[解析]陕西省汉中市2020届高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题

汉中市2020届高三年级教学质量第一次检测考试

一、选择题

1.设集合61448aa2f805304a48c9f6d2f98d4451.png，9ec6473e3119c1ac03ef1bce1317ede2.png，则c73787de94978a00aa6e57a534505ede.png　　9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png

A. c5168b295c366faf86f1fdc3e98436ea.png B. f67273e854f77a982de5cc2ccf4a2aa7.png C. 63e7bc1edb9922c7905a75c30d5fd6dd.png D. 43492c9a6aa1a22160f4b9f5419f42c9.png

【答案】D

【分析】

解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.

【详解】f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png集合61448aa2f805304a48c9f6d2f98d4451.png，

5f1c86362e6d9701fe3f3e023b35b878.png，

dacb2fc1bf4a374f8fe4d010bc0b7342.png．

故选D．

【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.

2.若477535b80cf1d294a547560ec353a4c3.png（865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png是虚数单位），则fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的共轭复数为（ ）

A. 08c94306b73d1e24268dc827c259e080.png B. ff283b6f546f3dc760d43413af28eb72.png C. 736414d90e53f7610436590b047f013f.png D. 69c052fe0955e9af60f72f70148ef5bf.png

【答案】C

【分析】

由复数除法法则计算出fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png，再由共轭复数概念写出共轭复数．

word/media/image22_1.png详解】f07214b1df8e4612cad1ab37241fd708.png，∴91c1820b9674482ecd989352d628b966.png．

故选：C．

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．

3.已知向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png，7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png满足93a9ebff5c80364f9608d8310d3c0b05.png，af937c0f7ac7eccf373a6ae7f471587e.png，则8b2d3b378db9d0462cc5060ace64b2b7.png（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

【答案】A

【分析】

由向量数量积的运算法则计算．

【详解】8b2d3b378db9d0462cc5060ace64b2b7.png689d9755013afc49162609b89209fe13.png．

故选：A．

【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．

4.已知5047ff2ef4a35c9a9d4fb8f2a11a03f8.png，则f5b65e1bfbf4527f8b63132b6e2be720.png的值为 ( )

A. 3165b4cb8edddba985ea1791c02195a0.png B. e5ebd788dbb2252020101c55da638a66.png C. cd6ae9332f8211a7c78d61aa0b009624.png D. 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

【答案】A

【分析】

根据诱导公式可化简已知条件得ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png，再利用二倍角的正切公式求得结果.

【详解】由题意得：579d260238973b6dd224f0959a6c74c3.png 428908967a7f30d58257c73496d6cf6e.png

b1aa6c70ccf286d9e00633cea9d56f91.png

本题正确选项：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png

【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.

5.函数y＝734b82072364fad58da8cda3db66037a.png的图象大致是(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

由函数解+析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；

取x＝－1，y＝5feace51cc75b9ccd6711c7c9a3e9a80.png＝bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png＞0，故再排除B；

当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故734b82072364fad58da8cda3db66037a.png→0且大于0，故排除D，选C.

6. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A. 7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png B. 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png C. 6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png D. a08f6fd5ee7f72ac3ffbec2809ed9df9.png

【答案】C

试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，选C.

【考点】古典概型

【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.

【此处有视频，请去附件查看】

7.已知函数e2280515ac397cd16a6807f2c062d279.png，则c824b1a5e8a170be624d1a544a8379e4.png（）

A. ca285119a837b6b5662389d760e84064.png B. a55337e42fcc5ede2854cfdc65b4e4cc.png C. 665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png D. 5

【答案】A

【分析】

先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解+析式中求函数的值.

【详解】b63585ecee43d7c9684a2d00b8c99879.png，

b7add7a93ba5b860b67322c35162e78d.png，

3870f55730a8b5534bd18a59e3bfaadb.png，

故选A.

【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.

