阶乘尾数问题

发布时间：2018-01-13 19:38:12 来源：文档文库

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【题目】1×2×3×4×5×6×…×2009（从1开始一直乘到2009）的末尾第一个不是0的是几？

解答：首先，因为因数2的个数远多于因数5的个数，所以，末尾第一个非0数一定是偶数。

[2009÷5]=401，[401÷5]=80，80÷5=16，[16÷5]=3，因数5的个数401＋80＋16＋3=500个。

因为2^4的个位为6，偶数乘6个位数不变。因此，乘上2^4k不影响末尾第一个非0数字。而500恰好是4的倍数个，所以乘上2^500不影响结果。

把所有数分成两部分：5的倍数和非5的倍数。这样，第二部分就是原来每10个数留下8个为一组，其乘积的末尾为6，可舍去不管。

（2009－[2009/5]）≡0（mod 8），即恰好有整数组，于是只需考虑第一部分。

第一部分先每个数取出一个因数5，这样便留下1—401。

再进行上面同样的分两部分操作，第二部分则留下不成组的数1个：（401－[401/5]）≡1（mod 8）。个位为1，舍去。

第一部分再同样取出因数5一个，这是留下1—80。

再反复上面的操作：

（80－[80/5]）≡0（mod 8），无留下不成组的数，不管；

（16－[16/5]）≡5（mod 8），

第四次取出因数5后最后留下第二部分不成组的数的个位为1×2×3×4×6的个位，即4。

最后一次后第一部分留下的3个数个位为1×2×3=6，舍去。

所以，所求结果为4。

【题目】有13个外观一样的小球，其中有12个重量一样，有一个坏球和其它的不一样重，但不知道这坏球是轻是重，现有一架天秤，天秤没有砝码也没有刻度，想要把这个坏球找出来，问至少应当用天秤称　　　　　次。

先任意分成4（M组），4（N组），5（X组），共三组，并每组做不同的记号
第一步：称M和N两组。有两个结果：
A：相同重量。则可知异常球在X组的球里
B：不同重量。则可知异常球在这两组中，且X组的必为正常球。

第二步：
如是A：则从前两组里任挑三个球（必为正常球）放在天平的一边，同时从X组里任挑三个球，放在天平的另一边。有两个结果：
1，两边相同，则剩下的两个球必有一个是异常球，接着完成第三步，将这两个球中的任一个与前面称量过的任一个正常球相称量。如相同，则留下的那个是，如不同，那它就是异常球。
2，两边不同，则可判断后放的三个球里有异常球，并可知异常球比正常球更轻还是更重（这很重要）。然后第三者步：称这三个球中的两个，如相同，则没称的那个是；如不同，则可根据上面异常球轻重的判断得知。
如是B：则记住那边重那边轻。从这两组里中其中一组（比如M组）拿一个球出来，另一组（即N组）拿两个球出来，然后将M组与N组剩下的5个球放在天平一边，X组的5个球放在另一边称量（这是第二步）。有两个结果：
1，相同，则知异常球在挑出的三个球里，将M组的唯一一个球与N组的任一个球放在天平的一边，X组里的任两个正常球放在另一边，称量（这是第三步），如相同，则剩下的那个N组里的球是。如不同，则在MN组这端里的其中一个是。根据MN组这端的轻重表现可判断异常球，如较重，则属于第一步称量时较重的那组。反之，亦然。（因此开始第一步称后，必须记住M和N组谁轻谁重！）
2，不同，则知异常球在这MN组的5个球内，并根据MN组这边的轻重得知异常球所在的组别。如较重，则属于第一步称量时较重的那组。反之，亦然。无论异常球在M组的3个球或N组2个球内，再称一次（第三步），必能找到异常球。

【题目】1×2×3×4×5×6×…×2012（从1开始一直乘到2012）的末尾第一个不是0的是几？

先算出所有5的个数，[2012/5]+[2012/25]+[2012/125]+[2012/625]=402+80+16+3=501个
把所有5除掉以后算出个位数字
先算出1X2X3X4尾数为4和6X7X8X9尾数4，4X4尾数为6，所以8个不是5倍数的数相乘尾数为6（这样的8个数是每10个数里刚好8个）
11X12X13X14X16X17X18X19情况一样，尾数也是6，而无论多少个6相乘尾数还是6，2012/10=201余2，所以所有非5倍数的数相乘尾数为6X1X2即2.
对于是5倍数的数，5X10X15X...X2010每个数都除以5以后为1X2X3X...402，用刚才第一步的方法可以算出除以5以后其中非5倍数的尾数为6X1X2即2
对于是25的倍数的数，前一步除以5后剩下是5X10X15X...X400，再次除掉5以后为1X2X3X...X80，同理非5倍数的尾数为6，
对于是125倍数的数，前一步除以5以后剩下的是5X10X...X80，再次除掉5以后为1X2X3X..X16，同理非5的倍数尾数为6X4X6即4
对于是625倍数的数，前一步除以5以后剩下的是5X10X15，再次除掉5以后为1X2X3=6
综合以上，可以得出除掉所有的5以后尾数为2X2X6X4即6
除掉了501个5以后，再除掉501个2，就相当于把末位的0全部去掉，这时候的尾数就是所求
而2的501次方可以通过找规律知道尾数为2
一个尾数为6除以一个尾数为2商的尾数可能为3或8，但因为即使除掉了501个2以后的商肯定还是偶数，所以一定是8。

【题目3】2008！的末尾第一个不是0的是几？

【解答】基本思路：计算提取5的因数后的个位数字，然后除以2的500次方计算个位数字。每10个数，去掉5的倍数后，剩下1×2×3×4×6×7×8×9个位数字是6。这里要分组讨论：因为1～2008中去掉5的倍数后积的个位数字是□6÷9＝4；在5的倍数中提取5后剩下1～401，不算25的倍数积的个位数字是1×6＝6；在25的倍数中提取25后剩下1～80，不算125的倍数积的个位数字是6；在125的倍数中提取125后剩下1～16，不算625的倍数积的个位数字是4；在625的倍数中提取625后剩下1～3，积的个位数字是6。提取完5后的个位数字是4×6×6×4×6是6，因为2的401＋80＋16＋3＝500次方的个位数字是6，由此可以得到最终的结果是□6÷6的个位数字6，因为最终的结果应该是偶数，不应该是奇数1。所以最终得出结果是6。