于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十二
(满分100分,60分钟)2015.1.5
一.选择题(每小题5分,满分15分)
1、直线(a2+1)x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A. [0,] B. [,] C. [,] D. [0,]∪[,π)
2、在平面直角坐标系xOy中,设直线l:kx﹣y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. ﹣1
3、已知点P是双曲线C:左支上一点,F1,
F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,
N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是( )
A. B. 2
C. D.
二、填空题(每小题5分,满分15分)
4、已知圆x2+y2=2的切线l与两坐标轴分别交于点A,B两点,则△AOB(O为坐标原点)面积的最小值为 .
5、设直线l过点P(0,3),和椭圆交于A、B两点(A在B上方),试求的取值范围 .
6、平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,命题:
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;
③如果k与b都是有理数,则直线y=kx+b必经过无穷多个整点;
④如果直线l经过两个不同的整点,则l必经过无穷多个整点;
⑤存在恰经过一个整点的直线;
其中的真命题是 (写出所有真命题编号).
三、解答题(满分70分)
7、本题满分10分
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(1,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A的坐标为(2,0),直线l经过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于P,Q两点.求证:∠PAF=∠QAF.
8、本题满分20分
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A(a,4)为抛物线C上的定点,点P为抛物线C上的动点.且△FOA的外接圆圆心到准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过P作圆x2+(y﹣1)2=的两条切线分别交该圆
于点M,N,求四边形PMFN面积的最小值及此时P点
坐标.
(3)设点T(0,t),且对抛物线C上的任意动点P,
∠TPF总为锐角,求实数t的取值范围.
9、本题满分20分
如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和
部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点
为A,B,其中C1的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于
点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
10、本题满分20分
已知双曲线E:=1(a>0)的中心为原点O,左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P是直线x=上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;
(3)若点P的纵坐标为1,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点H,满足,证明点H恒在一条定直线上.
于都中学2014-2015学年高三上学期理科零班限时训练十二
参考答案 2015.1.5
一.选择题(每小题5分,满分15分)
1、C,解:①当a=0时,斜率不存在,即倾斜角为;
②当a>0时,直线的斜率k=,∴k≥1,
即直线的倾斜角的取值范围为[).
③当a<0时,直线的斜率,∴k≤﹣1,
即直线的倾斜角的取值范围为(].
综上,直线的倾斜角的取值范围为,
2、C.解:∵四边形OAMB为平行四边形,∴四边形OAMB为菱形,
∴△OAM为等边三角形,且边长为2,解得弦AB的长为2,又直线过定点N(0,1),
且过N的弦的弦长最小值为2,此时此弦平行x轴,即k=0.
3、A.解:在三角形F1F2P中,点N恰好平分线段PF2,点O恰好平分线段F1F2,
∴ON∥PF1,又ON的斜率为,∴tan∠PF1F2=,
在三角形F1F2P中,设PF2=bt.PF1=at,
根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a,∴bt﹣at=2a,①
在直角三角形F1F2P中,|PF2|2+|PF1|2=4c2,∴b2t2+a2t2=4c2,②
由①②消去t,得,又c2=a2+b2,
∴a2=(b﹣a)2,即b=2a,∴双曲线的离心率是=,
二、填空题(每小题5分,满分15分)
4、2,解:设切点P(x0,y0),则l:x0x+y0y=2,
∴,,则.
由,即|x0||y0|≤1,∴S△AOB≥2,当时取等号,
∴△AOB面积的最小值为2.
5、 [)解:当直线l的斜率不存在时,A点坐标为(0,2),B点坐标为(0,﹣2),这时=.
当直线l斜率为k时,直线l方程为y=kx+3,
设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),则向量AP=(﹣x1,3﹣y1),向量PB=(x2,y2﹣3),所以=,
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点,且它们的横坐标不同,把y=kx+3代入后
的一元二次方程(9k2+4)x2+54k+45=0的判别式(54k)2﹣4(9k2+4)×45>0,
所以k>3或k<﹣,设=λ,则x1=λx2,
因为x1+x2=﹣,x1x2=,所以(1+λ)x2═﹣,,(1) λx22=,(2)
显然λ不等于1,解得0<λ<1.
综上所述的范围是[).
6、①④⑤,解:对于①,如直线y=x+,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,∴①是真命题;
对于②,如直线y=x+,过整点(﹣1,0),∴②是假命题;
对于③,如直线y=x+,不过任何整点,∴③是假命题;
对于④,如直线y=x+,过整点(﹣1,0),(1,1),还过无穷多个整点;∴④是真命题;
对于⑤,如直线y=x+,过唯一的整点(﹣1,0),∴⑤是真命题;
综上,以上真命题是①④⑤.
故答案为:①④⑤.
三、解答题(满分70分)
7、本题满分20分
(1)解:∵椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(1,).
∴,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程;
(2)证明:斜率不存在时,P,Q关于x轴对称,∠PAF=∠QAF;
斜率存在时,设方程为y=k(x﹣1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴kPA+kQA=+=2k+=2k+=0,
∴∠PAF=∠QAF,
综上,∠PAF=∠QAF.
8、本题满分10分
解:(1)△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线上,则圆心的纵坐标为
故到准线的距离为,从而p=2
即抛物线C的方程为:x2=4y.
(2)设P(x0,y0),则∵圆心坐标(0,1)是抛物线C的焦点F ∴|PF|=y0+1
=
∴当y0=0时,四边形PMFN面积的最小值为,此时点P(0,0).…(10分)
(3)(理)根据题意:∠TPF为锐角且t≠
∵=(﹣x0,t﹣y0),=(﹣x0,1﹣y0),
∴•=y02﹣(t﹣3)y0+t,记:f(y0)=y02﹣(t﹣3)y0+t在y0∈[0,+∞)上恒成立
又f(y0)=(y0﹣)2﹣.
当≥0时,即:t∈[3,+∞),当y0=时,f(y0)min=﹣>0解得:1<t<9,∴t∈[3,9];
当<0时,即:t∈(﹣∞,3)当y0=0时,f(y0)min=t>0,∴t∈(0,3)
综合得:t∈(0,1)∪(1,9)
9、本题满分20分
解:(Ⅰ)在C1、C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(﹣1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.
设C1:的半焦距为c,由=及a2﹣c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)
设点P(xp,yp),
∵直线l过点B,
∴x=1是方程(*)的一个根,
由求根公式,得xp=,从而yp=,
∴点P的坐标为(,).
同理,由得点Q的坐标为(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),
∴=(k,﹣4),=﹣k(1,k+2),
∵AP⊥AQ,∴•=0,即[k﹣4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得k=﹣.
经检验,k=﹣符合题意,
故直线l的方程为y=﹣(x﹣1),即8x+3y﹣8=0.
10、本题满分20分
(1)解:设双曲线E的半焦距为c,由题意可得,解得.
(2)证明:由(1)可知,直线,点F2(3,0).
设点,Q(x0,y0),
因为,所以,
所以.
因为点Q(x0,y0)在双曲线E上,所以,即.
所以=.
所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
(3)证明:设点H(x,y),且过点的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M(x1,y1),N(x2,y2),则,,即,.
设,则.
即
整理,得
由①×③,②×④得
将,代入⑥,
得. ⑦
将⑤代入⑦,得.
所以点H恒在定直线4x﹣3y﹣12=0上.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/717adbb78bd63186bdebbc37.html
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