8.高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散a9b7ba70783b617e9998dc4dd82eb3c5.png名乘客所需的时间如下：

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）

A. ① B. ② C. ④ D. ⑤

【答案】C

【分析】

利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．

【详解】（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．

（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．

（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．

（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．

（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．

综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．

【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果．

9.已知函数f92bbde783e7ee6d52ddfdef89039c7e.png1661d47bc8fff6a37910eec62eef0cdc.png的最小正周期为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png，若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在510053399dd11ed48403a92df517ad7e.png时所求函数值中没有最小值，则实数e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png的范围是( )

A. c348333f850312b08cdf0bf027f2e7e7.png B. ef0ca207a5e67148422a675904b900c5.png C. bc92e6f86568af0dde0baee77b7f492e.png D. e01665fea932bfffa710427054db0cf5.png

【答案】D

【分析】

首先根据函数的最小正周期为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png，求得486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数的图象，得出5efd9072101410cac05249210d1cb63f.png，从而求得结果.

【详解】因为函数f92bbde783e7ee6d52ddfdef89039c7e.png1661d47bc8fff6a37910eec62eef0cdc.png的最小正周期为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png，

所以486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png，

当510053399dd11ed48403a92df517ad7e.png时，915807a7ef04845e04f09426ac208d21.png，

因为510053399dd11ed48403a92df517ad7e.png时所求函数值中没有最小值，

所以5efd9072101410cac05249210d1cb63f.png，解得46a61441ad27352a7e3051b170b595a9.png，

所以e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png的取值范围是0b9718e0c2d49695374b693ba4180568.png，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.

10.已知函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的奇函数，3e3cf4a8a192b6530b6a4667adf43ba3.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，且f84d8e2b93b1b6041925ea551144f4da.png时，f9188b10e6d7cd4466eaf71d599f1aa8.png，则132bb72579de2e42e0cf97c118f37f6b.png( )

A. 4 B. 99a975e8ce1c24cdbe2ae665669c43a9.png C. c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png D. 02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png

【答案】D

【分析】

先利用3e3cf4a8a192b6530b6a4667adf43ba3.png得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．

【详解】因为函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足3e3cf4a8a192b6530b6a4667adf43ba3.png，所以1e7b214e8268fabb6de3b42b8844c152.png，即函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是以eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png为周期的周期函数，又函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的奇函数，且f84d8e2b93b1b6041925ea551144f4da.png时，f9188b10e6d7cd4466eaf71d599f1aa8.png，所以f5957299fd28ea4ab2fa5f9d189eeeda.png．故选D．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据3e3cf4a8a192b6530b6a4667adf43ba3.png判定函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是以eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png为周期的周期函数，而不是图象关于直线b6aa4ff6ff7dd3990e739470af9de7cd.png对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足228410406d74985fe10141b1c51f2754.png或68e9d7aa91740a5da2ff2387c0688566.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象关于直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png对称；若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足9d8f7197c35b4b1c84429dcc50737122.png或0e13ae60d2dc0da319da93f6bdea3390.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是以e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png为周期的周期函数.

11.若双曲线aa82b1956cadd46805f47b9c5883e244.png的一条渐近线被曲线5226715bc0e2bb0a54dc3f4126430e67.png所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）

A. 91a24814efa2661939c57367281c819c.png B. aa3790abab39a09bb7f6e719af95bde5.png C. aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png D. 6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png

【答案】B

【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出b787ed03252683b53f3c8145c634c5d7.png，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】双曲线aa82b1956cadd46805f47b9c5883e244.png的渐近线方程为c971dc74a774f4e234017f8b58910834.png，

由对称性，不妨取6037ee296c6f5f944d3f3c522c777923.png，即f091345dd3447a70581a4ef488120155.png．

又曲线5226715bc0e2bb0a54dc3f4126430e67.png化为aaae083ce818170c2e704d8daabcaa39.png，

则其圆心的坐标为99d27ed50e412de42c3411ec36f2849b.png，半径为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．

