法2:用函数ee
方程两端同乘esinx,
得
sinx
lnxdxC
e[xlnxxC].
sinx
cosxdx

esinx同乘方程两端,构造成全微分方程
sinxsinx
sinx
ye
yecosx(ye
(yesinxlnx,再积分一次得

yesinxClnxdxCxlnxx.


sinx
最后,再用esinx同乘上式两端即得通解ye[xlnxxC].

相关知识点】一阶线性非齐次方程

yP(xyQ(x的通解为
P(xdxP(xdx
yeQ(xedxC
其中C为任意常数
四、(本题满分9分
【解析】(1利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
1514x132x21513x131x2
由多元函数极值点的必要条件


8x1x2
2x1210x2(x1x2
2
8x1x22x1210x22.


,有
4x18x2130,x1
x
x10.75,x21.25.
8x120x2310,
2
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万



元可获最大利润.
(2若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1中解析式相同
1513x131x8xx2x1210x22,
在x1x21.5时的条件最大值.拉格朗日函数为
22212
L(x1,x2,1513x1
L
x
1
31x28x1x2
4x18x2138x120x231
0,
2x1210x22
22
(x1x21.5,
L
x

0,
2
x1x21.50
x10,x21.5.
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数zf(x,y在附加条件(x,y0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
L(x,yf(x,y(x,y,
其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
fx(x,yx(x,y0,
fy(x,yy(x,y0,
(x,y0.
由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y就是函数f(x,y在附加条件(x,y0下的可能极值点.
五、(本题满分6分
【解析】方法1:当a0时,f(abf(bf(af(b,即不等式成立；若a0,因为
f(abf(af(bf(0
[f(abf(b][f(af(0]f(2af(1aa[f(2f(1],
其中0
ab2ab.又f(x单调减少,故f(2f(1.从而有



f(abf(af(bf(00,即f(abf(af(b.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等
式右边,再将b视为变量x,得辅助函数
令F(xf(xf(af(ax,x[0,b],由于f(00,所以F(00,又因为
F(xf(xf(ax,且a0,f(x在(0,b单调减少,所以F(x0,于是F(x在[0,b]上单调递增,故F(bF(00,即
f(abf(af(b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数f(x满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点(a
b,使等式f(bf(af((ba成立.
六、(本题满分8分【解析】本题中,方程组有解
r(Ar.(相关定理见第一题(4
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以
3、
11010101
5分别加到第二、四行上,有
1222
12
1M6M

11111Ma32113M001226Mb54331M2
第二行乘以1、




a
3a
26M26M
,
b25a
分别加到第三、1







四行
上
,第二行再自乘
1,有





11112
1126

MaM3a


MbM2
(1当b3a0且22a0,即a1,b(2当a1,b3时,方程组的同解方程组是
3a


2a


3时方程组有

解.
x3x4x51,x22x3
2x46x53,
由nr(A523,即解空间的维数为
1
x1x2
3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系
(1,2,1,0,0T,2(1
为,2,0,1,0T,3(5,6,0,0,1T.



(3令x3x4x50,得方程组的特解为(2,3,0,0,0T.因此,方程组的所有解是k11k22k33,其中
k1,k2,k3为任意常数.
【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系,则Axb的通解形式为k1
122
k,其中1,2是Ax0的基础解系,是Axb的一个特解.
七、(本题满分5分
【解析】若A、B是n阶矩阵,且ABE,则必有BAE.于是按可逆的定义知A1B.如果对特征值熟悉,由Ak0可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA可逆.
由于Ak0,故
EA(EAA2LAk1EkAkE.
所以EA可逆,且EA1EAALAk1.
12
八、(本题满分6分
【解析】(反证法若X1X2是A的特征向量,它所对应的特征值为
,则由定义有：
A(X1X2
由已知又有A(X1X2AX1AX21X12X2.
两式相减得
(X1X2.

(
1
X1(2X20.,
2
由12,知
1
不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线
性无关相矛盾.所以,X1X2不是A的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.
九、(本题满分4分
3
【解析】样本空间含样本点总数为C130；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件A1的样本点数为C83；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.



