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发布时间：2023-11-13 11:16:51 来源：文档文库
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高校自主招生数学问题讲练
全国重点大学自主招生考试是自2006年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约〞〔清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大〕；以北大为首的十三校联盟，简称“北约〞〔北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学〕〔注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干〕；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟〞〔北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大〕．
其试题特点是注重根底，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与大学的知识内容及思想方法有所衔接，局部试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．
自2013年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分〞．
自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识〔而不单是按某个省的教材〕，内容可能会有某些超越．
试题例讲
1、对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,,即正奇数k有k个，且按自小到大排列，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n，都有anrnst恒成立？
〔[x]表示不超过x的最大整数〕〔上海交大〕
解：对正整数分段，第一段1个数，第二段3个数，第三段5个数，…，第n段2n1个数，而1352(2n1n2，
2于是当kn(k1时，an的取值为第k1个奇数，即此时，an2k1，由于
k2n1(k12，所以kn1，据此，an2n11，将此与题目要求相比拟，可知r2,s1,t1即是适合条件的整数；
〔注：93年南昌市赛及06年江西预赛题：数列xn:1,3,3,3,5,5,5,5,5,自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，k1,3,5,由全体正奇数，如果这个数列的通项公式为xnabncd，〔其中x表示x的整数局部，a,b,c,d为整数〕，那么abcd．
〔答案：3〕.简解：由xk21xk22xk122k1，即当 