由题得，圆心到直线的距离f6534f8c800ec3ddea2c0f72fc97d2d6.png，

又由点到直线的距离公式．可得9b493b8161987bb03be05cf25368584e.png．

解得b787ed03252683b53f3c8145c634c5d7.png，所以7f0bc040a3f762e9e1d67217553f2cf2.png．

故选B．

【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

12.已知函数31998758d3a1fd4b6329ccc5fb3c617d.png，5828efe681db09979fd9bcd2abebfa0a.png，其中ea07f419f0bb38cd5639126242d758db.png．若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象在点7be0571d24f22d6ede627a6d7fc42299.png处的切线与e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的图象在点aa0c7708fbf42417276ce21b44ed9e92.png处的切线重合，则a的取值范围为（）

A. 6a51b1af5fdd7d4f14a6b50ea9910d6f.png B. b1d8ab1ee38518fb00fa2c95c040dfeb.png

C. 7b07d9cc6cace04c41abb7018f4c7924.png D. b7f7286ace2702411b4e54763ce7ede0.png

【答案】A

【分析】

先根据导数的几何意义写出函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在点A与函数5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出7259d30b66d55b35831beffe1319b838.png，令fa9d41afa40f883132570b4f0367d439.png，则a503406efe7c00670148e5ae0a6173f8.png，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围．

【详解】∵31998758d3a1fd4b6329ccc5fb3c617d.png，5828efe681db09979fd9bcd2abebfa0a.png

∴e983338e8de821dfd513101c68932ffe.png，0c8cdf1e2e8959fdf48805a60fae79f4.png，

函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在点7be0571d24f22d6ede627a6d7fc42299.png处的切线方程为：83e1a3d11c5a7d7607f9bcb63e411169.png，

函数5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在点cf4875724cfad9f1e9d6d1561ad67d89.png处的切线方程为：70802491c7f26f2bad3565ae8df228ce.png，

两直线重合的充要条件是4b3c13a4a782c03eb4612cb8bceccf8c.png①，c3d36ef33295f4e5f118667197f611f9.png②，

由①及cd9355db4515938217f4341166ec9473.png得7d2993d7e234f9ff9f74a511afa6974a.png，

故aa67fde8e2ac1e08353e58a30ddd5824.png，

令fa9d41afa40f883132570b4f0367d439.png，则a503406efe7c00670148e5ae0a6173f8.png，且8c23cabe3bf0c9f5e8a5413942ef078c.png，

设1de12df78b0c5a86d7eab42718dc6da0.png，9f29b0fe90eaa9e477f1b69e149b1ce2.png

02f576bf85848f70abf12486681dc319.png，

当a503406efe7c00670148e5ae0a6173f8.png时，f4635b85b930feb1cd5ace46c5a71770.png恒成立，即362c65781aab6f2a280654dd9a619d74.png单调递减，

82cf09d476bd092b77b18044623a82de.png，c3becc575b4c9df99e99068f375e24d7.png时，1c78eceeb4d290f782db9b4c0f6a1dca.png，

即a的取值范围为6a51b1af5fdd7d4f14a6b50ea9910d6f.png，故选A.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.

二、填空题

13.曲线f43b0ecd29cf5fc96fa2e24dbbed2ff4.png在点c9d8859b4eeb120d209c937fca3a53af.png处的切线的倾斜角为__________.

【答案】45°

【分析】

欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k＝y′|x＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．

【详解】y′＝3x2﹣2，切线的斜率k＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°．

故答案为45°．

【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题．

14.在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,012750d4fc9e49702ad721133305438e.png已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积为4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800.png,b91a8172e2559170f4623c3f950d9f87.png,e53e8a1c38ce220bc07d783149c64cfa.png,则a的值为______．

【答案】c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cb.png

【分析】

根据三角形的面积，以及e53e8a1c38ce220bc07d783149c64cfa.png，求出5360af35bde9ebd8f01f492dc059593c.png，再结合余弦定理，即可得出结果.