33
有利于事件A2的样本点数为2C93C83；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数以,即是事件A1被加了两次,所应该减去C83.
由古典型概率公式
P(A1

C83C13
0
175;P(A2
2C93C83
1415
【相关知识点】古典型概率公式：

P(A
P(Ai
有利于事件

Ai
的样本点数

样本空间的总数
十、(本题满分5分
解析】(1由连续型随机变量边缘分布的定义

,且lim
x

e
ax

0,(a为常数有
X和Y的边缘分布函数分别为
1
FX(xF(x,ylimF(x,yy

0.5x
e,若x0,


0,1
0.5y

若x0;
e,若y0,



FY(yF(,yxlimF(x,y

0,
若y0.
由于对任意实数x,y都满足F(x,yFX(xFY(x.因此X和Y相互独立.
(2因为X和Y相互独立,所以有
PX0.1,Y0.1PX0.1PY0.1
[1FX(0.1][1FY(0.1]e
0.05
0.050.050.1
e0.05e0.1.
十一、(本题满分7分
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过(x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出
2
与2的值,再去计算有关事件的概率.
设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(,2,且
72,但2未知.所以可标准
X72
化得
~N(0,1.由标准正态分布函数概率的计算公式,有
PX961PX961
967224

0.023,
1



2410.0230.977.
2
24查表可得2,
24
12,即X~N(72,122,
X72
X84P12(110.682.

P60
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.
(1【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n3nnn.



lim(n3nnnn
lim
n

再分子分母同时除以n,有
a
因为lim
n
n
11
(2【答案】ba
解析】由于F(x在x0处连续,故AF(0limF(x.x0
lxim0F(x为“0”型的极限未定式,又f(x在点0处导数存在,所以
0

Alimf(xasinx
limf(xacosx
x0
x0

ba.
相关知识点】函数yf(x在点x0连续：设函数y
如果
f(x在点x0的某一邻域内有定义,

limf(xf(x0,则称函数f(x在点x0连续.xx1
(3【答案】4
2
1
0

解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x2解得x1和x2,故所围成的平面图形如右图所示所求面积为
x
Sx
1
2
2xdx2x1x3
3a40
1
2
12x2
41.2
(4【答案】a1a2a3
解析】由于方程组有解

r(Ar(A,对A作初等行变换,
第一行乘以1加到第四行上,有



1100011000111001
第二行加到第四行上,再第三行乘
以


a1

1100

a1

a2

01100011

a2

a3a3

a4
0101a1

a4

1加到第四行上,有

1100

a1

1100110

a1
0110

a2a2
00110011
为使r(Ar(A,常数
a3

11
a4
a3
a1a2
0a1
a

a2a3a4
a1,a2,a3,a4应满足条件:a1a2a3

0.
4

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定
设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广

矩阵AAMb的秩,即是r(A亦等同于
2,L,n与1,2,L
r(A(或者说,b可由A的列向量1,
n,b是等价向量组.
2
,L
n
线表出,
设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则
4有唯一解5有无穷多解
r(Ar(Ar(A

r(Ar(A
n.n.
12
6无解(5

1r(A.b不能由A的列向量
,,L
n
线表出.
解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n4,p
2答案】
3
2

p,则进行8081
的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1p4,它是至少命中一次的对立事件.依题意
(1p1

4
801
811p3
本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一次射击的命中率,则XB(4,p,依题意
4
PX01PXkk1
181



即(1p

4
181
相关知识点】二项分布的概率公式：
若YB(n,p,则PYkCnkpk(1pnk,k0,1,L,n.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.
(1【答案】(B
【解析】由于limxesinx
x
2x22
e,而limtanx
,所以,
limxtanxesinx
x
2
,故f(x无界.
2

,可见
或考察f(x在xn2n

4(n
1,2,L的函数值,有limf(xnn
limxne2
n
f(x是无界函数.应选(B.
以下证明其他结论均不正确由f

sin4e
4
44
e4,知(A不正确；
sin
由f0,f0,而f00,知(D不正确.
44
证明(C不正确可用反证法.
sinx
设gxtanxesinx,于是gx的定义域为Dx|xk,k0,1,2,L,
2
且gx的全部零点为xnn,n0,1,2,L.若fxxgx以TT0为周期,则有
xTgxTxgx,xD.
令x0,有TgT0,即gT0.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是
xgx的周期.代入即得,对xD有
x2kgx2k

