高考数学-全国卷（附答案）(14)

高考数学-全国卷(附答案)

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　　)．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}

2． 4b939b90040f841ab4e72e4d1b5e2429.png＝(　　)．

A．12762d79d580ff93922cc1846e68be1a.png B．0e9d22d3290f41916f39d442bf55fd59.png C．ed2ad730c8ab76b83afe0e436c911448.png D．66ff5ffb4a5524a39eb2d4d6316410a0.png

3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)．

A．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png C．eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png D．6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png

4．已知双曲线C：45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png(a＞0，b＞0)的离心率为545d7812bbf630d7929e6c909cdbdae5.png，则C的渐近线方程为(　　)．

A．y＝3600768cc2eb7038dae4388e1305698c.png B．y＝e3e53063cccd3e8e1319824e730bf981.png C．y＝9516f602bb11a238d6b77c28d2b69bf4.png D．y＝±x

word/media/image15_1.png5．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)．

A．p∧q B．b661778a6f79b05390db0643cd085510.pngp∧q C．p∧b661778a6f79b05390db0643cd085510.pngq D．b661778a6f79b05390db0643cd085510.pngp∧b661778a6f79b05390db0643cd085510.pngq

6．设首项为1，公比为6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)．

A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)．

A．[－3,4] B．[－5,2]

C．[－4,3] D．[－2,5]

8． O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝be0f4023b1072a1dfff9fa3d65f0c1df.png的焦点，P为C上一点，若|PF|＝39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png，则△POF的面积为(　　)．

A．2 B．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png C．68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png D．4

9．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为(　　)．

word/media/image22.gif

10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)．

A．10 B．9 C．8 D．5

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．

word/media/image23_1.pngA．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

12．已知函数f(x)＝c21ebd58bd38ae33c70ef810f3c93529.png若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．

A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[－2,1] D．[－2,0]

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝____2__.

14．设x，y满足约束条件3c5002fbfa3498ab99b513c88ee8a738.png则z＝2x－y的最大值为___3___．

15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

16．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23、24题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17． (本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列9c07c3dfc883a6f6c2d018f35c26fb78.png的前n项和．

18． (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

word/media/image27_1.png

word/media/image28_1.png19． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

21． (本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为1f0a52e50829784559988e01b1646057.png(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈704d322f491ae6cef6f9f496a034289c.png时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷I新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：A

解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．

答案：B

解析：25bdfc0638387a0b3bfd371dbc12031d.png＝0e9d22d3290f41916f39d442bf55fd59.png.

3．

答案：B

解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png.

4．

答案：C

解析：∵4ba92d1d0b35af58db59ea1243b9ce2a.png，∴3da46c2a47bb35cde8394d8d30d9a67b.png，即a4473003259104729a7271dde77158fd.png.

∵c2＝a2＋b2，∴c11d611fd522a5549186595095cdcb2d.png.∴537c257b260afdc810d563b45de9f1dd.png.

∵双曲线的渐近线方程为c971dc74a774f4e234017f8b58910834.png，

∴渐近线方程为671498a9c208c305c85435fb1b9c6abd.png.故选C.

5．

答案：B

解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，

∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，

∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．

∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有b661778a6f79b05390db0643cd085510.pngp∧q为真命题．故选B.

6．

答案：D

解析：218d78f1e7be1627b2530cdb1b4d3db8.png＝3－2an，故选D.

7．

答案：A

解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．

当1≤t≤3时，s＝4t－t2.

∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴smax＝4，smin＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．

答案：C

解析：利用|PF|＝cb55d63a1c60b627e04aa2c0bff46b40.png，可得xP＝183d5db1d5d3b279d87445c55125859a.png.

∴yP＝653e0419ee340e15d54f011550e8a13f.png.∴S△POF＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png|OF|·|yP|＝68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png.

故选C.

9．

答案：C

解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈381516e0164294fbe9713da9ec49240b.png时，f(x)＞0，排除A.

当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.

令f′(x)＝0，得8b33c75a3297fb85b796e947f5f7c86c.png.

故极值点为8b33c75a3297fb85b796e947f5f7c86c.png，可排除D，故选C.

10．

答案：D

解析：由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝dd82de696b2132ff4d96854a0b2b5600.png.

∵A∈381516e0164294fbe9713da9ec49240b.png，∴cos A＝22417f146ced89939510e270d4201b28.png.

∵cos A＝57aa337a3ceb9ee350cb5cb1f001ca0c.png，∴b＝5或84ca2ec71cd6a40ab784e3d5329f6b06.png(舍)．

故选D.

11．

答案：A

解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngπ×22×4＝8π，

V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．

答案：D

解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．

word/media/image55_1.png

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

由c9461ce19bf6386076ec6b20cae0438b.png得x2－(a＋2)x＝0.

∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：2

解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝b24d491eb11c490f9cf5470499351172.png.

∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，

即ta·b＋(1－t)b2＝0.

word/media/image58_1.png∴cd0fd30ee86b83dc306698e250c1d83f.png＋1－t＝0.

∴t＝2.

14．答案：3

解析：画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．答案：5dc40bb6c491bf4052c9fdff09363736.png

解析：如图，

设球O的半径为R，

word/media/image61_1.png则AH＝66f74fa99d6f672dd37cbcc43c7b0fa1.png，

OH＝fa2595130036e16cc06a5e6a84e692a5.png.

又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.

∵在Rt△OEH中，R2＝5b656ae8a05f5c40d7078dd87ec0b2f0.png，∴R2＝01372bd994cf6aee276abce370612dda.png.

∴S球＝4πR2＝bfad762240cd544d6be1cd5309ca3268.png.

16．答案：b8c3e01d8154c321a4e304428f05120c.png

解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.pngsin(x－φ)，

其中sin φ＝6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png，cos φ＝2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png.

当x－φ＝2kπ＋6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png(k∈Z)时，f(x)取最大值．

即θ－φ＝2kπ＋6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png(k∈Z)，θ＝2kπ＋6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png＋φ(k∈Z)．

∴cos θ＝bb1f87893f306641595e47ebf65353c3.png＝－sin φ＝b8c3e01d8154c321a4e304428f05120c.png.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝740a6fe40e1b70aad529b12ceae9fcf7.png.

由已知可得53ee31fba884b95370d4bb7d378650b4.png

解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)由(1)知0bbe3d54397b40b1c5a032bb19635a65.png＝ffa2ebf72c1c541c10ac534a933c182d.png，

从而数列9c07c3dfc883a6f6c2d018f35c26fb78.png的前n项和为

a1fc0ba818732a091b4521ccee3e2d67.png

＝07a6ee3336bef80733669d28915b3f92.png.

18．

解：(1)设A药观测数据的平均数为90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png，B药观测数据的平均数为03c5496562eb7a1b611989374b7e72b8.png.

由观测结果可得

90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png＝4497aadaeffe498074034fea0b11c01a.png(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)

＝2.3，

03c5496562eb7a1b611989374b7e72b8.png＝4497aadaeffe498074034fea0b11c01a.png(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)

＝1.6.

由以上计算结果可得90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png＞03c5496562eb7a1b611989374b7e72b8.png，因此可看出A药的疗效更好．

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

word/media/image87_1.png

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有a487fed1aa3d86a23dce8cb5f4ec0cde.png的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有a487fed1aa3d86a23dce8cb5f4ec0cde.png的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．

word/media/image90_1.png

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png.

又A1C＝65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png，则A1C2＝OC2＋4e94fdc70676c10348953d56ef15a867.png，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

20．

解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·4a8480e64ba7e89a940938d16cf00ca8.png.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

21．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为91a24814efa2661939c57367281c819c.png的椭圆(左顶点除外)，其方程为9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png(x≠－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则9792e6fd79b5f98792b1f4f0b93d1267.png，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

由l与圆M相切得3cec223379e414cf3b6f66ea721808f8.png＝1，解得k＝039463f72e0faae4222c2335773d6872.png.

当k＝4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png时，将3cadff3b1d22b09ff4a89d52d889654a.png代入9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝ab018a2997a2100d33cea8105d0f7d7a.png，

所以|AB|＝6e3501c0f26aa265157965f3092508d5.png|x2－x1|＝dc1e34a7b7a877bad47a99b51514480a.png.

当k＝1f4caf684c8c5500742125a53ac84fe3.png时，由图形的对称性可知|AB|＝dc1e34a7b7a877bad47a99b51514480a.png.

综上，|AB|＝68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png或|AB|＝dc1e34a7b7a877bad47a99b51514480a.png.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．

word/media/image111_1.png (1)证明：连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png.

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png.

23．

解：(1)将1f0a52e50829784559988e01b1646057.png消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将2bfb98b52578971fa7f951e2f2721726.png代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由e24075d9682e77ee808dc053497dc1df.png

解得6bfc95a8d10228a766b576d0a3a8417c.png或f43094cfdc573684c5cf95e4a6b96a8c.png

所以C1与C2交点的极坐标分别为bf582246e059fee71a9067bf11ba8c8d.png，639cd125d3db5b3a74544dfd28c4e90b.png.

24．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

word/media/image121_1.png则y＝5f2285ff5227ab89cab93a300685d678.png

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈704d322f491ae6cef6f9f496a034289c.png时，f(x)＝1＋a.

不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈704d322f491ae6cef6f9f496a034289c.png都成立．

故a94b8f14edb72c881fdce181e424599c.png≥a－2，即a≤fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png.

从而a的取值范围是051ea9388186bf2afff330371b74215e.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6d3bfbe5df3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b0f4.html