【详解】因为e53e8a1c38ce220bc07d783149c64cfa.png，所以dcc90166e53bc8f1dd47078e00b18f9d.png，

又75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积为4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800.png,

所以4ba33bc561bba6d0e979262242df4ffc.png，

故696e2fbfb59a8f6975ae9b6eecfac6b0.png，

由余弦定理可得5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png，

所以414dbc529c07a853dee3df6260aeee52.png，

因此41882b2caeac00b5e52d9843cdf7807e.png.

故答案为c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cb.png

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型.

15.正四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png底面的四个顶点93f9dc4db1b82845990c5124e8b1c45a.png在球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的同一个大圆上，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在球面上.若e1bb8e919f719cbd9a11b997fb358075.png，则球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的体积是______．

【答案】5db263d94034966d59d82c6e27a36667.png

【分析】

正四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png底面的四个顶点93f9dc4db1b82845990c5124e8b1c45a.png在球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．

【详解】∵正四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png底面的四个顶点93f9dc4db1b82845990c5124e8b1c45a.png在球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的同一个大圆上，∴球心f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是正方形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png对角线交点，b3918665ee674080bf505e1b2d862187.png是棱锥的高，设球半径为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，则d51b59fd607d0627744e2ea5f00b44f7.png，c570a4182fc3fcf6d84b3bad1ce4d418.png，ff7b42c0c5dd8a38894fe922902a15de.png，b09c6f646b1383ec048b47d563da6de2.png，

∴3a1c02aee2ba609941e6ab1f6f4d82cb.png．

故答案为：5db263d94034966d59d82c6e27a36667.png．

【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．

16.已知函数368fd7c9093b8588aa3d97e4ec1df995.png（323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png）的图象恒过定点A，若点A在直线e06a1f8ac3b0f998f12843aade7e83fc.png上，其中d68059b20e95fb00ab888a9d5aff832b.png，则a9e5c6279fe8125d115e7d835b1d3a16.png的最小值为_____．

【答案】fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png

【分析】

先由函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png得到定点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png坐标，再把7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png代入直线，得到0779458e5cb9f831cdfa2b3b7e9553e2.png的关系，再由基本不等式得到答案.

【详解】函数368fd7c9093b8588aa3d97e4ec1df995.png（323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png）的图象恒过定点17d782743f410114c9e9046f2a23d58a.png，

所以a281fc7798890f7846389b42fa0c8a70.png,

将a281fc7798890f7846389b42fa0c8a70.png代入到直线e06a1f8ac3b0f998f12843aade7e83fc.png中，得到49cebf8d330ce03c9a246149c4f747e8.png，

即50b4e5fe61395cfb49ffe8bf9489eeb6.png

所以a9e5c6279fe8125d115e7d835b1d3a16.png9f8dbfef9f8dedc1b874ca3916582963.png

bbbff3352f8c6d465906b972186af92e.png

e7df3d40bf49dd0d3e8bcbeaecd190cb.png

当且仅当6623bb5a58569941b4d8bc75a4afc05a.png时，等号成立.

所以答案为：fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png

【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.

三、解答题

17.已知等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足e0f3fcf5d3923e5e893fcfd1a83298a5.png．

（1）求通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png；

（2）设ac43ce9053edc24a939175292bc96c57.png是首项为2，公比为2的等比数列，求数列eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png通项公式及前n项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】（1）e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png；（2）c1c4ee3c9842377b51ea7dabcd59ab42.png，b5d5f5f3f6cf7ba0c313623116d101bf.png．

【分析】

(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组77b753043849dd69d0b424deb7502e61.png，求解即可；（2）可先求出2a957e296b8ed333c7de1bed63d4f6d3.png的通项，再解出数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png通项公式，求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可．

【详解】（1）由题意得77b753043849dd69d0b424deb7502e61.png，

解得7523020b4e891fa22c0b51fc73c8163a.png，

1af9eacc7214f5a9ae503b4aa381960b.png

（2）848380f09c553434872dbfbd9f809dda.png

1b100f9e3ebbfd1d69a8ade28e4b9f09.png，

ceaad2fa283a62781cbb0b95d16d12f9.png，

∴b5d5f5f3f6cf7ba0c313623116d101bf.png．

【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可．

18.2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数；

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为2968c35e2258df7d34eaf7ad991fe634.png，0b2912f431ff351cc639c37cbd43de90.png的学生中抽取9名参加座谈会．

（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；

（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的249543bbeb4e6a832f228d60a680ff60.png列联表，并判断是否有cde2231b7ed96e7c94d4d02b1a0715d5.png的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到0.1）

附：6fa5cdd8e37181a1f57462e7d7a0fa35.png（d45902a6f8071534eeee4791053bad49.png）.