x2kgxxgx.
0在xD上成立,导致了矛盾.故

这表明2kgx0在xD上成立,于是gx
fxxgx不可能是周期函数



【相关知识点】极限的四则运算法则:
若

limf(xA,limg(xB,则有limf(xg(xAB.xx
0
xx0xx0
(2【答案】(D
解析】通过变量代换tx1或按定义由关系式f(1xaf(x将f(x在x1的可导性与f(x在x0的可导性联系起来
令tx1,则f(taf(t1.由复合函数可导性及求导法则,知f(t在t1可导,且f(tt1af(t
1(t1t1af(0ab,
因此,应选(D.
【相关知识点】复合函数求导法则:如果ug(x在点x可导,而yf(x在点ug(x可导,则复合函数yfg(x在点x可导,且其导数为
ddxyf(ug(x或
ddyxddyuddux.
dxdxdudx
(3【答案】(C
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A(B(D均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组1,2,L,s线性无关,可以推导出(A(B(D选项,但是不能由(A(B(D选项中的任意一个推导出向量组
12
,,L,s
线性无关.
例如:(1,0,(0,1,(1,1显然有(1,0(0,1(1,1(0,0,该向量组线性相关.但
(A(B(D均成立.
根据“1,2,L,s线性相关的充分必要条件是存在某
1
i
(i1,2,L,s可以由
,Li1,i1,L,s线性表出.”或由“1,2,L,s线性无关的充分必要条件是任意一个i(i1,2,L,s
均不能由1,Li1,i1,L,s线性表出.”故选(C.
(4【答案】A
【解析】由于BA,所以ABA,于是有PABPA.故本题选A.
对于B选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以PABPB而不是P
ABPA,故B错.
对于C选项,因为BA,由条件概率公式PBA


P(ABP(A
,当B,A是相互独立的事


件时,才会有PBAPB；所以C错.
对于D选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故PBA0,所以(D错.
(5【答案】(C
解析】由离散型随机变量概率的定义
,有

PXYPX1,Y
1
PX1,Y11PX1}P{Y1

PX1}P{Y11111
22222故本题选(C.而(B、(D选项是错误的.
对于(A选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A错.
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.
(1【解析】在x
[e,e]上,I(x
2
lnx
x22x1
lnx
2
0,故函数I(x在［e,e2］上单
x1
I(e2.调增加,最大值为
由(1dxx2
d(1x(1x2
e2
d
(1x
I(e2
e
lnt
e2
2
t1
e2
dt
e2
e
lntd
1t1
e2
lntt1
dte
tt1
lntt1
11
e(t1tdte
t1t
2e
2
12
e1ln(e12e1lne
ln(e11
1e1
相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
(t
若F(t
f(xdx,(t,(t均一阶可导
F(t(tf(t
,则
(t
(tf(t.
,则

2.假定uu(x与vv(x均具有连续的导函数
uvdxuvuvdx,或者udvuvvdu.



(2【解析】区域D
是无界函数,设
0yb,yxDbDI0{x,y3时有不难发现,当bDbD,从而
b2y2
yyydyxedxdylimxedxdylimeb
b
DD
b

b21lim11y
dy(yyeb920
42
5limbby72y144blim
yedyty05lim
144bb
(1e25

144
n12(n(3【解析】因系数an1,2,L,故n1
2
an1n1
limlim1nna2n
n
这样,幂级数的收敛半1.因此当径
n1当x2时,得交错级数(12；当x2
n1n

数的收敛域为[2,4].
【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如
果相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
1
R
1
y
2
xdx
y3
b2
tedt
lim
n
nn1
2
2
1,
1,,即2x4时级数绝对收敛.
1
1
2,二者都收敛,于是原级2n1n
4时,得正项级数
lim,其中an,an1是幂级数n
n0
an1

anxn的
0
0,

2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1n1un满足：n1(1unun1,n1,2,L;(2limun0.
n
0,



(1n1un收敛,且其和满足01

(1n1unu1,余项rnun1.n1
时发散.n1np

3．p级数：

11
p当p1时收敛；当p1

(4解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解
sinx
lnxedxCee
cosxdxsinxcosxdx

eln
方法2:用函数e
P(xdx
sinx
xdxCesinx[xlnxxC].
cosxdx
e
e,得ey
sinxsinx
esinx同乘方程两端,构造成全微分方程.
ye
sinx
方程两端同乘
cosx(ye
sinx
(yesinxlnx,再积分一次得
ye
sinx
lnxdxCxlnx
x.
C].
sinx
最后,再用esinx同乘上式两端即得通解ye[xlnxx
相关知识点】一阶线性非齐次方程y

P(xyQ(x的通解为
yeQ(xedxC
P(xdxP(xdx
其中C为任意常数
四、(本题满分9分
【解析】(1利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
1514x132x21513x131x2
由多元函数极值点的必要条件


8x1x22x110x2(x1

x2
8x1x22x1210x22.






,有
4x1

8x2130,


x

1
x
1

0.75,x21.25.

8x1
x

20x2


310,



2
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润.
(2若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1中解析式相同
1513x131x28x1x22x1210x22,
在x1x21.5时的条件最大值.拉格朗日函数为




L(x1,x2,1513x131x28x1x2
4x
2x1210x220,0,
22
(x1x21.5,
1
8x213
x
1
L
x
2
8x120x231
1.50
L

xx
12
x10,x21.5.
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数zf(x,y在附加条件(x,y0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
L(x,yf(x,y(x,y,
其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
fx(x,yfy(x,y
xy
(x,y0,
(x,y0,
(x,y0.
由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y就是函数f(x,y在附加条件(x,y0下的可能极值点.
五、(本题满分6分
【解析】方法1:当a0时,f(abf(bf(af(b,即不等式成立；若a0,因为
f(abf(af(bf(0[f(abf(b][f(af(0]f(2af(1aa[f(2f(1],
其中

01ab2ab.又f(x单调减少,故f(2f(1.从而有
f(abf(af(bf(00,即f(abf(af(b.
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数令F(xf(xf(af(ax,x[0,b],由于f(00,所以F(00,又因为
F(xf(xf(ax,且a0,f(x在(0,b单调减少,所以F(x0,于是F(x在




[0,b]上单调递增,故F(bF(00,即
f(abf(af(b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数f(x满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点(ab,使等式f(bf(af((ba成立.
六、(本题满分8分
【解析】本题中,方程组有解r(Ar(A.(相关定理见第一题(4
对增广矩阵作初等行变第行乘以分别加到第3、5换一二、


四行上,有
11111Ma3211
3M01M2
01226Mb5433
第二行乘以1、


1000

11
12
12
1M6M

a
3a
1226M,
b
12
第二行再自乘
26M25a
分别加到第
三、1








四行上
1,有








111
1211Ma26M3a
Mb3aM22a
(1当b3a0且22a0,即a1,b3时方程组有解(2当a1,b3时,方程组的同解方程组是
x1x2x3x4x5x22x32x46x5
由nr(A52

1,3,
3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为
1
(1,2,1,0,0T,2(1,2,0,1,0T,3(5,6,0,0,1T.
(3令x3x4x50,得方程组的特解为(2,3,0,0,0T.因此,方程组的所有解是
k

11
k
22
k33,其中k1,k2,k3为任意常数
相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系,则Axb的通解形式



为
k
1122
k
,其中1,2是Ax0的基础解系,是Axb的一个特解
七、(本题满分5分
【解析】若A、B是n阶矩阵,且ABE,则必有BAE.于是按可逆的定义知A1B.
如果对特征值熟悉,由Ak0可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA可逆.
由于Ak0,故
EA(E
所以EA
可逆,且EA
1
AA
A2
LL
k1kk
AEAE
1
E
A2
Ak1.
八、(本题满分6分
【解析】(反证法若X1X2是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：
A(X1X2
由已知又有A(X1X2AX1AX21X12X2.两式相减得(由1
2,
1
(X1X2.
X1(,
2
2
X20.
知
1
不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线
性无关相矛盾.所以,X1X2不是A的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分4分
【解析】样本空间含样本点总数为C130；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件A1的样本点数为C83；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.
33
有利于事件A2的样本点数为2C93C83；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数以应该减去C83.
,即是事件A1被加了两次,所



由古典型概率公式
P(A1
32C1015;P(A
C837;P(A2C93C8314.
3C10
.15
相关知识点】
P(Ai
有利于事件Ai的样本点
数

十、(本题满分5分
解析】(1由连续型随机变量边缘分布的定义

,且limeaxx
0,(a为常数有
X和Y的边缘分布函数分别为
FX(x
F(x,limF(x,yy

e
0.5x
,
若x
0,若x
e
0.5y
0,0;0,0.
,若y
FY(y

F(,yxlimF(x,y
0,若y
由于对任意实数x,y都满足F(x,yFX(xFY(x.因此X和Y相互独立.

(2因为X和Y相互独立,所以有
PX0.1,Y0.1PX
[1FX(0.1][1FY(0.1]e

0.1PY0.1
0.050.05
ee
0.1
十一、(本题满分7分
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过(x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出
2
与2的值,再去计算有关事件的概率
设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(,2,且
72,但2未知.所以可标准
X72
化得~N(0,1.由标准正态分布函数概率的计算公式,有


PX961PX961
967224
0.023,
24
10.0230.977.
2
2
查表可得

24
2,
12,即X~N(72,12,


X72
P60X84P12(11
(1在广告费用不限的情况下,求最优广告策
0.682.
略；


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7197eca1b968a98271fe910ef12d2af90342a846.html

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