临界值表：

【答案】（1）9, （2）（i）每周阅读时间为2968c35e2258df7d34eaf7ad991fe634.png的学生中抽取3名，每周阅读时间为0b2912f431ff351cc639c37cbd43de90.png的学生中抽取6名．理由见解+析, （ii）有cde2231b7ed96e7c94d4d02b1a0715d5.png的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．

【分析】

（1）取各区间中点值乘以频率再相加即得；

（2）（i）两组差异明显，用分层抽样计算．（ii）求出两组的人数，填写列联表，计算9437d2588083e717f84aa9b8f895e5fd.png可得．

【详解】（1）9b9dcb994af1cf3d5ba9fd8588194ee3.png

（2）（i）每周阅读时间为2968c35e2258df7d34eaf7ad991fe634.png的学生中抽取3名，每周阅读时间为0b2912f431ff351cc639c37cbd43de90.png的学生中抽取6名．

理由：每周阅读时间为2968c35e2258df7d34eaf7ad991fe634.png与每周阅读时间为0b2912f431ff351cc639c37cbd43de90.png是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照def474a313bffa002eae8941b2e12620.png进行名额分配

（ii）249543bbeb4e6a832f228d60a680ff60.png列联表为：

9437d2588083e717f84aa9b8f895e5fd.png014e6ca822452f7019b55b42b74d391d.png，

所以有cde2231b7ed96e7c94d4d02b1a0715d5.png的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．

【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，考查独立性检验．属于基础题．

19.如图，在四面体16aff38a3bb5aaa9b2fbcc286e79ffbd.png中，ae7367696cb52884051a7225675693f0.png，3fc0e21dcde1a3117df5557bf0741e11.png，5e13469de35b779a8856ba67fa3eef3f.png，线段4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的中点分别为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png．

（1）求证：平面82b3e52144299637d945120040ed78d4.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png；

（2）求四面体3a1c6c033179833221b5946fdbe3eb74.png的体积．

【答案】（1）证明见解+析, （2）4

【分析】

（1）由d4d1c88c5f9e7d663b36f7ac0a6a6c8a.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png中点，可得8fe710af86c542ed6efb98e3b710e200.png，再勾股定理证明3444275d799f102b9d9f7fbd2d61a5a6.png，即可得线面垂直，从而有面面垂直；

（2）由（1）得264384b1f9cf722c758db17eae5eb887.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，从而8de0d608ccef2ab8f38c2ff714729758.png可计算出体积．

【详解】（1）证明:因为72381ad8aa0659bd0a20718ce44cc37e.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点，所以90d704b63c526ed8a2e0e8d02be586d5.png.

在6097c5ac08990c59f975eb9e4c001489.png中，85ebc9f49c9840e87570ecc4814b1215.png，8a6e8f69a1089dcc02b39464ce97e691.png，且06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png为直角三角形的斜边，

由勾股定理，得6af455e1ab583c8fd517adbd044a1476.png.

因为2c87fbec1beab0010f6c8dd2a049542f.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点，所以5e336e053b8d12e13eb1918ae2ab844a.png.

在8389434fe7fcebb8204ad62f5d7e801e.png中，因为a701ac5c7b884d0373c8e404eac88523.png，8a6e8f69a1089dcc02b39464ce97e691.png，由勾股定理，得ef67b89cfeec1bd6744c7fc9953e80a0.png.

因为6af455e1ab583c8fd517adbd044a1476.png，9bb5b7c003f3f525c74455024d93482c.png，5e13469de35b779a8856ba67fa3eef3f.png，有f3dcbf447694f2d6e453b34d84fd1a97.png，则370646839ba0fe7c5687070fe70161cf.png.

且558c73dceae7c5e55c33cb829c3d7cf0.png，f8ea9d7f52ceb5a04d1290e0542087a9.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，所以e459af2dc1b587751a9b1a5b657facc2.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

而89596dbb809b3f98189812c3c4610b9f.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，故平面82b3e52144299637d945120040ed78d4.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

（2）由（1）可知平面82b3e52144299637d945120040ed78d4.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

因为平面77fa9a753034fbd6e2a8c789c94d4e34.png平面ec113874a7ffa2a6e4d80d88341eefb3.png，5e336e053b8d12e13eb1918ae2ab844a.png，a0397aefa311eccf0277df49250000c6.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，

所以264384b1f9cf722c758db17eae5eb887.png平面37e3b0438ab90a43c45f5121e883c4b6.png，

因为在83128d97503d9e767b4535ac9bbcff02.png中，f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png是0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png的中点所以3546a6fa51d339967615db5f2c3ec062.png

所以ddb908f80f6d81c01e6e07a17833ce77.png.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积计算．立体几何中的线面、面面关系的证明可根据其判定定理进行，即先证得定理需要的条件，然后得出结论，注意条件缺一不可．三棱锥的体积计算中用换底法，关键是要棱锥的高容易确定计算．

20.已知椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的长轴长是短轴长的91a24814efa2661939c57367281c819c.png倍，焦距为44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点a71bb16a72fea4297b28e1e961419f0b.png，若直线ffd24f40f74c51fa29c993115969cbc7.png与椭圆交于bb519c9957fe4645a1152856df434749.png两点.问:是否存在8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值，使以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png为直径的圆过3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点?请说明理由.

【答案】（1）d41128e4a7fbf6ec15ed023f56f41f6b.png,（2）存在9e274cce9664c8bccd50337764703788.png，使得以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png为直径的圆过点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png

【分析】

（1）题中两个条件为5e1872953337fed7a5d732017160bd1a.png，从而可解得b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png得椭圆方程；

（2）以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png为直径的圆过点a71bb16a72fea4297b28e1e961419f0b.png，即628e9dc15ed18eeee667cdcb9fa3fb35.png，设71be1f4c837b0ff8d2861b8093975441.png，d2e68e4ad6a11fe4e1c5c2d6e4be1497.png，则44780f871876e96e6ecdcc441b6f9714.png，为此由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得ecda35eb2e74d4716cab39ac9cf6ffbe.png，注意55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png，代入44780f871876e96e6ecdcc441b6f9714.png计算出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，满足55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png即存在，否则不存在．

【详解】（1）依题意7d8dd3537482f464d71a6f1b31063c53.png解得d0dfe0cb0d2152cbf7884ffc8e0f2a64.png

∴椭圆方程是d41128e4a7fbf6ec15ed023f56f41f6b.png

（2）假若存在这样的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png值，由5eca3c79123e36b79dc13597f27eb3b3.png得a6a1ed02526fefaf819a9f1a7ac611a8.png.

∴ec07cd1f052376b65f60575b052deade.png①

设71be1f4c837b0ff8d2861b8093975441.png，d2e68e4ad6a11fe4e1c5c2d6e4be1497.png，则15a7f781b385548421ac3f3b667d5a9b.png ②

而8c352aa7a016ea94fefa0e91808399b0.png

要使以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png为直径的圆过点a71bb16a72fea4297b28e1e961419f0b.png，当且仅当628e9dc15ed18eeee667cdcb9fa3fb35.png时，

则ece8cc4ee9faba2d16db02f3bcb18a3e.png，即44780f871876e96e6ecdcc441b6f9714.png

∴29a46c4a471e18f8ae42c2c8545ba23b.png③

将②式代入③整理解得9e274cce9664c8bccd50337764703788.png.经验证，9e274cce9664c8bccd50337764703788.png，使①成立.

综上可知，存在9e274cce9664c8bccd50337764703788.png，使得以4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png为直径的圆过点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png

【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．椭圆中的存在性问题，一般是假设存在，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理得ecda35eb2e74d4716cab39ac9cf6ffbe.png，代入题中的另外的条件求出参数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png（若不能求出，说明假设错误，不存在），这是解+析几何中的“设而不求”思想．

21.已知函数9be46e1d3cd94a3d383d5d7b5404df81.png.

（1）讨论函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调性；

（2）若函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的图像与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，都有ee0859850839e83b5c42d33ccf972b06.png.

【答案】（1）当77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增；

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在977a7e2a451a4aa437e56caf3569a054.png单调递增，在c1be3e8dccde29cd187d9f34c4de4229.png上单调递减.,(2)见解+析

【分析】

（1）求导函数74caf4d1ec90d3a36ea7c7bbfe65b516.png，按77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png和cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png分类讨论，确定74caf4d1ec90d3a36ea7c7bbfe65b516.png的正负，从而确定单调性；

（2）由（1）知cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有极㰁值，才可能满足题意，极大值为0，求得ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png，74abe1817488f0ccd4a769e3a29df36a.png.不妨设ead636dd8e81f7ffc2441e7abad2b759.png，则ee0859850839e83b5c42d33ccf972b06.png，等价于fe7e25e343df62390f00ee37765a30b9.png，即证：19ae3692de6ac0fa5fea553dfa3748e0.png

令3072d893f16dc5b0973460bbb89cba8a.png，由于5852c887df1cc18c6dc64a274d3cf392.png，因此只要证得87297c7aa79942fee74bd0aca0e21b5a.png（54cdc91a376b36571d8cabd0d7ee441f.png）即可．

【详解】（1）函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png，512fed0be7abbaad48f7a65b801aa087.png.

当77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增；

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，由01071e0cb8a0f4f22f4def25b108f0d5.png，得007f1132347a02c0ab284c3c8872229b.png.

若23c1ebb62f3b73ed4137a4dbd8e0fe64.png，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png单调递增；

若6758f227fedb181d85f36903f8d99bdb.png，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png单调递减

综合上述：当77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增；

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在977a7e2a451a4aa437e56caf3569a054.png单调递增，在c1be3e8dccde29cd187d9f34c4de4229.png上单调递减.

（2）由（1）知，当77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递增，不满足条件；

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.pngword/media/image321_1.png极大值为7cb67ca65676e39f2886f35f33f23cb1.png，

由已知得2832429695964018f2b8a93c24ffb179.png，故ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png，此时74abe1817488f0ccd4a769e3a29df36a.png.

不妨设ead636dd8e81f7ffc2441e7abad2b759.png，则ee0859850839e83b5c42d33ccf972b06.png

等价于fe7e25e343df62390f00ee37765a30b9.png，即证：19ae3692de6ac0fa5fea553dfa3748e0.png

令3072d893f16dc5b0973460bbb89cba8a.png，

a523f8f22b1bbff5bba006a2dd84bf00.png

故5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png单调递减，所以a9f269a1dc46a056e20c409273c9941d.png.

所以对于任意互不相等word/media/image321_1.png正实数9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，都有ee0859850839e83b5c42d33ccf972b06.png成立

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．在证明与9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png有关的不等式时（这里9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png是任意两个正数，也可能是函数的两个零点，或者其他什么与函数有关的数），常常需要转化与化归，如不妨设ead636dd8e81f7ffc2441e7abad2b759.png，设7ec13c72859b31ed23ef559a4a9c6469.png，231b8bbeb4fa45885c97d90d3d2637be.png，设b333a99b1089bf1d690327e139c35328.png，则 c2fdb4c46f6b00ac096abf36f58843e0.png，这样不确定的9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，就变成有确定范围的变量e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png，问题就转化为用导数研究函数096254c7552111f593bb632a91205f32.png的性质，从而证明出结论．

22.在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，直线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程为458e030ca0868124f3d7112865ce7b41.png（其中e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）.以坐标原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为极点，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png的极坐标方程为50517f23d81d8151d752134253ce6374.png.

（1）求9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png和932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png的直角坐标方程；

（2）设点29c068eb16af7b9a83216cf976f1c8b8.png，直线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png交曲线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png于c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png两点，求129e5c8c373c9383cd85d37d9a34a578.png的值.

【答案】（1）9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png:af572a9a33fda4f9239f8af9c62c45a1.png,932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png:c932f23f6795333f013aeaed2e91254f.png（2）8613985ec49eb8f757ae6439e879bb2a.png

【分析】

（1）消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.

（2）将直线的参数方程代入c932f23f6795333f013aeaed2e91254f.png，化简得到7a0758076de54844e56928b8cb0775f4.png，利用韦达定理计算得到答案.

【详解】（1）直线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程为7714ceffa57b6ae19db36ae0312c2070.png（其中e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数），消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png可得af572a9a33fda4f9239f8af9c62c45a1.png；

由50517f23d81d8151d752134253ce6374.png，得5a9df5ce1c99b5b1e36d7264640584c1.png，则曲线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png的直角坐标方程为c932f23f6795333f013aeaed2e91254f.png.

（2）将直线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程458e030ca0868124f3d7112865ce7b41.png代入c932f23f6795333f013aeaed2e91254f.png，得7a0758076de54844e56928b8cb0775f4.png，

设c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png对应的参数分别为cc8c6ba1bfc62ed2dfc8bb4ef9a7bd0e.png，则5e08eed42837219591abe5e295f946e8.png，

c0903786fb13dbd16b9ff34dff0a1b45.png.

【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.

23.已知函数e83f0ee4ed087d80f87f2ff84911893f.png.

（1）求不等式faa2278bd16645a0dc80112938f90144.png的解集；

（2）若f079012c960eb55f98e1fff7f55c4190.png的解集包含547494a68e3f3a987c6654bbd4840469.png，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

【答案】（1）977293047cc2784bad68cd3e0e4034eb.png（2）abf7669578fdd4e607360985ab9f4f3b.png

【分析】

（1）函数化简为分段函数e23b1aa58ce32086064fb29c551853e3.png分别解不等式得到答案.

（2）题目等价于当f09215d4456526868d5da38bed704919.png时不等式恒成立，得到不等式256e818026514e4352d30475fbbffa00.png，求e620b79daaaf2fb22b10a5f1a03a5546.pngword/media/image321_1.png最小值得到答案.

【详解】（1）a78a6e83371e131b7d6710e254d98d67.png，由faa2278bd16645a0dc80112938f90144.png，解得42f257e7339ae4d228289b7c24f966df.png，

故不等式faa2278bd16645a0dc80112938f90144.pngword/media/image321_1.png解集是977293047cc2784bad68cd3e0e4034eb.png；

（2）c0a7660b56e648caf94156a018c81ad4.png的解集包含547494a68e3f3a987c6654bbd4840469.png，即当f09215d4456526868d5da38bed704919.png时不等式恒成立，

当f09215d4456526868d5da38bed704919.png时，05a8cc14ddcdce525df3d9fc9f0b6df2.png，c0a7660b56e648caf94156a018c81ad4.png，即96551175c2d565613de789a72b3b40da.png，

因为9c2f22e6192c2e6719fde8249a505c23.png，所以256e818026514e4352d30475fbbffa00.png，

令ab79f0bb23716e34e2043e972ad090da.png，f09215d4456526868d5da38bed704919.png，易知5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在547494a68e3f3a987c6654bbd4840469.png上单调递增，

所以5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的最小值为0c0ed493acfc7b2fb251f5e9e67e6a2d.png，因此df4a90ec962374dd72b0ab7fd9610bed.png，即0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为abf7669578fdd4e607360985ab9f4f3b.png.

【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当f09215d4456526868d5da38bed704919.png时不等式恒成立是解题的关键.

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